Роль и место квадратных уравнений в образовательном процессе школьников

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №9 г. Холмска

муниципального образования «Холмский городской округ»

Сахалинской области

Тема: «Роль и место квадратных уравнений в образовательном процессе школьников»

(проблемно –исследовательская  работа)

Подготовила:

 ученица 9-б класса

Гагарина  Екатерина

Руководитель: учитель математики

Рязанцева Л.И.

2014 г.

Содержание:

Введение.                                                                                         3

Глава 1.История квадратных уравнений.                                                        5

Глава 2.Математичская модель - квадратные уравнения   и его корни.                 8

1. Неполное квадратное уравнение;                                                        8
2. Метод выделения полного квадрата;                                                8
3. Решение квадратных уравнений по формуле;                                        9
4. Теорема Виета;                                                                        10
5. Биквадратные уравнения.                                                                11

Глава 3.Приёмы устного решения квадратного уравнения.                                 12

3.1 Свойства коэффициентов квадратного уравнения;                                12

3.2 Приём «Переброски».                                                                13

Глава 4.Квадратные  уравнения в предметах естественно-математического цикла.        14

Глава 5.Комплексные числа.                                                                15

Заключение.                                                                                        16

Список литературы.                                                                                17

Ресурсы Интернета.                                                                                17

Введение.

« Мне приходилось делить свое время  между политикой и уравнениями . однако уравнения, по –моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать  вечно.»

 Эйнштейн А.

Школьник начальных  классов, только приступивший к изучению  арифметики, скажет, что математика изучает правила счёта предметов,  школьники  постарше добавит к сказанному, что в понятие математики входят алгебра и геометрия, а выпускники средней школы включат в определение математики ещё изучение тригонометрии, вычисление  производных и интеграла.

Любой восьмиклассник нашей школы особенно выделит, что математика  изучает квадратные уравнения.

После изучения темы: Квадратные уравнения» наша учительница  по математике Л.И. Рязанцева проводит  урок- отчёт. И вот какое стихотворение написал один из её учеников:

Квадратным уравнениям посвящается

Ах, уравнения, квадратные,

вы такие разные – распрекрасные

полные, неполные, приведенные.

Коэффициент у вас буквы латинские –

а, в и с величаемы.

И пути решения у всех разные –

разложи, перенеси, дискриминант найди.

А дискриминант в² - 4ас формула особая,

к полному и приведённом уравнению

непременно применяема.

Ах, уравнения, квадратные,

 вы такие разные и корней у вас

количество разное – от двух корней

до пустого множества.

Квадратные уравнения – это математическая модель, которая позволят передать особенности изучаемого явления, ситуации.

Математическая модель  - приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.   Математическая модель — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении многих текстовых задач, при решении неравенств второй степени и дробно- рациональных,  при решении биквадратных, тригонометрических,  показательных, иррациональных уравнений. Решение многих задач физики сводится к решению алгебраических и квадратных уравнений.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики.

Овладение данными приёмами поможет мне экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы итоговых экзаменов  в 9 и 11 классах.

Я  провела опрос старшеклассников:

1. Умеете вы решать квадратное уравнение?

8-б да! недавно изучали, 100%

9-б да! 100%

11-а да! 100%

2. Где применяются решения  квадратных уравнений?

8-б – при решении задач из учебника.

9-б – при решении  текстовых задач;  при нахождении нулей квадратичной функции; при разложении квадратного трёхчлена на  множители;

при решении квадратных неравенств;

при решении биквадратных уравнений;

при решении  алгебраических уравнений, сводящихся к квадратным.

11-а – очень часто на уроках математики - при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств;

при исследовании функций с помощью производной;

при нахождении пределов интегрирования;

на уроках физики.

3. Используешь ли ты при решении уравнений свойства коэффициентов?

8-б нет

9-б да! 40%

11-а да! 20%

Знакомясь с содержанием и   структурой  диагностических тестов ГИА, я подсчитала, что в среднем 23% всех заданий требуют умения решать квадратные уравнения.

Поэтому меня и заинтересовала эта тема.

Цели работы:

      1. Познакомиться с  историей возникновения квадратных уравнений

      2. Рассмотреть способы решения квадратных уравнений: метод    выделения полного квадрата, решение квадратных уравнений по формуле, теорема Виета.

3.Изучить приёмы устного решения квадратного уравнения.

4.Узнать на уроках каких предметов задачи решаются с помощью квадратных уравнений.

5. Изучить структуру и содержание КИМ ГИА.  

Гипотеза: знания различных способов решения квадратных уравнений и приёмов устного решения квадратных уравнений способствует быстрому и правильному решению задач и экономит время.

Задачи: Квадратные уравнения – это математическая модель реальности и её применение в школьном образовании.

Глава 1. История квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени  ещё в древности была вызвана потребность решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н. э. вавилоняне. Применяя  современную  алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложено в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты переводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В “Арифметике” Диофант нет систематического изложения  алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96” .

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 – x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение

(10 + x) (10 – x) = 96,

или  же

100 – x² = 96,

x² – 4 = 0           (1)

Отсюда x = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения.

y (20 – y) = 96

                                   y² – 20y + 96 = 0                                 (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удаётся свести задачу к решению не полного квадратного уравнения(1).

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже  в 499г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:

«Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных уравнений и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) “Квадраты равны корнями”, т. е. ax² = bx.

2) “Квадраты равны числу”, т. е. ax²= c.

3) “Корни равны числу”, т. е. ax = c

4) “Квадраты и числа равны корням”, т. е. ax² + c = bx/

5) “Квадраты и корни равны числу”, т. е. ax² + bx = c.

6) “Корни и числа равны квадратам”, т. е. bx + c + ax²

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приёмами ал-джабар и ал-мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря  о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения  первого вида ал-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем  их геометрические доказательства.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVIIв.в.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в книге “Книге абака”, написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объёмистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других стран Европы. Многие задачи из “Книги абака” переходили почти во все европейские учебники 16 – 17 веков и частично 18 века. Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду: x² + bx = c,

при всевозможных комбинациях знаков  коэффициентов b, c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

          Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в 16 веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способов решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Глава 2.

Квадратные уравнения – это математическая модель, которая позволят передать особенности изучаемого явления, реальной ситуации.

2.1 Квадратные уравнения и его корни

Квадратным уравнением называется уравнение ах² + bх + с = 0, где а≠0, а, b,с – заданные числа числа, х – неизвестное.

Коэффициенты а, b,с квадратного уравнения называют так: а- первым или старшим коэффициентом,  b-вторым коэффициентом, с-свободным членом.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов  b или с равен нулю.

1. ах² = 0,      х=0

    2)    ах² + с = 0, ах² = -с

1.если с>0, то нет действительных корней

2.если с<0, то х²= -с/а

                          х=

1.  ах² + bх = 0, х(ах+в)=0

                     х=0 или ах=- в

                                    х=- в/а

2.2  Метод выделения полного квадрата

Пример1: решить квадратное уравнение

х² + 2х – 3=0

• Преобразуем это уравнение так:

х² + 2х = 3,

х² + 2х +1= 3+1,

(х + 1)² = 4.

Следовательно, х+1=2 или х+1= -2, откуда х1=1, х2= -3.

Решая уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное.

2.3 Решение квадратных уравнений по формуле.

ах² + bх + с = 0

D=b²- 4ac

Если D =0,то х=

Если D>0,то

Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней

Пример1:   х² - 4х +5 =0

D=16-4·1·5

D<0, то уравнение не имеет действительных корней

Пример2:   2х² + 3х + 1 = 0

D=9-4·2·1=1

х1=

Ответ: -1; - ½

4. Теорема Виета.

«Виет – творец математической формулы.»

Цейтен Г.Г.

«Французский геометр Виет был выше всех своих современников. Он прославился обобщением алгебры и сделал несколько важных открытий в этой отрасли человеческих знаний.»

Фигье Луи

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0.                        (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Т.е., сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней).

     а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

 Например,

            x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2  и  x2 = 1, так как q = 2 > 0 и  p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7  и  x2 = - 1,  так как q = 7 > 0  и  p= 8 > 0.

    б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

 Например,

x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1,  так как  q= - 5 < 0  и  p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1  = 9  и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0  и p = - 8 < 0.

 Пример1:     х² - 14х – 15 =0

 Ответ:   15; -1

Теорема Виета  для полного квадратного уравнения:

aх² + bх + c = 0

x1 + x2 = - b/a

x1· x2 = c/a

По праву достойна в стихах  быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда.

В числителе в, b знаменателе а.

2.5 Биквадратные уравнения.

Биквадратным уравнением — называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0.

Метод решения:

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки .

Новое квадратное уравнение относительно переменной :

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения и . Решая эти два уравнения ( и ) относительно переменной , мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Алгоритм  решения биквадратных уравнений:

1. Ввести новую переменную
2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
4. После нахождения корней () подставить их в нашу переменную и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример решения:

Решим биквадратное уравнение . Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное такое, что . Тогда . Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:

Решая это квадратное уравнение, мы получим , . Так как , то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.

Глава 3. Приёмы устного решения квадратного уравнения.

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,

х2 = с/а.

Доказательство: Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = - b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b +  с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x1x2  = - 1• ( - c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Примеры.

1)Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как, а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1,      х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как, а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1,    х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

3)Решим уравнение 5х2 – 8х + 3 = 0.

Решение. Так как 5 – 8 + 3 = 0, то  х1 = 1;  х2 = 0,6.

Ответ: 1; 0,6.

Если в квадратном уравнении     ах² + bх + с = 0 выполняется равенство          а + с = в,     то   х1 = -1;  х2 = - с/а.

Примеры: 

1) 5х2 – 8х + 3 = 0.

Так как 5 – 8 + 3 = 0, то  х1 = 1;  х2 = 0,6.

2) Решить уравнения с большими коэффициентами:

1) 319х² + 1988x + 1669 = 0.

х1 = - 1; х2  =  -1669/319.  

2) 839х² – 448x – 391 = 0.

х1 = 1; х2  =  -391/839.  

3) 939х² + 978x + 39 = 0.

х1 = - 1; х2  =  -39/939.

 3.2 Приём «Переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а  и  х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример:

1) Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета:

                                        у1 = 5               х1 = 5/2                   x1 = 2,5

                                       у2 = 6               x2 = 6/2                    x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

2) Решим уравнение 6х² - 7х – 3 = 0

x² - 7х -18 = 0

 (делим на 6)

Ответ: 1,5;-1/3

Глава 4. Квадратные уравнения в предметах естественно-математического цикла.

Задача 1. Вертикально вверх с начальной скоростью 7 м/с брошен камень. Через некоторое время =0,41 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте (от земли ) встретятся камни?

Решение: Необходимо составить уравнения движения для обоих тел. После чего объединить их и решить. Движение равноускоренное вдоль прямой, поэтому векторы не нужны и сразу пишем уравнения движения в скалярной форме. Ось координат направим вверх, тогда для скорости

V1 = V01 - g * t (поскольку начальная скорость направлена против силы тяжести.)

откуда для координаты

Х1 = Х01 + V01 * t - g * t * t / 2

для второго тела выпущенного в момент времени t1 = t + dt уравнение движения будет иметь вид

Х2 = Х02 + V02 * (t + dt) - g * (t + dt) * (t + dt) / 2

При встрече тел их координаты совпадут, что на языке математики запишется как

Х1 = Х2

или

Х01 + V01 * t - g * t * t / 2 = Х02 + V02 * (t + dt) - g * (t + dt) * (t + dt) / 2

поскольку тела запускаются из одной и той же точки и с одной и той же скоростью, то

Х01 = Х02 и V01 = V02

и окончательно уравнение принимает вид

V0 * t - g * t * t / 2 = V0 * (t + dt) - g * (t + dt) * (t + dt) / 2

У полученного квадратного уравнения относительно t может быть два, одно или ни одного решения. Нас будут интересовать решения с t > 0. Решения с t < 0 необходимо отбросить как нефизичные.

Задача 2. Груз свободно падает с высоты 500 метров. Какое расстояние преодолевает груз за последнюю секунду своего падения?

Решение: Потенциальная энергия переходит в кинетическую

gh=v^2/2

v = корень квадратный(2*g*h) - это скорость в момент удара

Рассмотрим обратный процесс примем скорость v за начальную при движении вверх, тогда пройденный путь s=v*t-g*t^2/2.

Так как t=1, то s=v-g/2 = корень квадратный(2*g*h) -g/2 = 100-5=95 метров

Задача 3. Ускорение свободного падения на Земле равно 10 м/с. Какой продолжительности должны быть сутки, чтобы тела на экваторе были невесомы?

Решение: Центростремительное ускорение есть v^2/R и оно же должно равняться ускорению свободного падения g

отсюда следует, что линейная скорость точки на экваторе должна быть

v=sqrt(g*R)

далее определяем время, которое необходимо на один оборот с такой скоростью

2*pi*R/v=2*pi*sqrt(R/g)={R=6378137 м}=5017.9 секунд

переводим в минуты и часы и получаем, что это 1 час, 23 минуты и 37.9 секунды

Глава 5. Комплексные числа.

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным  дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.

Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является.

Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Но это совсем отдельный вопрос, он меня заинтересовал и может быть в 10 классе я познакомлюсь с этим числами и узнаю как решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.  

Заключение.

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость.

А умело применять - великое искусство!

В данной работе рассмотрена математическая модель - квадратное уравнение – которая позволят передать особенности изучаемого явления,  реальной ситуации и решить  её.

Рассмотрены виды уравнений,  приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Данные приёмы  решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики. Овладение данными приёмами поможет мне экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы итоговых экзаменов в 9 и 11 классах.

 Эта тема важна тем, что в результате ее изучения мы овладеете новым  математическим аппаратом решения уравнений, позволяющим решать многообразные задачи не только математические, с помощью квадратных уравнений решаются текстовые задачи различных видов, находятся корни квадратного трехчлена, нули квадратичной функции (9 кл.), нахождение критических точек функции при исследовании функций, решение показательных, тригонометрических, логарифмических уравнений, приводимых к квадратным, нахождении пределов интегрирования(11кл.) Квадратные уравнения используются  в курсе физики при решении задач по теме: «Равноускоренное движение»,  Падение тел» и   других.

 Научившийся решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс),  знания  могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Я узнала , что квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом решаются, но на не знакомом  мне множестве чисел: на множестве   комплексных чисел. Надеюсь что в старших классах узнаю об этом множестве чисел.  

 Задачи и цель, которые  ставила в работе – знакомство с возникновение квадратных уравнений, рассмотрением  различных  способов решения квадратных уравнений, изучение приёмов устного решения квадратного уравнения, расширение знаний о применении   квадратных уравнений  в школьном образовании- достигнуты.

 Работать было интересно, потому что я  владела хорошими  знаниями и навыками решения квадратных уравнений, узнала, что мои знания будут в дальнейшем востребованы на уроках математики и физики.

А Людмила Ивановна ещё  считает, что отдельные главы моей работы могут быть использованы учителями математики при  проведении элективного курса, дополнительной информацией    при подготовке к уроку.

Список литературы:

1. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова,  М. И. Шабунин. Учебник 8 класса по алгебре.- М.:  Просвещение, 2004.
2. И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.
3. А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.
4. Г.И. Глейзер «История математики в школе»,- М.: Просвещение,1982.

Ресурсы интернета:

1. http://www.portfolio.1september.ru
2. http://www.ru.wikipedia.org

Приложение

Кодификатор

элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления

  контрольных измерительных материалов для проведения

  в 2012 году единого государственного экзамена

• Квадратные уравнения
• Квадратные неравенства
• Квадратичная функция, ее график

 Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений на ЕГЭ

Задача

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист.  Известно, что в час автомобилист проезжает на 45 км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа позже автомобилиста.

  Ответ дайте в км/ч.

Задача

 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 45 км больше, чем велосипедист

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Задача 

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 25 км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 50 минут

  позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Задача

Прямая  параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания

Задача

  Найдите наибольшее значение функции y = log 1/2 (x2 + 4x + 8)

 Задача

  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

y = (x + 1)2(x − 3) − 2[−2; 0]

Решить уравнение:

72х = 6·7х + 5 = 0

• Решите уравнение    .
• Найдите наименьший корень уравнения   .
• Решите уравнение:              
• Решите уравнение    .
• Найдите сумму корней уравнения       на промежутке [-π;2π].       

• Решите уравнение 6cos2x − 7cosx − 5 = 0 .Укажите корни принадлежащие отрезку  [−π; 2π]
• Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

• Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями :

          .

• Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции        в точке с абсциссой  . 

• Укажите промежуток, на котором функция  только возрастает.
• Найдите точку минимума функции   .

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .   

Задачи  с физическим содержанием, решаемые с помощью квадратных уравнений на ЕГЭ

Задача

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t ) = −5t² +18t ,   где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска.

Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

 Задача

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран.

 После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону  H(t)= H0 - √2gH0 kt + g,/2к²t² где — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, начальная высота столба H0 = 5 м, k = 1/700

 отношение площадей поперечных сечений крана и бака, ускорение свободного падения (считайте g = 10 м / с²) .Через сколько секунд после открытия крана в баке

останется четверть первоначального объема воды?

Задача

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран.

 После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону  H(t)= H0 - √2gH0 kt + g,/2к²t² где — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, начальная высота столба H0 = 5 м, k = 1/900

 отношение площадей поперечных сечений крана и бака, ускорение свободного падения (считайте g = 10 м / с²) .Через сколько секунд после открытия крана в баке

останется четверть первоначального объема воды?

Задача

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле L=√2RH  , где R (км) — радиус Земли  R = 6400 .C какой высоты горизонт виден на расстоянии 32 километра? Ответ выразите в километрах .

Задача

Высоту над землёй подброшенного вверх мяча можно вычислить по формуле h(t) = 1 + 11t – 5t²   (h— высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска). Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более 3 метров?

Задача

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию  предприятия-монополиста

  от цены p . (тыс. руб.) задается формулой q = 55 − 5p r.

 Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется

по формуле     r(p) = q p . ⋅

 Определите наибольшую цену  р, при которой месячная выручка r(p) составит 140 тыс. руб

  Ответ приведите в тыс. руб.