Теорема Пифагора

Опубликовано Малышева Нелля Борисовна вкл 13.11.2017 - 19:32

Автор:

Вашурина Анастасия

Расмотрены различные способы доказательства теоремы и области ее применения

Скачать:

Вложение	Размер
реферат	331.5 КБ

Предварительный просмотр:

Страница |

МУНИЦИПАЛЬНОЕ автономное ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №79

Работа по геометрии

Тема: «Теорема Пифагора и области ее применения».

Выполнил: Вашурина Анастасия Александровна

ученица 8 "А" класса

Руководитель: Малышева Нелли Борисовна

г. Нижний Новгород

2016г.

Содержание

1.Вступление………………………………………………………………………………………………….……3

2.Биография Пифагора…………………………………………………………………………………….….4

3.Школа Пифагора……………………………………………………………………………………….....….6

4.История открытия теоремы Пифагора…………………………………………………………….7

5.Несколько способов доказательства теоремы:………………………………………………9

5.1.Простейшее доказательство теоремы……………………………………………….………9

5.2.Доказательство Евклида…………………………………………………………………………….9

5.3. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора……………………….….…10

5.4. Векторное доказательство теоремы……………………………………………………….10

5.5. Доказательство Хоукинса…………………………………………………………………………11

5.6. Геометрическое доказательство методом Гарфилда……………………………..11

5.7. Доказательство теоремы ИНДИЙСКИМ МАТЕМАТИКОМ БХАСКАРИ-АЧАРНА...11

6.Пифагоровы тройки………………………………………………………………………………………...12

7.Области применения теоремы Пифагора:………………………………………………………13

7.1.Математика и смежные дисциплины……………………………………………..…………13

7.2.Строительство и архитектура……………………………………………………………………..14

7.3.Астрономия…………………………………………………………………………………………..…….16

7.4.Мобильная связь…………………………………………………………………………………………17

7.5 Литература…………………………………………………………………………………………………..17

8. Заключение………………………………………………………………………………………………………19

9. Список используемой литературы………………………………………………………………....20

10. Приложение……………………………………………………………………………………………………21

1.Вступление.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Земля имеет форму шара.

Миром правят числа.

После смерти душа переселяется в новое тело.

Перед нами — четыре утверждения. Казалось бы, что между ними общего? Они принадлежат к совершенно разным областям знания; более того, и по своему характеру они весьма мало похожи друг на друга. Первое — одна из базовых теорем классической геометрии, которую каждый обязательно проходит в школе. Со вторым ныне тоже все согласятся. А вот третье уже озадачивает: сказано, конечно, красиво, но как-то туманно и неясно. О четвертом уж и не говорим: просто какая-то откровенная мистика!

А между тем все только что перечисленные суждения принадлежат одному и тому же человеку — знаменитому греку Пифагору. Уже отсюда видно, насколько широким и разносторонним был круг его интересов, какой большой вклад внес он в развитие культуры. Одним словом, перед нами фигура просто-таки грандиозного масштаба. Один из крупнейших деятелей греческой «интеллектуальной революции» — а ведь в ее ходе, по сути, был создан тот фундамент, на котором и поныне зиждется наша цивилизация. Основоположник течения мысли, которое на протяжении всей античности входило в число самых авторитетных.

Но несмотря на огромный вклад в развитие культуры и общества, первое знакомство с именем Пифагора происходит у нас, не из исторических книг, а из учебников математики — и все это благодаря знаменитой теореме Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует более 300 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механические и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

В своей работе я хочу рассмотреть личность Пифагора, изучить историю появления теоремы, обратить внимание на различные доказательства этой теоремы и попытаться выяснить и систематизировать самые разные стороны применения теоремы Пифагора в различных сферах жизни.

2. Биография Пифагора

Пифагор – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский), где он появился на свет приблизительно в 580 г. до н. э. Его отцом был резчик по драгоценным камням. Согласно древним источникам, Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота.

Ранние годы ученого проходили в стенах лучших храмов Греции. Еще в подростковом возрасте он пытался узнать, как можно больше, читая работы других мудрецов, а также беседуя с духовными учителями. Среди них стоит выделить Ферекида Сиросского – величайшего древнегреческого космолога. Он помогает молодому Пифагору изучить математику, физику, астрономию. Также на долю Пифагора выпало общение с Гермодамантом, который научил его любить поэзию и все, что связано с искусством.

В дальнейшие годы биография Пифагора складывается из его жизненного опыта уже на чужих землях. Сначала он отправляется в Египет, где погружается в местную мистерию. Позже в этой стране он открывает свою школу, где можно было обучиться математике и философии. За те 20 лет, которые он провел в Египте, у него собралось множество учеников-сторонников, которые именовали себя пифагорейцами. Стоит также отметить, что в этот период он вводит такое понятие, как философ, и именует себя этим словом. Дело в том, что ранее все великие люди звали себя мудрецами, что означало «знает». Пифагор же ввел термин «философ», который переводился как «пытается узнать». После своих научных открытий, которые были сделаны в Египте, Пифагор отправляется в Вавилон, где проводит 12 лет. Там он изучает восточные религии, их особенности, сопоставляет развитие науки и искусств в странах Месопотамии и Греции. После этого он возвращается в Восточное Средиземноморье, только теперь - на берега Финикии и Сирии. Он проводит там совсем немного времени, и после этого заново пускается в путешествие, только уже более далекое. Пересекая страну Ахименидов и Мидию, философ попадает в Индостан. Получая знания о совсем иной религии и быте, он еще больше расширяет свой кругозор, что дает ему возможность совершать новые открытия в науке.

Возвращение на родину состоялось примерно в 530 г. до н. э. Статус полупридворного-полураба при тиране Поликрате не казался ему привлекательным, и он какое-то время жил в пещерах, после чего переехал в Кротон, где выступил организатором собственной школы, которая была одновременно и политической структурой, и религиозно-монашеским орденом со своим уставом и очень строгими правилами. В частности, все члены пифагорейского союза не должны были употреблять мясную пищу, раскрывать другим учение своего наставника, отказывались иметь личную собственность.

Прокатившаяся в то время волна демократических восстаний в Греции и колониях докатилась и до Кротона. После победы демократии Пифагор с учениками переселяется в Тарент, позднее в Метапонт. Когда они прибыли в Метапонт, там бушевало народное восстание, и в одном из ночных побоищ Пифагор погиб. Тогда он был глубоким старцем, ему было почти 90. Вместе с ним прекратила существование и его школа, ученики рассредоточились по всей территории страны.

Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Некоторые сведения все-таки стали явными, однако разграничить истину и выдумки невероятно сложно.

Имя Пифагора всегда было окружено большим количеством легенд даже при жизни. Считалось, что он мог управлять духами, умел прорицать, знал язык животных, общался с ними, птицы под влиянием его речей могли изменить вектор полета. Предания приписывали Пифагору и умение исцелять людей, в том числе с помощью прекрасного знания лекарственных растений. Его влияние на окружающих было сложно переоценить. Рассказывают такой эпизод из биографии Пифагора: когда однажды он рассердился на ученика, тот от горя покончил жизнь самоубийством. С тех пор философ взял за правило больше никогда не выплескивать на людей свое раздражение.

Помимо доказательства теоремы Пифагора, этому математику приписывают подробное изучение целых чисел, пропорций и их свойств. Пифагорейцам принадлежит значительная заслуга в придании геометрии характера науки. Пифагор являлся одним из первых, кто был убежден, что Земля – это шар и центр Вселенной, что планеты, Луна, Солнце движутся по-особому, не как звезды. В определенной степени идеи пифагорейцев о движении Земли стали предтечей гелиоцентрического учения Н. Коперника.

3. Школа Пифагора

Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством.

Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний.

Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения. Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

1.учения о числах – арифметике,

2. учения о фигурах – геометрии,

3. учения о строении Вселенной – астрономии.

Главным пифагорейским символом здоровья и опознавательным знаком была пентаграмма - звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Он содержал все пропорции: геометрическую, арифметическую, золотую. Она была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга.

С самого начала в пифагореизме сформировались два различных направления – "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе – главным образом исследованиями в области геометрии.

Школа вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он переселяется в южную Италию- колонию Греции - и здесь, в Кротоне, вновь основывает школу - пифагорейский союз.

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учит медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Для нас Пифагор - математик. В древности было иначе. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной мудрости. Одни называли его математиком, философом, другие - шарлатаном. Интересен и тот факт, что Пифагор первым и четыре раза подряд был олимпийским чемпионом по кулачному бою.

4.История открытия теоремы Пифагора

Великие открытия Пифагора-математика нашли свое применение в разные времена и по всему миру. В наибольшей степени это касается теоремы Пифагора. Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Она замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2=a2+b2. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора, в них приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.

Известна эта теорема была и в древнем Китае. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-Пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. А в Египте это соотношение использовалось для построения прямого угла еще пять тысяч лет назад. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор же, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам даже сто быков.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. О теореме Пифагора писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие. А не всякое математическое положение удостаивается такого внимания писателей и ученых.

Существует три современные формулировки теоремы Пифагора:

1.В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов.

2.Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного

треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

3.Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

Теорема Пифагора имеет три следствия:

1.Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то

любая наклонная больше перпендикуляра.

2.Равные наклонные имеют равные проекции.

3.Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

На протяжении веков были найдены различные способы доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более трехсот, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и прочих. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по- видимому, далеко не исчерпана.

5.Несколько способов доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Для того чтобы разобраться в теореме, названной именем греческого философа, рассмотрим несколько способов ее доказательства.

5.1.Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для такого треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по 2. Теорема доказана (п.1)

5.2.Доказательство Евклида:

Данное доказательство приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АС КС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и FBC=d+ABC=ABD. Но SABD=1/2 SBJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2 SABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD= SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. (п.2)

5.3. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.

Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами, а, b и гипотенузой с. Докажем, что, c²=a²+b².

Построим квадрат Q со стороной a+b. На стороне квадрата Q возьмем точки А, В, С, Д так, чтобы отрезки АВ, ВС, СД, ДА отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами a и b. Четырехугольник АВСД обозначим буквой P. Покажем, что P – квадрат со стороной c. Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику T (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника T, т.е. отрезку c. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть a и b – величины острых углов треугольника T. Тогда, как вам известно, a+b=90º. Угол y при вершине А четырехугольника P вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b=180º. И так как a+b = 90°, то g =90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника P прямые. Следовательно, четырехугольник P — квадрат со стороной c.

Квадрат Q со стороной a+b слагается из квадрата P со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику T. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T). Так как S(Q)=(a+b) 2; S(P)=c² и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab можно записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab.

Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+b². (п.3)

5.4. Векторное доказательство теоремы

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе части в квадрат, получим

c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

c²=a²+b² или c²=a²+b²

Теорема Пифагора снова доказана. (п.4)

5.5. Доказательство Хоукинса

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2

SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому:

SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана. (п.5)

5.6. Геометрическое доказательство методом Гарфилда

Дано: ABC-прямоугольный треугольник

Доказать: BC2=AB2+AC2

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.

2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

SABED=(DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2

AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC

BC2=AB2+AC2.

Теорема доказана. (п.6)

5.7. Доказательство теоремы ИНДИЙСКИМ МАТЕМАТИКОМ БХАСКАРИ-АЧАРНА

На рисунке изображен квадрат с выделенными на нем четырьмя равными прямоугольными треугольниками. Именно из такого рисунка исходил в своем доказательстве в XII веке индийский математик Бхаскари-Ачарна. Пусть сторона большого квадрата (она же — гипотенуза прямоугольного треугольника) равна с. Пусть также два его катета равны соответственно a и b. Тогда, в согласии с чертежом, (a − b)2 + (4ab)/2 = с2, то есть с2 = a2 + b2. Следовательно, если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов его катетов действительно равна квадрату гипотенузы. (п.7)

6.Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x² + y² = z²). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.
Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x, y, z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).

Некоторые Пифагоровы тройки:
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) …
Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

7.Области применения теоремы Пифагора

В настоящее время всеми признанно, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Мы привыкли думать, что теорема Пифагора — это что-то про геометрию и треугольники. На самом деле область применения теоремы намного шире и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Попытаемся

7.1.Математика и смежные дисциплины

В первую очередь теорема Пифагора применяется в школьном курсе математики и курсах смежных дисциплин. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b².

Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше - в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.
Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Ещё в Древнем Вавилоне с её помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам основания и боковой стороны, стрелку сегмента - по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников.
В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Рассмотрим формулу для расстояния между точками A (x1; y1) и
В (х2; у2) в декартовых координатах:
AB = .
С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой- АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны

|х2 –х1 | и |у2 –у1|). С другой стороны, если считать пары чисел (х; у) точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, - такие, как равенство и подобие фигур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел (х; у), для которых

=const,
где (х0; уо) - некоторая заданная точка (центр окружности).
Можно определить и все другие геометрические понятия в терминах расстояний: в частности, отрезок ^ АВ - это множество таких точек С, что
АС + СВ =АВ. А стоит добавить ещё одну координату z и соответствующее слагаемое (z2 –z1)2 в формулу расстояния - и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.
Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos2 а + sin2 а = 1 - это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.
Также теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов:
с2 = а2 + b2 – 2 a b cos С .
Если угол С прямой, то с2 = а2 + в2 , так как косинус прямого угла равен нулю. Из формулы с2 = а2 + в2 - 2 ав cos С следует соотношение d1 2 + d22 = 2(a2 + b2) между длинами диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого легко найти длину медианы треугольника по длинам его сторон.
На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длины его сторон (формула Герона). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.
Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т. д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.

7.2.Строительство и архитектура

Теорема Пифагора нашла своё практическое применение в архитектуре и строительстве. При строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д.

Согласно основам архитектуры, первым шагом в строительстве любого здания является разметка земельного участка. Это означает, что задача точного определения размеров земельного участка и разметка его на прямоугольники возникла много тысячелетий назад. На первый взгляд это кажется тривиальным. Требуется лишь четыре вбитых в землю колышка, верёвка и рулетка. Но вопрос точности всё ещё остаётся открытым. Как можно убедиться, что мы разметили настоящий прямоугольник, а не просто произвольный четырёхугольник? Как в медицине, точность в архитектуре очень важна.

Если измерить стороны прямоугольника и его диагонали, то теорема Пифагора позволяет проверить перпендикулярность смежных сторон. Но можно поступить ещё проще: если пары параллельных сторон имеют равную длину, то достаточно измерить диагонали и убедиться в их равенстве, тем самым доказав, что мы получили прямоугольник, а не просто параллелограмм.

Окна

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. Представлен простой пример такого окна в готическом стиле(п.8). Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг.

Т.к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный в приложении 9. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r=b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)

или

b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p,

откуда

bp/2=b/4-bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

Строительство крыши

Каждый день наш взгляд сталкивается с различными зданиями, и любое из них венчается крышей. Это может быть типовая плоская кровля многоэтажки, или классический двускатный «домик». Бывают и необычные варианты, которые встречаются нечасто, и приковывают к себе внимание прохожих.

Устройство крыши и кровли (защитного покрытия, предохраняющего здание от ветра, осадков, и прочих природных и техногенных вредных воздействий) – последний этап монтажных работ в строительном цикле. Однако от того, насколько успешно он будет выполнен, зависит и итоговый результат всего процесса – без надежной кровли дом бесполезен.

Так, например, рассматривая нашу четырёхугольную пирамиду (п.10) как крышу башни, возникает вопрос, какой длины нужно сделать боковые рёбра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши. А вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчёте стоимости кровельных работ. Заметим, что расчёт площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-либо стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь.

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется сотнями миллионов рублей. Теорема Пифагора в свою очередь помогает нам определить оптимальное положение молниеотвода.

Пример: (п.12) Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение: По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.

7.3.Астрономия

Теорема Пифагора, несомненно, присутствует и в астрономии, более того, занимает одно из доминирующих мест.

Явление звёздной аберрации, открытое в 1729 году, заключается в том, что все звёзды на небесной сфере описывают эллипсы. Большая полуось этих эллипсов наблюдается с Земли под углом, равным 20,5 градуса. Такой угол связан с движением Земли вокруг Солнца со скоростью 29,8 км в час. Чтобы с движущейся Земли наблюдать звезду, необходимо наклонить трубу телескопа вперёд по движению звезды, так как пока свет проходит длину телескопа, окуляр вместе с землёй перемещается вперёд. Сложение скоростей света и Земли производится векторно, используя т. Пифагора. U2=C2+V2

Также свое применение теорема Пифагора нашла при изучении пути светового луча, сигнала. Изначально она использовалась при определении расстояния до различных звезд, галактик.

Рассмотрим пример, на рисунке(п.11) показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч — прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?

Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то уравнение примет вид

c * t = l

Это ведь произведение затраченного времени на скорость.

Если взглянуть, на-то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

7.4.Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе.

7.5 Литература

Мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что вселил в них Пифагор.

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины.

8. Заключение.

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Она интересна не только своей историей, но и тем, что занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые мной в данной работе различные трактовки текста этой теоремы, пути её доказательств, а также практическое применение теоремы в области: строительства (окон, крыш, молниеотводов), астрономии, мобильной связи. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.
Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.