Найдена зависимость между квадратами чисел 1-ого, 2-ого и т. д. десятков. Найдена зависимость между квадратами любых чисел. Доказаны формулы для нахождении квадрата числа, зная квадраты двух близлежащих цифр и искомое число, квадрат которого требуется найти.
Вложение | Размер |
---|---|
formula_o_nahozhdenii.docx | 51.9 КБ |
sekrety_kvadratov_chisel.pptx | 561.02 КБ |
[Введите текст]
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ
№64
ТЕМА РАБОТЫ
Нахождение квадрата числа, зная квадраты двух близлежащих цифр и искомое число, квадрат которого требуется найти.
ВЫПОЛНИЛИ: ученик 10 «Г» класса Казаков Егор РУКОВОДИТЕЛЬ: учитель математики
Финагина Елена Игоревна
2016-2017 УЧЕБНЫЙ ГОД
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
План
Много раз на уроках математики я задумывался о том, что бы можно было подвести под общую формулу и по ней уже находить все параметры заданного ряда чисел. В прошлом году мы проходили прогрессии( геометрические и алгебраические), но мне ещё до их изучения удалось вывести формулу о нахождении квадрата числа, зная квадраты двух предыдущих чисел. Это было не очень трудно. Она была выведена с помощью нескольких примеров, а потом доказана в общем виде. И в этом году я её усовершенствовал и сделал так, что теперь, зная квадраты двух близлежащих чисел, можно найти квадрат любого числа.
Моя работа не является чисто исследовательской, она скорее больше относится к проектному виду работ, но всё-таки в ней присутствовала определённая доля исследования(исследование таблицы квадратов, например). В общем, эту работу можно охарактеризовать как проектно-исследовательскую.
создания проекта: прототипа, прообраза, предполагаемого или возможного объекта или состояния.
Параметры | Типы мыследеятельности | |
Исследование | Проектирование | |
Критерии времени | Вневременной характер | Нацелено в будущее |
Продукт | Знания | Проект |
Критерии результативности | Истинность | Реализуемость |
Направленность | На организационную форму | На идеальный объект |
Схема организации | -проблема | -замысел |
Вместе с тем в основе и метода проектов, и метода исследований лежат:
Оба метода всегда ориентированы на самостоятельную деятельность учащихся.
Проектная технология и технология исследовательской деятельности предполагают:
Использование данных методов предполагает отход от авторитарного стиля обучения, но вместе с тем предусматривает хорошо продуманное и обоснованное сочетание методов, форм и средств обучения.
Зная квадрат двух близлежащих цифр а и b, вычтем из квадрата большего квадрата «b²» меньший «a²», прибавим полученную разность «b²-a²» к квадрату большего числа «b²» и к этому ещё добавим «2» и получим квадрат следующего числа «с²».
Т.е.:
9-4+9+2=16, а 16 это квадрат 4 (a
Из этого можем вывести формулу:
b²-a²+b²+2=c², при a
Дано: a,b,c – последовательные числа
a=n;
b=n+1;
c=n+2;
Доказать:
2b²-a²+2=c²
Доказательство
2(n+1)²-n²+2=(n+2)²
2(n+1)²-n²+2=2n²+2+4n-n²+2=n²+4n+4= =(n+2)² => 2b²-a²+2=c² ч.т.д.
Зная квадрат двух близлежащих цифр a и b, к квадрату меньшего «a²» добавим разность двух квадратов близлежащих цифр(от квадрата большего отнимем квадрат меньшего)«b²-а²», умноженную на число q. q=c-a (q-число, которое показывает промежуток от меньшего числа «а» до числа «с»). Т.е., если дано два числа: 2 и 3, а нужно квадрат 45, то просто отнимаем от 45 меньшее число «2» и получаем нужный промежуток «43». Дальше, к полученной сумме прибавляем произведение q•(q-1), т.е. 43•(43-1)
Т.е.:
4+5•43+43•(43-1)=2025, а √2025 это 45,т.е. квадрат 45; √4+5•43+43(43-1)=√2025
√4+5•43+43(43-1)=45
Из этого можем вывести формулу:
а² +(b²-a²)•q +q•(q-1)= с², при b-a=1;
c-a=q.
Дано: a,b,c – последовательные числа
a=n;
b=n+1;
c=n+q;
Доказать:
а² +(b²-a²+q-1)•q = с²
Доказательство
n²+((n+1)²-n²+q-1)•q=(n+q)²
n²+((n+1)²-n²+q-1)•q =
=n²+(n²+1+2n-n²+q-1)•q=n²+(2n+q)•q=n²+2nq+q²=(n+q)²
(n+q)² =(n+q)²
ч.т.д.
Выводы:
Применение:
Задачи:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Берём числа «1»(=a) и «2»(=b) , пишем формулу:
а²+(b²-a²+q-1)•q = с²
Теперь подставляем все числа в формулу:
1²+(2²-1²+10-1)•10=c²
1²+(2²-1²+10-1)•10=1+(4-1+10-1)•10=1+(12) •10=120+1=121
11²=121
2. Сначала берём второе число второго десятка «12»(=c), найдём «q»:
q=c-a; q=12-1=11
Теперь подставляем все числа в формулу:
1²+(2²-1²+11-1)•11=c²
1²+(2²-1²+11-1)•11=1+(4-1+11-1)•11=1+(13) •11=143+1=144
12²=144
3. Сначала берём второе число второго десятка «13»(=c), найдём «q»:
q=c-a; q=13-1=12
Теперь подставляем все числа в формулу:
1²+(2²-1²+12-1)•12=c²
1²+(2²-1²+12-1) •12=1+(4-1+12-1)•12=1+(14)•12 =168+1=169
13²=169
Ответ: квадрат «11» =121; квадрат «12» = 144; квадрат «13» = 169.
Здесь можно применить следующую формулу: 2b²-a²+2=c²
Берём два числа «9» и «10»
Подставляем в формулу:
2•(10²)-9²+2=c²
2•(10²)-9²+2=2•100-81+2=200+2-81=121, а 121 – это 11², т.е. квадрат первого числа второго десятка.
Ответ: 121
Здесь можно применить следующую формулу: 2b²-a²+2=c²
Берём два числа «11» и «12»
Подставляем в формулу:
2•(12²)-11²+2=c²
2•(12²)-11²+2=2•144-121+2=288+2-121=290-121=169, а 169 – это 13², т.е. квадрат «13».
Ответ: 169
Здесь можно применить следующую формулу: 2b²-a²+2=c²
Берём два числа «15» и «16»
Подставляем в формулу:
2•(16²)-15²+2=c²
2•(16²)-15²+2=2•256-225+2=512+2-225=514-225=289, а 289 – это 17², т.е. квадрат «17».
Ответ: 289
Для простоты и удобности вычисления лучше подбирать такое число «а», чтоб число «q» оканчивалось на НОЛЬ (например: q=84, а=4)
Здесь можно применить следующую формулу: а²+(b²-a²+q-1)•q = с²
Возьмём два близлежащих числа «a» и «b», так что b-a=1.
За «а» берём число 4, за «b» число 5, а за «c» число 194; найдём «q»:
q=c-a=194-4=190
Подставляем в формулу:
4²+(5²-4²+190-1)•190 = с²
4²+(5²-4²+190-1)•190 =16+(25-16-1+190)•190 =16+(8+190)•190=16
+198•190= 198•19•10+16=37620+16=37636
Ответ: 37636
Здесь можно применить следующую формулу: а²+(b²-a²+q-1)•q = с²
Возьмём два близлежащих числа «a» и «b», так что b-a=1.
За «а» берём число 6, за «b» число 7, а за «c» число 56; найдём «q»:
q=c-a=56-6=50
Подставляем в формулу:
6²+(7²-6²+50-1)•50 = с²
6²+(7²-6²+50-1)•50 =36+(49-36+50-1)•50 =36+(13+49)•50=36+62•50= =62•5•10+36=3100+36=3136
Ответ: 3136
+ 1960
2401
+ 2550
2601
+ 190
361
2. Но можно воспользоваться формулой:
2b²-a²+2=c²
Подставляем в формулу:
2•324-289+2= 648+2-289=361
Ответ: 361
2. Но можно воспользоваться формулой:
2b²-a²+2=c²
Подставляем в формулу:
2•25-36+2= 50+2-36=49
Ответ: 49
+ 960
1024
2. Но можно воспользоваться формулой:
2b²-a²+2=c²
Подставляем в формулу:
2•900-961+2= 1800+2-961=1024
Ответ: 1024
+ 1680
1764
2. Но можно воспользоваться формулой:
2b²-a²+2=c²
Подставляем в формулу:
2•1681-1600+2= 3362+2-1600=1764
Ответ: 1764
Статья «Проектно-исследовательская деятельность – одна из форм формирования компетентностей », 2012
Стр.
Слайд 1
Секреты квадратов чисел Выполнил: Казаков Егор, ученик 10 «Г» класса ГОУ Лицей № 64 Приморского района Руководитель: учитель математики Финагина Елена Игоревна ГОУ Лицей № 64 Приморского районаСлайд 3
Формула №1:
Слайд 4
Актуальность Возможность нахождения квадратов натуральных чисел, зная элементарную таблицу умножения.
Слайд 5
Гипотеза Если мы знаем квадрат двух последовательных натуральных чисел, то можем найти квадрат следующего числа.
Слайд 6
Цель Установить зависимость между квадратами трёх последовательных натуральных чисел.
Слайд 7
Числовые последовательности 2,8,14,20,26,32,38,44,50… 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19… 1,15,29,43,57,61,75,89,103… 1, 4, 9,16,25, 36, 49, 64… разность: +3 ,+5,+7,+9,+11,+13,+15…
Слайд 8
2b ² -a ² +2=c ²
Слайд 9
Задача Доказать, что верна формула: 2b ² -a ² +2=c ² , где a , b и c – последовательные числа.
Слайд 10
Доказательство Дано: a , b , c – последовательные числа a=n ; b=n +1; c=n +2; n ∈ N . Доказать: 2b ² -a ² +2=c ² Доказательство: 2b ² -a ² +2 =2( n +1 ) ² -n ² +2=2n ² +2+4n - n ² +2 = = n ² +4n+4=( n+2) ² =c ² ч.т.д.
Слайд 11
Выводы 1. Найдена зависимость между квадратами трёх последовательных натуральных чисел.
Слайд 12
2. П редположение о том, что, зная квадрат двух последовательных чисел а и b , мы можем найти квадрат следующего, оказалось верным! Это даёт нам возможность использовать эту формулу в дальнейших вычислениях. Выводы
Слайд 13
Формула №2:
Слайд 14
Актуальность Возможность нахождения квадрата любого числа, зная квадраты двух последовательных натуральных чисел.
Слайд 15
Гипотеза Если мы знаем квадрат двух последовательных чисел, то можем найти квадрат любого натурального числа.
Слайд 16
Цель Установить зависимость между квадратами всех натуральных чисел.
Слайд 17
а² +(b²-a²+q-1)• q = с²
Слайд 18
Задача Доказать, что верна формула: а² +(b²-a²+q-1)• q = с² , где a и b – последовательные числа; q – разность между a и c
Слайд 19
Доказательство Дано: a,b,c ; a=n ; b=n+1; q=c-a ; n ∈ N. Доказать: а² +(b²-a²+q-1)• q = с² Доказательство а² +(b²-a²+q-1)• q = n ²+(( n +1)²- n ²+ q -1)• q= = n ²+( n ²+1+2 n - n ²+ q -1)• q = = n ²+(2 n + q )• q = n ²+2 nq + q ²=( n + q )² =( a+c -a) ² =c ² Итак: а² +(b²-a²+q-1)• q = с² ч.т.д.
Слайд 20
Выводы 1. Найдена зависимость между квадратами всех натуральных чисел.
Слайд 21
2. Гипотеза подтвердилась . Это даёт нам возможность использовать эту формулу в дальнейших вычислениях. Выводы
Слайд 22
Примеры (задачи) 1.С помощью таблицы квадратов от 1 до 10, найти квадраты трёх первых чисел второго десятка Берём числа «1»(= a ) и «2»(= b ) , пишем формулу: а²+ (b²-a²+q-1)• q = с² Сначала берём первое число второго десятка «11»(= c ), найдём « q »: q = c - a ; q =11-1=10 Теперь подставляем все числа в формулу: 1²+(2²-1²+10-1)•10= c ² 1²+(2²-1²+10-1)•10=1+(4-1+10-1)•10=1+(12) •10=120+1=121 11²=121 Сначала берём второе число второго десятка «12»(= c ), найдём « q »: q = c - a ; q =12-1=11 Теперь подставляем все числа в формулу: 1²+(2²-1²+11-1)•11= c ² 1²+(2²-1²+11-1)•11=1+(4-1+11-1)•11=1+(13) •11=143+1=144 12²=144
Слайд 23
2. С помощью двух квадратов чисел первого десятка найти квадрат первого числа второго десятка. Здесь можно применить следующую формулу : 2 b ²- a ²+2= c ² Берём два числа «9» и «10» Подставляем в формулу: 2•(10²)-9²+2= c ² 2•(10²)-9²+2=2•100-81+2=200+2-81=121, а 121 – это 11², т.е. квадрат первого числа второго десятка . Ответ: 121
Слайд 24
3.С помощью двух квадратов последовательных чисел найти квадрат «17 ». Здесь можно применить следующую формулу: 2 b ²- a ²+2= c ² Берём два числа «15» и «16» Подставляем в формулу: 2•(16²)-15²+2= c ² 2•(16²)-15²+2=2•256-225+2=512+2-225=514-225=289, а 289 – это 17², т.е. квадрат «17 ». Ответ: 289
Слайд 25
В задачах, где используется формула : а² + ( b ²- a ²+ q -1)• q = с² для простоты и удобства вычисления лучше подбирать такие числа a и b , чтобы число « q » оканчивалось на НОЛЬ (например: с=84 , а=4, q =80) Комментарий
Слайд 26
4. С помощью двух квадратов последовательных чисел первого десятка вычислить квадрат 56. Здесь можно применить следующую формулу : а²+ ( b ²- a ²+ q -1)• q = с² Возьмём два последовательных числа « a » и « b », так что b - a =1. За «а» берём число 6, за « b » число 7, а за « c » число 56; найдём « q »: q = c - a =56-6=50 Подставляем в формулу: 6²+(7²-6²+50-1)•50 = с² 6²+(7²-6²+50-1)•50 =36+(49-36+50-1)•50 =36+(13+49)•50=36+62•50= = 62•5•10+36=3100+36=3136 Ответ: 3136
Слайд 27
5.Зная квадраты двух последовательных чисел: 17 и 18, найти квадрат следующего числа 17²=289; 18²=324 Можно просто возвести 19 в квадрат: 19 * 19 171 + 190 361 Но можно воспользоваться формулой: 2 b ²- a ²+2= c ² Подставляем в формулу: 2•324-289+2= 648+2-289=361 Ответ: 361
Слайд 28
Литература В.М.Брадис Четырёхзначные математические таблица Москва, «Просвещение» 1990, 93 стр.
Слайд 29
2. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и т.д. Алгебра 9 класс Москва, «Просвещение» 2011, 286 стр. Литература
Слайд 30
Литература 3. Бражников Ю.Ю. Статья «Проектно-исследовательская деятельность – одна из форм формирования компетентностей », 2012
Слайд 31
Литература 4. Таблица квадратов
Слайд 32
2(1) ² -(0) ² +2=2 ²
Мост Леонардо
Лесная сказка о том, как согреться холодной осенью
Рисуем акварелью: "Романтика старого окна"
Простые летающие модели из бумаги
Ах эта снежная зима