Проект "Метод сетей"

 Министерство образования и науки Российской Федерации
Муниципальное автономное образовательное учреждение
«Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина».

ПРОЕКТ 
на тему: «Исследование полярной системы координат».

                                  Выполнила:                                                    
                                                   Учащаяся 11 класса «Б»
                                                                Бросалина Татьяна Витальевна
                                                   Подпись ____________

                                                       Научный руководитель:
                                                                 Ондрикова Елена Вячеславовна,
                                              учитель математики

                                                   Оценка ______________
                                                   Дата ________________
                                                   Подпись _____________

Тамбов, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение…………………………………………………………………........ 3
2. Полярная система координат………………………………………….……..4
3. Связь между полярными и декартовыми координатами………………….. 6
4. Уравнения кривых в полярных координатах………………………………..8

     4.1 Окружность………………………………………………………………..8

     4.2 Спираль Архимеда………………………………………………………..9

     4.3 Логарифмическая спираль ……………………………………………...10

     4.4 Гиперболическая спираль…………………………………………….....12

     4.5 Семейство роз Гранди …………………………………………………..13

        4.6 Улитка Паскаля и кардиоида……………………………………............15

5.        Вывод ………………………………………………………………………...20

6.   Список используемой литературы………………………………………….21

ВВЕДЕНИЕ

Любая точка на плоскости может быть задана координатами и легко определяется в пространстве с помощью различных систем координат. Не во всех случаях рационально и удобно использовать привычную нам прямоугольную декартовую систему координат. Существуют и другие способы определения точки на плоскости или в пространстве. Выбор этих способов зависит от разнообразных факторов, например, от желаемой наглядности полученного результата. Наиболее часто используются полярные, цилиндрические и сферические координаты.

Именно полярная система координат и является объектом исследования данной работы. Такая система координат хорошо и естественно отображает природные формы, и может познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки. Различные кривые, построенные в такой системе координат, имеют сходства с растениями и животными окружающего мира, и вследствие этого обладают эстетической привлекательностью. Таким образом, предметом исследования выбраны уравнения кривых, заданные в полярной системе координат.

Данная тема является актуальной на сегодняшний день, т.к. не каждая школьная программа включает в себя изучение полярной системы координат, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе. Правильный выбор системы координат может значительно упростить решение той или иной задачи.

Целью данной исследовательской работы является изучение полярной системы координат, ознакомление с важнейшими математическими кривыми, а также приобретение навыка решения простейших задач в полярной системе координат.

Задачи, требующие выполнения в ходе исследовательской работы:

• изучить основную теорию о полярной системе координат
• сравнить полярную систему координат с декартовой
• рассмотреть важнейшие математические кривые и их применение в жизни
• научиться решать простейшие задачи в полярной системе координат

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярная система координат - двухмерная система координат, каждая точка в которой однозначно определяется на плоскости двумя числами -  полярным радиусом и полярным углом.

Чтобы определить полярную систему координат на плоскости следует отметить произвольную точку O, которая называется полюсом, и луч OX, называемый полярной осью. Также следует задать масштабный отрезок, с помощью которого и будет измеряться расстояние от какой-либо точки на плоскости до полюса. Как правило, задается единичный вектор , длина которого и является масштабным отрезком. Направление данного вектора задает положительное направление полярной оси.

Рис.1

Положение любой точки M определяется в полярной системе координат полярным радиусом - расстоянием r от точки M, до полюса, т.е. r = ||, и полярным углом - углом φ между вектором  и полярной осью. Полярные радиус и угол составляют полярные координаты точки M, что записывается в виде M(r,φ).

Полярный радиус можно определить для любой точки области, при этом он, так как расстояние не может быть отрицательным, всегда будет больше либо равен нулю (r ≥0).

Полярный угол можно определить для любой точки плоскости, кроме самого полюса О, при этом он, как правило, изменяется в пределах –π < φ ≤ π. Эти значения называются главными значениями полярного угла. Хотя в некоторых случаях возникает необходимость рассмотреть значения угла φ с точностью до слагаемых 2πn, где n∈Z. В этом случае значениям полярного угла для всех n соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

Полярный угол отсчитывается от полярной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, если значение угла положительное, а в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке, если значение угла отрицательное. Измеряется в радианах.  

Таким образом, точка с координатами (5, 30°) на графике – это точка, принадлежащая лучу, который лежит под углом 30° к полярной оси, на расстоянии пяти единичных отрезков. Точка с координатами (5, -330) будет расположена на том же месте. В этом заключается одна из главнейших особенностей полярной системы координат – одна и та же очка может быть представлена бесконечным количеством разных способов.

Принято считать, что термин «полярные координаты» ввел итальянский математик, Грегорио Фонтана. В английский же язык термин перешел в 1816 году, когда Джордж Пикок перевел трактат «Дифференциальное и интегральное исчисление», написанный Сильвестром Лакруа. Французский математик Алекси Клеро впервые применил полярные координаты для трехмерного пространства, а Леонард Эйлер был первым ученым, разработавшим систему таких координат.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛЯРНЫМИ И ДЕКАРТОВЫМИ КООРДИНАТАМИ

В школе ученики обычно строят графики функций в декартовой системе координат. Однако точно такие же построения можно совершать и в полярной системе, что особенно удобно, когда переменная φ не только изображается, но и фактически является углом.

Полярную систему координат Oxφ можно связать с более привычной декартовой системой O следующим способом.

Для перехода из одной системы координат в другую начало декартовой системы O должно совпадать с полюсом полярной системы, а ось абсцисс с полярной осью, сохранив направление вектора. Следом, перпендикулярно оси абсцисс, достраивается ось ординат так, чтобы, проходя через точку O, она образовывала декартовую систему координат, как показано на рисунке.

                                Рис.2                                      Рис.3

И, наоборот, из декартовой системы координат можно легко перейти в полярную. Для этого следует принять положительную ось абсцисс за полярную ось.

Теперь рассмотрим связь полярных и декартовых координат точки. Из рисунка 3 можно увидеть, что вектор  является диагональю в прямоугольнике, со сторонами x и y, которые являются декартовыми координатами точки M. Из этого следует, что искомое расстояние r можно найти с помощью теоремы Пифагора по формуле . Кроме того, из рисунка видно, что

Таким образом, можно найти декартовые координаты, если известны полярные. В противоположном случае действуют следующие формулы:

При определении главного значения полярного угла следует помнить:

• если r = 0, то  может принимать любые значения и является произвольным действительным числом;
• если r ≠0, то  ограничивают интервалом в 2, обычно выбирают интервал (-π;π] или (0;2π].

Для определения главного значения полярного угла используют следующие формулы:

Углы в полярной системе координат могу измеряться как в градусах, так и в радианах. Выбор единиц измерения зависит, как правило, от области применения. В то время как в математике и почти во всех областях физики наиболее часто используют радианы, в навигации предпочтение отдается именно градусам.

УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

В полярной системе координат, благодаря ее радиальной природе, многие кривые могут быть описаны гораздо более просто и менее громоздко, нежели в декартовой системе. Рассмотрим самые распространенные из них.

1. ОКРУЖНОСТЬ

Уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом a имеет вид r(φ)=a

Очевидно, что графиком этой функции является совокупность точек, расположенных на равном расстоянии от полюса при любом угле, т.е. окружность.

Для того, чтобы ее построить, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

На графике ниже можно увидеть построение окружности r(φ)=а.

Окружность, центром которой не является полюс, можно построить по точкам, или уравнением +=, центр окружности в таком случае находится в точке (;.

2. СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

Чтобы представить спираль Архимеда, отметим точку на секундной стрелке часов и будем перемещать ее вдоль этой стрелки, независимо от движения самой стрелки. Тогда точка опишет кривую, которая носит название «спираль Архимеда».

Данная кривая задается уравнением r=aφ, где a – коэффициент пропорциональности.

Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

Отметим на лучах φ=0, φ=, и т.д. соответствующие значения r. Можно заметить, что при увеличении φ будет возрастать и r, что можно увидеть на графике ниже.

Открытие данной кривой приписывается Коннону Самосскому, но впервые описал все ее свойства именно Архимед. Главное из этих свойств заключается в том, что расстояние между двумя витками в данной спирали всегда остается постоянной величиной. Благодаря этому свойству, с помощью спирали Архимеда можно легко разделить любой угол на равные части.

В технической области спираль Архимеда применяется в кулачковых механизмах, преобразующих вращательное движение шайбы и поступательное движения стержня.  Также форму спирали Архимеда играет и звуковая дорожка на пластинке.

3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

Логарифмическую спираль описывает точка, отмеченная на секундной стрелке, которая движется по этой стрелке не с постоянной скоростью, как в спирали Архимеда, а с возрастающей пропорционально расстоянию от центра часов.

Данная кривая задается уравнением r=a, где k – это коэффициент, который отвечает за расстояние между витками.

Пусть k=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

Логарифмическая спираль имеет несколько интересных свойств:

• Расстояния между последовательными витками составляют геометрическую прогрессию.
• Образующиеся в результате отсекания кривой радиусами секторы подобны друг другу.
• Последовательность длин радиусов, которые составляют одинаковые углы друг с другом, так же образуют геометрическую прогрессию
• Не изменяет своей природы при таких преобразованиях, как ее сжатие или растяжение относительно полюса, или при ее повороте на определенный угол.

В математике логарифмическая спираль впервые упоминается Декартом в 1638 году. Он описал ее, как линию, отношение длины дуги которой к соответствующему радиусу остается константой.

На свойстве логарифмической спирали пересекать все свои радиус-векторы под одним углом основаны ее применения в технике. Например, вращающиеся ножи нередко имеют схожую форму, вследствие чего угол резания по всей поверхности ножа остается постоянным, что делает его менее изнашиваемым.  

4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

Гиперболическая спираль задается уравнением r=, которое является обратным для  уравнения спирали Архимеда.

Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую спираль, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

Особенностью гиперболической спирали является тот факт, что при φ, r, то есть полюс является асимптотической точкой данной кривой.

Более того, из треугольника MNO видно, что отрезок MN= r.

Таким образом, при φ, MN, то есть прямая, проходящая параллельно  полярой оси и удаленная от нее на расстояние a, является асимптотой данной спирали.  

5. СЕМЕЙСТВО РОЗ ГРАНДИ

Роза – это плоская кривая, которая формой напоминает изображение цветка. Она задается формулой r = a, где a – постоянная, определяющая размер лепестков, а  – постоянная, определяющая количество лепестков данной розы.

При  вся кривая расположена внутри окружности радиусом a, а график состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Причем, если  четное, то количество лепестков будет 2, а если нечетное, то просто

При  кривая расположена вне окружности и образована точкой, движущейся по внешней стороне окружности.

На данном рисунке можно увидеть, как изменяется роза в зависимости от .

Рассмотрим графики четырех- и трехлепестковых роз.

Трехлепестковая кривая задается уравнением r=a.

Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

Так как все лепестки розы одинаковы, то можно найти значения радиуса лишь для одного лепестка и отобразить полученный график.

Найдем область определения функции. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3φ≥0, решая которое находим область допустимых углов: φ[0; ][][]

Четырехлепестковая кривая задается уравнением r=a.

Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

Так как все лепестки розы одинаковы, то можно найти значения радиуса лишь для одного лепестка и отобразить полученный график.

Семейство роз Гранди было открыто в XVIII в. итальянским геометром Гвидо Гранди. Эти кривые нашли широко применяются в технике. Напимер, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки, которая называется центром колебаний, то траектория этой точки будет описываться именно розой Гранди.

6. УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Улитка Паскаля  задается уравнением r=2R, где R – радиус данной окружности.

Построим кривую при a=2R. В таком случае уравнение принимает вид r=1). График такой функции является частным случаем улитки Паскаля и называется кардиоидой.

Пусть a=1. Для того, чтобы построить такую кривую, зададим несколько значений для полярного угла и найдем соответствующие значения радиуса.

Стоит отметить, что если в уравнении r=2R, , то радиус будет находиться по формуле r=2R, которая является уравнением окружности с радиусом r.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Найти полярные координаты точки М (1; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Решение:

Из теории известно, что . Кроме того, из рисунка видно, что

 , следовательно =.

На основании этих равенств находим  = ; =. Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно,  =.

Итак, М (2;).

Ответ: (2;).

Задача 2. Найти прямоугольные координаты точки А (; ). если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение:

Из теории известно, что  , следовательно:

х==2;

y==2.

Таким образом, А (2;2).

Ответ: (2;2).

Задача 3. Определить расстояние между точками  (3; ) и  (4; ).

Решение:

Рассмотрим треугольник O. По теореме косинусов:

=  =) = =5.

Ответ: 5

Задача 4.1. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, а точка М – с полюсом; при повороте же луча на угол  = 1 радиан, точка М удалилась от полюса на расстояние а.

Решение: Поскольку в начальный момент величины r и  равны нулю, а затем обе возрастают пропорционально времени,  легко заметить, что они связаны прямой пропорциональной зависимостью: =const. Но r = а при  = 1, следовательно, =, т.е. r =. Кривая r = называется спиралью Архимеда. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее.

Задача 4.2. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой окружности такого же диаметра. Составить в полярных координатах уравнение линии, описанной некоторой фиксированной точкой катящейся окружности.

Решение:

На рисунке  – это первоначальное положение центра катящейся окружности, A - первоначальное положение точки, описывающей искомую линию. Причем точка А диаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются окружности,  -центр неподвижной окружности, - центр катящейся окружности в новом положении,  - новое положение точки , описывающей искомую линию. После перемещения  окружности  в положение  точка  займет положение . Точка  займет положение .

Так как качение происходит без скольжения, то     =    ,  =. На чертеже показано положение полюса О и пол󠆻ярной оси Ох. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (r; ) искомой линии. Можно заметить, что  = O, в силу чего четырехугольник O является равнобедренной трапецией с меньшим основанием  = а, ; и перпендикуляры, опущенные из точек  и  на прямую О.

Итак, r  =++=  + a+ =a(1+).

 Таким образом, уравнение искомой линии в полярных координатах имеет вид r = a(1+). Эта кривая называется кардиоидой. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее.

Задача 5. Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2cos 2φ

Решение:

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 =  и φ2 = , выразится следующим  интегралом:

S =d.

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади:

S =  d =  = .

Следовательно, вся площадь равна S = a2.

Ответ: a2

ВЫВОД

Таким образом, цели, поставленные в данной работе, достигнуты. Основная теория о полярной системе координат изучена. В ходе данной исследовательской работы были рассмотрены важнейшие математические кривые и их применение в жизни, а также были приобретены навыки решения простейших задач, связанных с полярной системой координат, что значительно упрощает решение некоторых задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.К. Егерев, Б.А. Радунский, Д.А.Тальский. «Методики построения графиков функций»
2. А.А. Гусак. «Пособие к решению задач по высшей математике»
3. Д.В. Клетеник. «Сборник задач по аналитической геометрии»
4. П.Е. Данко, А.Г. попов, Т.Я. Кожевникова «Высшая математика в упражнениях и задачах».
5. Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу».

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

"Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина"

Методическое пособие по математике.

Полярная система координат.

Тамбов 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 3

УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ4

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ…………………………………………………………………………6

ПЛОЩАДЬ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ…………………………….10

ОТВЕТЫ……………………………………………………………………………………...…………..11

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярная система координат - двухмерная система координат, каждая точка в которой однозначно определяется на плоскости двумя числами -  полярным радиусом и полярным углом.

Положение любой точки M определяется в полярной системе координат полярным радиусом - расстоянием r от точки M, до полюса, т.е. r = ||, и полярным углом - углом φ между вектором  и полярной осью. Полярные радиус и угол составляют полярные координаты точки M, что записывается в виде M(r,φ).

Полярный радиус можно определить для любой точки области, при этом он, так как расстояние не может быть отрицательным, всегда будет больше либо равен нулю (r ≥0).

Полярный угол можно определить для любой точки плоскости, кроме самого полюса О, при этом он, как правило, изменяется в пределах –π < φ ≤ π. Эти значения называются главными значениями полярного угла. Хотя в некоторых случаях возникает необходимость рассмотреть значения угла φ с точностью до слагаемых 2πn, где n∈Z.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛЯРНЫМИ И ДЕКАРТОВЫМИ КООРДИНАТАМИ

Полярную систему координат Oxφ можно связать с более привычной декартовой системой O следующим способом.

рис.  2

Из рисунка можно увидеть, что вектор  является диагональю в прямоугольнике, со сторонами x и y, которые являются декартовыми координатами точки M. Из этого следует, что искомое расстояние r можно найти с помощью теоремы Пифагора по формуле . Кроме того, из рисунка видно, что

Таким образом, можно найти декартовые координаты, если известны полярные. В противоположном случае действуют следующие формулы:

Для определения главного значения полярного угла используют следующие формулы:

                                                рис.  3

УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

1. ОКРУЖНОСТЬ

Уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом a имеет вид r(φ)=a. 

(рис. 4).                                                       

2. СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

Данная кривая задается уравнением r=aφ, где a – коэффициент пропорциональности. (рис. 5).

                            рис. 4                                                       рис.  5

3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

Данная кривая задается уравнением r=a, где k – это коэффициент, который отвечает за расстояние между витками. (рис. 6).

4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

Гиперболическая спираль задается уравнением r=, которое является обратным для  уравнения спирали Архимеда. (рис. 7).

     рис.  6                                                                              рис.  7

5. СЕМЕЙСТВО РОЗ ГРАНДИ

Роза – это плоская кривая, которая формой напоминает изображение цветка. Она задается формулой r = a, где a – постоянная, определяющая размер лепестков, а  – постоянная, определяющая количество лепестков данной розы.

Трехлепестковая кривая задается уравнением r=a. (рис. 8).

Четырехлепестковая кривая задается уравнением r=a. (рис. 9).

                                    рис.  8                                                      рис.  9

6. УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Улитка Паскаля  задается уравнением r=2R, где R – радиус данной окружности. (рис. 10).

                                                                                                        рис.  10

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ

Задача 1. Найти полярные координаты точки М (1; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Решение:

Из теории известно, что . Кроме того, из рисунка видно, что

 , следовательно =.

На основании этих равенств находим  = ; =. Очевидно, что точка М лежит в IV четверти и, следовательно,  =.

Итак, М (2;).

Ответ: (2;).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1.1. Найти полярные координаты точки М (4; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Задача 1.2. Найти полярные координаты точки М (1; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Задача 1.3. Найти полярные координаты точки М (; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Задача 1.4. Найти полярные координаты точки М (3; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Задача 1.5. Найти полярные координаты точки М (; ) , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Задача 2. Найти прямоугольные координаты точки А (; ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение:

Из теории известно, что  , следовательно:

х==2;

y==2.

Таким образом, А (2;2).

Ответ: (2;2).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 2.1. Найти прямоугольные координаты точки А (; ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Задача 2.2. Найти прямоугольные координаты точки А (; ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Задача 2.3. Найти прямоугольные координаты точки А (; ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Задача 2.4. Найти прямоугольные координаты точки А (; ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Задача 2.5. Найти прямоугольные координаты точки А (; ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Задача 3. Определить расстояние между точками  (3; ) и  (4; ).

Решение:

Рассмотрим треугольник O. По теореме косинусов:

=  =) = =5.

Ответ: 5

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 3.1. Определить расстояние между точками  (3; ) и  (4; ).

Задача 3.2. Определить расстояние между точками  (2; ) и  (2; ).

Задача 3.3. Определить расстояние между точками  (3; ) и  (3; ).

Задача 3.4. Определить расстояние между точками  (2; ) и  (1; ).

Задача 3.5. Определить расстояние между точками  (1; ) и  (; ).

Задача 4.01. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение кривой, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, а точка М – с полюсом; при повороте же луча на угол  = 1 радиан, точка М удалилась от полюса на расстояние а.

Решение: Поскольку в начальный момент величины r и  равны нулю, а затем обе возрастают пропорционально времени,  легко заметить, что они связаны прямой пропорциональной зависимостью: = const. Но r = а при  = 1, следовательно, =, т.е. r =. Кривая r = называется спиралью Архимеда. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее.

Ответ: r =.

Задача 4.02. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой окружности такого же диаметра. Составить в полярных координатах уравнение кривой, описанной некоторой фиксированной точкой катящейся окружности.

Решение:

На рисунке  – это первоначальное положение центра катящейся окружности, A - первоначальное положение точки, описывающей искомую линию. Причем точка А диаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются окружности,  -центр неподвижной окружности, - центр катящейся окружности в новом положении,  - новое положение точки , описывающей искомую линию. После перемещения  окружности  в положение  точка  займет положение . Точка  займет положение .

Так как качение происходит без скольжения, то     =    ,  =. На чертеже показано положение полюса О и пол󠆻ярной оси Ох. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М (r; ) искомой линии. Можно заметить, что  = O, в силу чего четырехугольник O является равнобедренной трапецией с меньшим основанием  = а, ; и перпендикуляры, опущенные из точек  и  на прямую О.

Итак, r  =++=  + a+ =a(1+).

 Таким образом, уравнение искомой линии в полярных координатах имеет вид r = a(1+). Эта кривая называется кардиоидой. Построение данной кривой рассматривалось в этой исследовательской работе ранее.

Ответ: r = a(1+).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 4.1. Точка М перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса, с ускорением, пропорциональным расстоянию от полюса. Составить уравнение кривой, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, а точка М – с полюсом; при повороте же луча на угол  = 1 радиан, точка М удалилась от полюса на расстояние а.

Задача 4.2. На окружности радиуса a зафиксирована точка O. Луч Ox вращается около точки O, при этом он пересекает окружность в некоторой точке N. На прямой ON от точки N в направлении луча Ox откладывается отрезок NM = b. Когда луч Ox совершит полный оборот, точка M опишет некоторую кривую. Составить в полярных координатах уравнение кривой, описанной точкой M. 

Задача 4.3. Отрезок AB постоянной длин 2a своими концами скользит по осям декартовых координат. Из начала координат на AB опущен перпендикуляр OM. Составить в полярных координатах уравнение кривой, описанной точкой M. 

Задача 4.4. Из точки A (−a; 0), где a > 0, проведен луч АВ? на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки BM и BN, равные ОВ. При вращении луча точки M и N описывают некоторую кривую. Составить в полярных координатах уравнение данной кривой.

Задача 4.5. Точка М зафиксирована на луче, вращающемся равномерно около полюса. Составить уравнение кривой, описанной точкой М.

ПЛОЩАДЬ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 =  и φ2 = , выразится следующим  интегралом:

S =d.

Задача 5. Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2cos 2φ.

Решение:

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади:

S =  d =  = .

Следовательно, вся площадь равна S = a2.

Ответ: a2

Задача 5.1. Вычислить площадь, заключенную внутри кардиоиды  r=1), для  [0;2].

Задача 5.2. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах уравнениями  и .

Задача 5.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали Архимеда.

Задача 5.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали

Задача 5.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

.

ОТВЕТЫ

1.1. (4;0). 1.2. (2). 1.3. (2). 1.4. (2). 1.5. (2).

2.1. (;). 2.2. (;1). 2.3. (2;2). 2.4. (;3). 2.5. (−3;0).

3.1. 5. 3.2. 2. 3.3. 6. 3.4. 3. 3.5. 1.

4.1. логарифмическая спираль, r = a. 4.2. улитка Паскаля, r = 2a 4.3. четырехлепестковая роза, r = a. 4.4. строфоида, r = 4.5. окружность, r = а.

5.1. 6π 5.2. 33π. 5.3.  . 5.4. ( 5.5. 9.