Омский Научный центр Сибирского отделения Российской академии наук

Региональная общественная организация «Омский совет ректоров»

Омское региональное отделение Всероссийской общественной организации

«Русское географическое общество»

Детская областная общественная организация

«Научное общество учащихся «Поиск»

БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«САМСОНОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

ТАРСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

XLIX

Межрегиональная научно-практическая конференция

школьников и учащейся молодежи

Тема: «Проценты в жизни человека»

Учебно-исследовательская работа

Научное направление: математика 5-8 класс

Выполнила:

ученица 6 класса

БОУ «Самсоновская СОШ»                                                                                                

Бурибо Дарья Денисовна

Научный руководитель: 

БОУ «Самсоновская СОШ»

Клочкова Светлана Викторовна

Омск - 2017

Содержание:

Введение…………………………………………………………...…3-5стр.

Гл.1. Теоретическая часть.

П.1.1. Экскурс в историю………………………………………..……6-9стр.

Гл.2. Практическая часть. Проценты в нашей жизни 

П.2.1 Проценты и дроби………………………………..…………..10-12стр.

 П.2.2. Понятие процента. Формулы.……………………………...12-16стр.

          Гл. 3. Практическое применение процентов.

          П.3.1.Проценты в жизни человека, типы задач на проценты…..17-18стр.

П. 3.2. Нахождение процентов от данного числа. ………..................18стр.

         П. 3.3. Нахождение числа по его процентам. …………………..…...18стр.

П. 3.4. Нахождение процентного отношения. …………………….....19стр.

П. 3.5. Пропорция ……………………………………………………....19стр.

П. 3.6. Нахождение процентного отношения……………………......20стр.

П. 3.7. Нахождение сложного процента…………………….........20-24стр.

          Заключение………………………………………………............……25стр.

Литература………………………………………………………...26-27стр.

Приложения……………………………………………………….28-46стр.

Введение

 Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека. [1]

Человек постепенно учился жить: строить жилища, находить дорогу в дальних походах, обрабатывать землю и одновременно учился считать. Потому что даже в самые далекие времена, когда люди жили в пещерах и одевались в звериные шкуры, они не могли обойтись без счета и меры. Ведь всюду, где надо что-то считать, измерять, сравнивать без математики не обойтись. С каждым десятилетием  математика становилась все нужнее людям. Теперь расчетами и вычислениями приходиться заниматься не только самим математикам: и инженеры, и моряки, и строители на каждом шагу сталкиваются с вычислениями[3].

           В наше время широкое распространение приобрели проценты. Кроме уроков математики слово «процент» часто можно слышать по радио, по телевидению, оно встречается и в газетах. Чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, интересуются процентом инфляции. Скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные изменения цен на товары, налог на прибыль и т.д. – всё это тоже проценты.

           В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку. Практическое значение этой темы очень велико и затрагивает различные стороны нашей жизни, в частности для решения повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов экономики и производства. Без умения понимать информацию, связанную с процентами, в современном обществе просто трудно было бы существовать. Поэтому выбранная тема особенно актуальна.

            Ведь ещё Н.И.Лобачевский говорил: ««Математике должно учить в школе ещё с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни»

Моя исследовательская работа посвящена изучению понятия процента и применению на практике.

 Цель: изучить понятие процента, формулу вычисления простых и сложных процентов для последующего использования их в повседневной жизни и установить в каких сферах жизни человека наиболее часто используются проценты.

Задачи: 1. Изучить теоретические сведения по теме «Процент, понятие процента. Происхождение процента» (найти информацию по теме в литературе и Интернете);

 2. Исследовать практическое применение процентов в различных сферах жизни человека, самостоятельно составить задачи;

3. Рассмотреть основные типы задач на проценты.

4. Проанализировать полученные результаты представить результаты работы на математическом кружке.

Объект исследования: проценты;

Предмет исследования: процентные вычисления в жизненных ситуациях 

Методы исследования: поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;  анкетирование;  математический метод выполнения вычислений; анализ полученных в ходе исследования данных.

Гипотеза: Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с применением процентов, поэтому умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку.

Гл.1. Теоретическая часть

П.1.1. Экскурс в историю

           Проценты как определенный доход, получаемый с единицы капитала в течение единицы времени, появились в глубокой древности. Уже в законах Моисея говорится о запрещении взимать проценты. В древней Греции, в частности меняльной лавке при Делийском храме, практиковалось взимание процентов. [1]

О процентах неоднократно упоминается и в древнеримском законодательстве, и в законодательстве, относящемся к более поздним временам. Затрагивает вопрос о процентах и Аристотель в своих философских сочинениях, говоря о противоестественности взимания процентов.

Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». 

О происхождении процентов, в указанном смысле, существует предположение, что первоначально они возникли как особый вид дохода, который получали владельцы за отдачу в пользование плодоносящего имущества, например, домашних животных, фруктовых садов и пр. Позднее начали пускать в оборот и денежные суммы, за пользование которыми также стали взимать плату.

Сначала появился потребительский кредит, а вместе с ним — и проценты; с развитием торговых сношений появился и коммерческий кредит, одним из стимулов которого уже служили проценты. Таким образом, проценты, как доход, появились в связи с займами и получили распространение в результате развития торговых сношений. Доход этот выражался обычно в определенной части имущества (вещей или денежного капитала), взятого в заем, причем эту часть впоследствии начали выражать в сотых долях имущества, пущенного в оборот. [3]

Для нас осталось неизвестным, как производились вычисления процентов в древнем мире. В индусских учебниках, дошедших до нас, уже встречаются примеры вычислений не только простых, но и сложных процентов. Очень много примеров вычислений процентов при коммерческих расчетах встречается в средневековых учебниках. В известной книге «Summа» Луки Пачиоло (1494) изложению процентных расчетов посвящен весь 5-й трактат 9-го раздела. Большое               распространение в коммерческом мире имели и специально составленные таблицы для вычисления процентов. Такие таблицы потом были изданы Симоном Стевином (1548—1620) (рис. 1) и перестали быть профессиональной тайной,    рис. 1                   которой они первоначально являлись. [3]

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Слово «процент», как известно, латинского происхождения. Но уже в средние века вместо латинского «procento» получило распространение итальянское «percento» или, чаще, «procento». Соответствующий этому термин в коммерческой практике у австрийцев был — «Perzent», у англичан — «per cent». Термин «рrоcent» также часто встречается в коммерческой практике в Германии в XVIII в. [3]

В отличие от печатных документов, где термин «procento» первоначально изображали полностью, в рукописях писали его часто сокращенно — «cto». Это сокращение постепенно превратилось в знак, который наряду с полным написанием названия процента, впервые встречается в печатном издании коммерческой арифметики de la Porte’a (Париж, 1685). Постепенно завоевывая себе место, этот знак особенно часто стал появляться в печатных изданиях в начале XIX в. Широкое распространение знака «%» в печатных изданиях привело к тому, что уже в середине XIX века, он получил всеобщее признание, как символ процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. [14]

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек.

Проценты из коммерческой практики постепенно проникли в различные отрасли техники и знания. Область применения процентов быстро расширилась, охватывая различные науки. Особенно широкое распространение получили проценты у нас после Октябрьской революции [1]. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Теперь проценты заняли прочное место не только в денежных расчетах, но и в науке и в житейской практике. С процентами теперь приходится иметь дело не только в коммерческих расчетах и в хозяйственном учете, но и в технике, и в физике, и в химии, и в метеорологии, и в прочих науках. За годы проценты получили популярность и среди населения, слово “процент” прочно вошло в лексикон нашего народа.
           Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Если мы говорим о предметах, о некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100%». [4]

Гл.2. Практическая часть. Проценты в нашей жизни

П.2.1 Проценты и дроби

Дробь – число вида m/n, где m € Z, n € N . В алгебре под дробью понимают выражение А/B, где А и В многочлены или одночлены.

Процент — одна сотая часть величины или какого-либо числа. Обозначается символом «%».

Процентное отношение – кратное отношение двух чисел, выраженное в процентах. Отношение 3/5, выраженное в процентах, равно   [2]

Следовательно, проценты и дроби тесно связаны между собой. С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100. Например:   2% =  =0,02.

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,14 = 0,14∙100% = 14%.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь. Например: = 0,4; 0,4∙100% = 40%.

Стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, одна пятая - 20%, а три пятых - 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы (табл. 1) облегчит решение многих задач.

Табл. 1

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так (рис.2).

Пусть x – это 100%.

                        Тогда увеличив x в 2 раза получим 2x.                         +                        =200%

        x                                                                                         x          +         x

рис.2

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот. Рассуждая, таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах. Поняв связь, между процентами и "разами”, без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже. [15]

Значение фраз “увеличить и уменьшить на ... процентов”

Увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.
на 100% → в 2 раза
на 150% → в 2,5 раза
на 200% → в 3 раза
на 300% → в 4 раза
Уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.
на 75% → в 4 раза
на 50% → в 2 раза
на 25% → в ≈ 1,33 раза
на 20% → в 1,25 раза

П.2.2. Понятие процента. Формулы.

Процент – это сотая часть любой величины: пути, массы, площади, количества объёма и т.д. Действительно, сотая часть метра – сантиметр, сотая часть центнера – килограмм, сотая часть рубля – копейка.  С помощью процентов можно выразить отношение между двумя величинами: частью и целым. Например, можно узнать в процентах количество выполненной работы, пройденного пути, почитанных страниц книги, сахара в варенье, соли в морской воде. Удобно то, что мы имеем дело не с дробями, а с целыми числами, хотя речь идёт о той же величине. Например, Атмосфера Земли – хорошо знакомый нам воздух представляет собой смесь газов: 0,78 составляет азот, около 0,21 – кислород, 0,01 – другие газы. Таким образом, проценты дают возможность сравнивать между собой части целого, упрощают расчеты и поэтому очень распространены. [3]

Формула подсчёта процентов от числа.

Пусть A-общее количество (целое),  B-количество процентов,  C- искомый результат, тогда получаем формулу: C=A∙B:100.

Таким образом, формула подсчёта процентов от числа выглядит следующим образом:

Можно воспользоваться готовой таблицей (табл.2), в которой указаны некоторые дроби и проценты, которые им соответствуют:

Табл.2

Формула подсчёта числа от процента. 

 (Где A-общее количество (целое),  B-количество процентов,  C- искомый результат).

Увеличение, уменьшение числа на заданное количество процентов

К примеру, дано число Х. Нужно, узнать чему будет равно значение Х, если его увеличить, допустим, на 40%. Сначала нужно перевести 40% в дробное число (40/100). Итак, результатом увеличения числа Х станет: Х + 40% ∙ Х= (1+40/100) ∙ Х = 1,4 ∙ Х. Если вместо Х подставить любое число, возьмем, к примеру, 100, тогда все выражение будет равно: 1,4 ∙ Х = 1,4 ∙ 100 = 140.

Примерно тот же принцип используется и при уменьшении числа на заданное число процентов. Нужно провести расчеты: Х - Х ∙ 40% = Х ∙ (1-40/100) = 0,6 ∙ Х. Если величина равна 100, тогда 0,6 ∙ Х = 0,6 . 100 = 60. [10]

Пропорция.

Понимая принцип нахождения процента и умея пользоваться пропорцией очень легко производить расчеты.

Формула пропорции выглядит следующим образом:

При решении задач методом пропорции необходимо понимать, от какого числа брать проценты. Бывают случаи, когда доли нужно взять от разных величин. [2].

Нахождение процентного отношения чисел.  

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100 % [5]

Сложные проценты.

Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов:   в = a (1 + 0,01р)n,

где    а - первоначальное значение величины; в - новое значение величины;

р - количество процентов; п - количество промежутков времени.

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так

в = а(1 + 0,01р1)(1 + 0,01р2) ... (1 + 0,01рn) [16].

Формула сложного процента по вкладу в банке  ,где  Sn – сумма вклада,  S0 – первоначальная сумма вклада, p – процентная ставка,  n количество промежутков.

Сумма вклада – сумма денежных средств на счете депозита;

Период – количество дней, за которые начисляется процент;

 n – количество периодов в течение срока вклада;

 Ставка – годовая процентная ставка;

Дней в году – фактическое количество календарных дней в году: 365 или 366.

Итоговая сумма вклада с процентами определяется следующим образом:

 [16]

Платежи по кредиту могут быть двух видов: аннуитетный платёж и дифференцированный платёж (Рис.3)

Рис.3

Формула аннуитетного платежа.

где:     Х — ежемесячный аннуитетный платеж;   S — тело кредита; m — процентная ставка банка (ежемесячная), установленная на сумму займа N — количество процентных периодов (месяцев).

Зная формулу расчета выплат, очень просто узнать точную сумму аннуитетного платежа. [17]

Расчёт дифференцированного платежа

Размер основного платежа вычисляется следующим образом: необходимо сумму кредита разделить на количество месяцев, за который планируется погашение кредита, полученное число и будет являться основным платежом.

Глава 3. Практическое применение процентов

Для того что бы определить нужны ли проценты в жизни человека и в каких сферах деятельности люди сталкиваются  (пользуются) с  процентами. Насколько часто пользуются услугами банка при кредитовании или вложении денежных средств и умеют ли самостоятельно начислять сложные проценты, мы провели практические исследования – социологический опрос. В опросе приняло участие 12 человек, из них работающих – 9, пенсионеры – 2, студенты -1

В ходе исследования были заданы вопросы и получены следующие результаты: Вопросы: - Нужны ли проценты в жизни человека? – Да. Ответили 100% респондентов;  - Используете ли кредит? – нет 17%; - Имеете ли вы вклад в банке?- да 25%; - Умеете ли вы, рассчитывать процентную ставку по кредиту, вкладу? - нет 83%  На вопрос: - В каких сферах деятельности вы сталкиваетесь  (пользуетесь) с  процентами? Мы получили самые разнообразные ответы: отчёты 33,3%, налоги 41,6%, концентрация (в жидкостях, твёрдых телах) 58,3%, покупки (скидки, распродажи) 75%. На основании ответов опрашиваемых и в соответствии с классификацией по типам задач мы постарались подобрать и самостоятельно составить задачи.

По результатам опроса (Приложение 1) я составила таблицу, результаты опроса я оформила в виде диаграмм (Приложение 2), где наглядно видно, какое важное место в жизни человека занимают проценты, насколько люди компетентны при потреблении кредита, вкладов.

Вывод: по результатам опроса можно судить о том, что ни одна область жизни человека не обходится без применения процентов (процентных расчётов), в большинстве случаев люди знакомы с применением формулы простого процента, однако зачастую пользуются сложными процентами, но как они начисляются, не имеют представления.

3.1. Проценты в жизни человека, типы задач на проценты. 

Для того чтобы уметь решать задачи на проценты необходимо знать определение процента, но и некоторые действия с процентами, такие как: перевод процентов в дробь, и наоборот – дроби в процент [6].  Все задачи на проценты можно разделить на следующие типы:

1. Нахождение процентов от числа.

 2. Нахождение числа по его процентам.

3. Нахождение процентного отношения.

4. Нахождение сложного процента.

3.2. Нахождение процентов от данного числа.       

Задача 1 (для учителя математики).  За контрольную работу по математике 25% учащихся получили оценку «отлично». Всего в классе 24 учащихся. Сколько учащихся получили оценку «отлично» за контрольную работу?

Решение: 1) 25∙24=600                  2) 600:100=6

Ответ: 6 учащихся получили оценку «отлично» за контрольную работу.

(Подобные задачи приведены в Приложении 3)

3.3. Нахождение числа по его процентам.

Рассмотрим как найти число по проценту.

Задача 1(для отчёта учителя технологии). На школьном опытном участке мы вырастили  1200 кг овощей, где из них 32% - моркови и свёклы. Сколько килограммов свёклы и моркови мы вырастили на школьном опытном участке?

Решение: 1) 1200 : 100 = 12 (кг.) - 1% от всех выращенных овощей.

2). 12 ∙ 32 = 384 (кг) - свёклы и моркови.

Ответ: 384 кг. свёклы и моркови мы вырастили на школьном опытном участке.

3.4. Нахождение процентного отношения.

Встречаются задания, где нужно узнать, на сколько процентов увеличилось число.

К примеру, дана задача1 (при подготовке к экзамену): Машинист ехал по одному участку пути со скоростью 80 км/ч. На другом участке скорость поезда возросла до 100 км/ч. На сколько процентов возросла скорость поезда?

Решение: Предположим, 80 км/ч – 100%. Тогда производим расчеты: (100% ∙ 100 км/ч) / 80 км/ч= 1000 : 8 = 125%. Получается, что 100 км/ч – это 125%. Чтобы узнать, на сколько увеличилась скорость, нужно вычислить: 125% - 100% = 25%.

Ответ: на 25% увеличилась скорость поезда на втором участке. [8]

3.5. Пропорция

Задача 1 (для покупателя). После окончания распродажи в магазине стоимость футболки возросла на 25% и составила 200 рублей. Какова была стоимость во время распродажи.

Решение: В данном случае величина 200 рублей соответствует 125% от первоначальной (распродажной) цены футболки. Тогда, чтобы узнать ее стоимость во время распродажи, нужно (200 х 100) : 125. Получится 160 рублей. [13]

Задача 2 (для пенсионеров).  У бабушки в настоящее время пенсия составляет сумму 7 000руб. В программе «Время» объявили о повышении пенсии в феврале на 5%.

Какую сумму будет составлять пенсия бабушки после повышения на 5%?

Решение:  1) 7000 руб. – 100%,                        x руб. – 5%

составим пропорцию: 1)  = 350 руб. – повысится пенсия в феврале

2) 7000+350=7350 руб. – будет составлять пенсия бабушки после повышения на 5%

(Подобные задачи приведены в Приложении 3)

3.6. Нахождение процентного отношения      

Задача 1. Сколько процентов составляет 150 от 600?

.

Задача 2 (для уборщицы).  Из зарплаты уборщицы 5100 рублей было удержано в качестве подоходного налога 663 рубля. Какой процент от заработной суммы составляет подоходный налог?

   Решение :   663: 5100*100% =13%

Ответ: 13% составляет подоходный налог.

(Подобные задачи приведены в Приложении 3)

Задача 3 (для фельдшера). Определить процент содержания спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20% и шести литров 35% растворов спирта.

Ответ:28%   (Подробное описание решения задачи приводится в Приложении 3, задача 6)

3.7. Нахождение сложного процента.       Sn = S0 (1 + 0,01р)n,

Задача 1(для пенсионеров).  Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк предлагает 10% годовых, а первоначальная сумма вклада 5000 рублей.

Ответ: 7320,5

Задача 2. Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 6 месяцев, если банк предлагает 9,5% годовых, а первоначальная сумма вклада 250 000 рублей.

Ответ: 233,56 рублей (Подробное решение задач по вкладам приводится в Приложении 3)

Как посчитать годовые проценты по кредиту?

Чтобы посчитать сумму начисленных процентов по займу, физическим лицам необходимо использовать специальную формулу: S = Sз * i * Kк / Kг, где: S – сумма процентов; Sз – сумма кредита (например, ипотеки без первоначального взноса); i – годовая процентная ставка; Kк – количество дней, выделенных банком для погашения кредита; Kг – количество дней в текущем году.

Задача 1(для повара).  Физическое лицо оформило кредит – 300 000 рублей сроком на 1 год под  18% годовых. Какую сумму заёмщик должен вернуть банку?

S  = 300 000 * 18 * 365 / 365 = 54 000 рублей придется заплатить физическому лицу за использование кредитных средств. 300 000+ 54 000 =354 000  рублей заёмщик должен вернуть банку.

При проведении расчета суммы ежемесячных платежей (дифференцированных) банки используют другую формулу:

где: Sр – сумма начисленных процентов;  t – число дней в платежном периоде;  Sk – сумма остатка займа; P – процентная ставка по займу (годовая); Y – количество дней (календарных) в году (366/365).

Задача 2. Физическое лицо оформило кредит на сумму – 60 000 рублей. Годовая процентная ставка – 17%. Срок действия кредита – 1 год (12 месяцев). Какую сумму заёмщик должен вернуть банку при дифференцированном платеже кредита?

Решение: Сумма займа, которая подлежит возврату каждый месяц, – 5 000 рублей. За январь = (60 000 * 17 * 31) : (100 * 365) = 866,30.

За февраль = (55 000 * 17 * 28) : (100 * 365) = 717,26 …

 За декабрь = (5 000 * 17 * 31) : (100 * 365) = 72,19

Ответ: 65 502,88р. заёмщик должен вернуть банку.

(Подробное решение задач по кредитам с использованием таблицы EXEL приводится в Приложении 3)

Задача 2. Пример расчета процентов с капитализацией и итоговой суммы депозита

Условия депозитного договора: Сумма вклада: от 250 000 рублей;

Срок вклада: 6 месяцев (с января по июнь в не високосный год);

Периодичность начисления и выплаты процентов: ежемесячно с капитализацией;

Процентная ставка: 9,5% годовых.

Расчет: Проценты за январь = 250 000 * 31 * 9,5/(100 * 365) = 2 017,12 р.

Проценты за февраль = (250 000 + 2 017,12) * 28 * 9,5/(100 * 365) = 1 836,62 р…..

Проценты за июнь = (257 900,10 + 2 080,87) * 30 * 9,5/(100 * 365) = 2 029,99р.

Ответ: итоговая сумма вклада с процентами - 262 010,96 рублей.

(Подробное решение задачи приводится в Приложении 3, задача 8)

Задача о выгоде.

В магазине я купила кофту стоимостью 850 рублей, её состав был указан на этикетке: COTTON  –  40%, LYKRA – 60%

Я решила выяснить, сколько денег можно сэкономить, если связать кофту на заказ, или связать самой. Посмотрев стоимость пряжи и затраты на  ручную работу пришла к выводу, что стоимость ручной работы превышает стоимость самого изделия и это не выгодно. Тогда я решила посчитать сколько смогу сэкономить денежных средств если свяжу кофту сама.

COTTON  –  125р. На 100г., LYKRA – 84р. На 100г.

Цена кофты – 850 рублей, вес 416г., цена ручной работы – 1200

Решение:  

1) 416∙60:100=250гр. – LYKRA в кофте

2)416∙40:100=166гр. – COTTON в кофте

3)250гр.∙84р.=210р. – за пряжу LYKRA

4)166гр.∙125р.=207,5р – за пряжу COTTON

5)850-(210+207,5)=432,5р. – оплата за работу

Ответ: Если я свяжу кофту сама, то сэкономлю 432,5р.

Глава составлена по материалам [6], [7], [8], [9], [10], [15].

Вывод: при решении и составлении задач я убедилась, что проценты используются в быту, на производстве, для определения налоговых отчислений, выгодных распродаж, роста цен, используются при выплате денег населению. С помощью процентов можно наглядно показать положительную или отрицательную динамику тех или иных процессов, протекающих в жизни общества. Широкий спектр применения расчёта процентов имеет банковская сфера. Знания процентных вычислений можно использовать не только на уроках, но и в повседневной жизни.

Заключение

Проводя исследования, я изучила формулы, убедилась в том, что проценты применяются во всех сферах нашей жизни.

В данной работе я рассмотрела простейшие задачи на проценты, условия которых затрагивают финансовую, социологическую, экономическую и другие сферы. Исследовала процентное соотношение девочек и мальчиков в классе, работников образования в с.Самсоново, научилась высчитывать скидки на товары, посчитала подоходный налог для нашей уборщицы в школе, поняла как высчитываются проценты по вкладам и кредитам, посчитала качество знаний учащихся нашего класса, решила задачи по ГИА.

В ходе своего исследования я пришла к выводу:

1. Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с применением процентов, поэтому умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, что подтверждает мою гипотезу.
2. Теоретические знания и практические навыки необходимы человеку в различных областях сферы деятельности для успешного выполнения своей работы, решения некоторых жизненных ситуаций, помогают грамотно разбираться в большом потоке информации, правильно вкладывать деньги, решать математические задачи.
3. Материал, представленный в работе, расширяет кругозор, пополняет теоретические знания и практические навыки по математике, экономике, физике.
4. Практическая значимость моей работы заключается в том,  приведённые выше задачи можно применять как на уроках математики, так и на факультативных занятиях, кружковой работе.

Рассмотренные примеры, показывают необходимость и актуальность изученной темы. Обнаруживает недостаточное количество часов при изучении темы «Проценты» в школьном курсе математики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1.Универсальный энциклопедический словарь М.: Мир энциклопедий Аванта+, 2007

2. Словарь – справочник по математике, Н.И.Александров, И.П.Ярандай, Йошкар-Ола, Марийское книжное издательство, 1976г.

3. Энциклопедия для детей. Математика. Москва Аванта, 2004

4. Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989

5.  Г.Г.Гильмиева, Р.Г.Хамитов.  Задачи с процентами. Решаем с      легкостью. Учебно-методическое пособие, 2008г. Риц «Школа».

6. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2012.- 280 с.

7. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2010.- 280 с.

 8. Совайленко В.К., Лебедева О.В. Сборник развивающих задач с решениями по математике для 5-6 классов. Ростов-на-Дону: Легион, 2005. 256с.

 9. Выговская В.В. Сборник практических задач по математике: 6 класс. – М.: ВАКО, 2012. – 64 с.

10. Ященко И.В. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2014. – 463 с.

 11. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. - М.: Издательство «Экзамен», 2013. – 542 с.

12. Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе. – М.: Вита- Пресс, 1999.

13. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2016. – Ростов-на-Дону: Легион-М,  2015.

        14. Задачи на проценты [Электронный ресурс]/-Режим доступа:      

         http://uchitmatematika.ucoz.ru/zadachi_proch.doc.

 15. История возникновения процентов. [Электронный ресурс] / - Режим доступа: http://www.seznaika.ru/matematika/istoriya-matematiki/2374-2010-09-04-03-55-57 

16. Формула расчета процентов по вкладам (депозитам) Интернет [Электронный ресурс] / - Режим доступа: https://bankirsha.com/formula-calculate-of-interest-on-deposit.html

17. Как точно рассчитать кредит самостоятельно и какую для этого следует задействовать формулу?  Интернет [Электронный ресурс] / - Режим доступа: http://megaidei.ru/kredity-i-zaimy/kak-rasschitat-kredit-samostoyatelno

Приложение 1

Приложение 2

Результаты социологического опроса.

1. Нужны ли проценты в жизни человека?       

2. Используете ли кредит?

3. Имеете ли вы вклад в банке?

4. Умеете ли вы, рассчитывать процентную ставку по кредиту, вкладу?

5. В каких сферах деятельности вы сталкиваетесь с (пользуетесь) процентами?

Приложение 3

Сборник задач с готовыми решениями

 Нахождение процентов от данного числа.

покупки

Задача 1. Сколько заплатили за футболку, купленную на распродаже, если первоначальная цена футболки была 300 рублей, а скидка составила 60 %.

Решение: 1) 300∙0,6=180

                 2) 300-180=120

Ответ. 120 рублей. [5], [6].

Задача 2.

 Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре — еще на 10% . Какой стала стоимость зонта в декабре?

1)360∙0,15=54р. Снизили цену в ноябре

2)360-54= 306р. Стоимость в ноябре

3)306∙0,1=30,6р. Снизили цену в декабре

4)306-30,6=275,4

Ответ:275,4 руб. [3], [4].

Нахождение числа по его процентам.

Задача 3. На швейной фабрике пошили  2400 платьев, где из них 12% - новой модели. Сколько пошили платьев новой модели?

Решение:

1) 2400 : 100 = 24 (шт) - 1% от всех платьев.

2). 24 ∙ 12 = 288 (шт) – платья новой модели.

Ответ: пошили 288  платьев новой модели.

 Пропорция

отчёты

Задача 4: В селе Самсоново 2000 жителей: из них  1,5% работают в сфере культуры и образования, из них 33,3% заняты в сфере культуры.  Сколько людей работают в сфере образования?

Решение:  пусть 2000 жителей – 100%

                            x  жителей – 1,5%

1. В первую очередь нужно найти в численном виде количество людей работающих в сфере культуры и образования. Для этого составим пропорцию:

 =30 человек работают в сфере культуры и образования.

2. Далее найдём, сколько человек занято в сфере культуры.

30 человек – 100%

x человек – 33,3%

составим пропорцию:

 = 9,99≈10 человек занято в сфере культуры

3. 30-10 =20 человек работают в сфере культуры и образования

Ответ: 20 человек.

3.5. Нахождение процентного отношения  

Отчёты

Задача 5.  В БОУ «Самсоновская СОШ» 94 учащихся, из них мальчиков 38. Сколько процентов мальчиков в школе?

 Решение: 38:94 ∙ 100% ≈ 40,4%.

 Ответ: мальчики составляют 40,4% от всех учащихся.

Задача 5.1. В нашем классе 12 учащихся из них на «4» и «5» в первой четверти закончили 8 учащихся, а во второй четверти 7 учащихся. На сколько процентов понизилось качество знаний.

Решение: 1) 8:12∙100≈66,6% - качество знаний в первой четверти

                 2) 7:12∙100≈58,3% - качество знаний во второй четверти

                 3) 66,6%-58,3%=8,3% понизилось качество знаний во второй четверти

Ответ: 8,3%

Концентрация

Задача 6. Определить процент содержания спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20% и шести литров 35% растворов спирта.

Решение: Обозначим за р% - процентное содержание спирта в растворе, полученном при смешивании двух растворов, р>0

Количество «чистого» спирта в первом растворе составляет  0,25=1 л , a во втором -  0,356=2,1 л. При смешивании общее количество спирта в растворе не изменилось. Объем нового  раствора 5+6=11 л

Получим уравнение:1+2,1=  11

11 р=310

р=  

р=

Ответ: процентное содержание спирта в растворе  % ≈ 28%

Задача 6.1. Яблоки, содержащие 70% воды, потеряли при сушке 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

Решение. Пусть было х яблок по массе. В них содержится 70% воды, значит, 30% сухого концентрата. 30% от х – это 0,3х. После сушки яблок это количество 0,3х сухого вещества так и остается. Известно, что при сушке яблоки потеряли 60% своей массы. Следовательно, осталось 40% от х, Это 0,4х. То, что осталось, примем за 100%. В этой массе 0,3х сухого вещества. Узнаем, сколько это процентов.

В сушеных яблоках 75% сухого вещества, значит, воды в сушеных яблоках 100%-75%=25%.

Ответ: в сушеных яблоках 25% воды.

Задача 6.2. Сколько литров воды нужно разбавить с 300 г соли для получения раствора с концентрацией 15%?

Решение: Пусть нужно х граммов воды разбавить с 300 г соли для получения раствора с концентрацией 15%. Выразим количество соли в х г воды 15%-го раствора. Это 15% от х. Получаем 0,15х г. По условию соли 300 г.

Получаем равенство:0,15х=300, отсюда х=300:0,15=30000:15=2000 г = 2 л воды.

Ответ: нужно разбавить 2 л воды.

Задача 6.3. В раствор сахарной воды массой 200 г с концентрацией 30% налили 100 г чистой воды. Сколько процентов составляет концентрация сахара в последнем растворе?

Решение:  В 200 г сахарной воды с концентрацией 30% содержится 0,3∙200=60 г сахара. После того, как в раствор налили 100 г чистой воды, масса раствора стала равной 300 г, а сахара в нем по-прежнему 60 г. Найдем процентное отношение массы сахара к массе раствора.

Ответ: концентрация сахара в последнем растворе составляет 20%.

Задача 6.3. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего

8 % соли, чтобы получить 5 % - ный раствор?

1) Сколько граммов соли содержится в имеющемся растворе?

(50×0,08 = 4 г).

2) Если к имеющемуся раствору добавить х г воды, масса всего раствора станет (50 + х). соли в нем будет 4г.

3) Процентное содержание соли в новом растворе будет 5%.

4) Составим  пропорцию:

4 г соли – 5%

(50 + х) г раствора – 100%.

Имеем уравнение:

5(50 + х) = 400, откуда х = 30.

Ответ: 30г.

Задача 6.4.Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить 20%-ый сироп?

Решение: Веществом, которое не меняет своей массы в новом растворе, является сахар. Поэтому найдем его массу.

180×0,25 = 45 г.

После добавления воды 45 г сахара в новом растворе будут составлять 20 % от всей массы. Пусть х г воды надо добавить, тогда масса нового раствора составляет (180 + х) г.

Имеем пропорцию: 45 г сахара – 20%;

(180 + х) г сиропа – 100%.

Из пропорции составим уравнение: 20(180 + х)= 4500, откуда х = 45.

Ответ: 45г.

 Нахождение сложного процента.      

Вклады

Задача 7.  Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк предлагает 10% годовых, а первоначальная сумма вклада 5000 рублей.

Решение: подставляя данные в формулу Sn = S0 (1 + 0,01р)n, получим следующие расчёты: Sn=5000∙(1+0,01∙10)4=5000∙(1+0,1)4=5000∙1,14=5000∙1,4641=7320,50

Ответ: 7320,5

Задача 8. Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 6 месяцев, если банк предлагает 9,5% годовых, а первоначальная сумма вклада 250 000 рублей.

Условия депозитного договора: Сумма вклада: от 250 000 рублей;

Срок вклада: 6 месяцев (с января по июнь в не високосный год);

Периодичность начисления и выплаты процентов: ежемесячно с капитализацией; Процентная ставка: 9,5% годовых.

Расчет:

Проценты за январь = 250 000 * 31 * 9,5/(100 * 365) = 2 017,12 р.

Проценты за февраль = (250 000 + 2 017,12) * 28 * 9,5/(100 * 365) = 1 836,62 р.

Проценты за март = (252 017,12 + 1 836,62) * 31 * 9,5/(100 * 365) = 2 048,22 р.

Проценты за апрель = (253 853,74 + 2 048,22) * 30 * 9,5/(100 * 365) =1 998,14 р.

Проценты за май = (255 901,96 + 1 998,14) * 31 * 9,5/(100 * 365) = 2 080,87р.

Проценты за июнь = (257 900,10 + 2 080,87) * 30 * 9,5/(100 * 365) = 2 029,99р.

В результате за 6 месяцев сумма «сложных» процентов по вкладу составила 12 010,96 рублей, итоговая сумма вклада с процентами - 262 010,96 рублей. Таким образом, вклад с капитализацией процентов за 6 месяцев принес дополнительный доход в размере 233,56 рублей.

Ответ: 233,56 рублей

Кредиты

Задача 9. Физическое лицо оформило кредит на сумму – 60 000 рублей. Годовая процентная ставка – 17,00%. Срок действия кредита – 1 год (12 месяцев). Какую сумму заёмщик должен вернуть банку при дифференцированном платеже кредита?

Решение: Сумма займа, которая подлежит возврату каждый месяц, – 5 000 рублей.

За январь = (60 000 * 17 * 31) : (100 * 365) = 866,30.

За февраль = (55 000 * 17 * 28) : (100 * 365) = 717,26 …

 За декабрь = (5 000 * 17 * 31) : (100 * 365) = 72,19

Ответ: 65 502,88р заёмщик должен вернуть банку.

Подробное решение задачи выполнено с использованием таблицы EXEL и вышеприведённой формулы в главе 2.

Рассмотрим подробнее электронную таблицу для расчета дифференцированного платежа по кредиту.

1. Определяем обязательный ежемесячный платёж 60 000:12 = 5 000
2. В столбец 3 вводим формулу для отчисления обязательного ежемесячного платежа.  60 000 – 5 000 = 55 000 (Sk – остаток займа)
3. В столбец 4 вводим формулу для начисления процентной ставки  55 000*0,17=9350. (Sk*p)
4. В столбец 5 вводим количество дней в месяце.
5. В столбце 6 по формуле сложных процентов перемножаем процентную ставку на кол-во дней в месяце. (Sk*p*t)
6. В столбце 7 по формуле (100*Y) перемножаем количество дней в году на 100.
7. В столбце 8 находим сумму выплат ежемесячного процента по кредиту

Sp=(Sk*p*t)/ (100*Y)

8. В столбце 9 находим сумму ежемесячной выплаты, для этого к сумме выплат ежемесячного процента по кредиту прибавляем сумму обязательного ежемесячного платежа.

Задача 10 В банке взят кредит на 2 года, в сумме 20 000 руб. Годовая процентная ставка составляет 22%. Как рассчитать ежемесячный взнос?

Месячная процентная ставка вычисляется по формуле m=P/100/12, где Р-годовая процентная ставка финансового учреждения. В данном случае Р=22%, значит, m = P/100/12 = 22:100:12 = 0,0183; S = 20 000; N = 24.

Подставив данные в формулы, получаем:

То есть, клиент в течение 2 лет должен каждый месяц платить банку 1037 руб. 20 коп.

Очень просто подсчитать переплату по кредиту: 1 037.20 х 24-20 000 = 4 892.80. Сумма переплаты по кредиту составит 4 892.80 руб. (аннуитетный платеж)

Задачи из сборника Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2016.

Решения задач: Все представленные задачи относятся к разделу «Реальная математика» задачи №16

 Вариант 5.

1) 200 000∙15%=30 000(р.) – добавили за год

2) 200 000+30 000=230 000(р.) – сумма вклада через  год                                        

   Ответ: 230 000 рублей.

Вариант 6.

1)300∙25%= 75(р.) – скидка

2)300-75=225(р.) - стоит билет со скидкой

3)225∙10=2 250(р.) – внесли в кассу

Ответ:2 250 рублей.

Вариант 7.

1)500 000∙12%=60 000(р.) – добавили за год

2)500 000+ 60 000=560 000(р.) – сумма вклада через год

Ответ:560 000 рублей.

Вариант 8.

1)400∙15%=60(р.) – скидка

2)400-60=340(р.) – стоит билет со скидкой

3)340∙20=6 800(р.) – внесли в кассу

Ответ:6 800 рублей.

Вариант 9.

1)20∙30%=6(р.) – скидка

2)20-6=14(р.) – стоит проезд со скидкой

3)14∙3=42(р.) – заплатит за школьников

4)42+20=62(р.) – заплатит за всех

Ответ:62 рубля.

Вариант 10.

1)80∙3=240(р.) – 3 кг яблок

2)120∙4=480(р.) – 4 кг апельсинов

3)240+480=720(р.) – сумма без скидки

4)720∙15%=108(р.) – скидка

5)720-108=612(р.) – стоимость покупки

Ответ: 612 рублей.

Вариант 11.

1)360+800+1 300= 2 460(р.) – стоит без скидки

2)2 460∙35%=861(р.) – скидка

3)2 460-861=1 599(р.) – стоит со скидкой

Ответ:1 599 рублей.

Вариант 12.

1)2 500∙2=5 000(р.) – стоят без скидки

2)5 000∙20%=1 000(р.) – скидка

3)5 000-1 000=4 000(р.) – стоит со скидкой

Ответ:4 000 рублей.

Вариант 13.

1) 100-40=60(%)-сэкономил

2)1 000∙60%=600(р.) – сэкономил

Ответ:600 рублей.

Вариант 14.

1)1 000=100% - стоят зимой

2)800∙100:1 000= 80% - стоят летом

3)100-80=20% - выше, чем летом.

Ответ: на 20% выше.

Вариант 15.

1) 680=100%  - стоил в 2014

2) 850∙100:680=125% - стоил в 2015

3)125-100=25% - возросла стоимость

Ответ: на 25%.

Приложение 4

Словарь терминов

АННУИТЕТНЫЙ ПЛАТЕЖ - это равный по сумме ежемесячный платёж по кредиту, который включает в себя сумму начисленных процентов за кредит и сумму основного долга. Расчёт аннуитентного платежа в банках производится по несколько разным формулам. Поэтому даже при одинаковой процентной ставке размер аннуитентного платежа может различаться у разных банков. [15]

БАНКОВСКАЯ СТАВКА – величина ссудного процента банка, который ему выплачивается за пользование кредитными ресурсами. [16]

ВКЛАД – денежные средства или ценные бумаги, внесенные на хранение в банк или в другое финансовое учреждение. Лицо, внесшее В., называют вкладчиком. По денежным вкладам банк выплачивает процент, а по другим — взимает плату за хранение. [16]

ДЕПОЗИТ – банковский вклад (или банковский депозит) — сумма денег, переданная лицом кредитному учреждению с целью получить доход в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом. [15]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПЛАТЁЖ -  это ежемесячный платёж по кредиту, уменьшающийся к концу срока кредитования и состоит из выплачиваемой постоянной доли основного долга и процентов на невыплаченный остаток кредита. [15]

КАПИТАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕНТОВ - это прибавление начисленных за период процентов к основной сумме вклада и последующее начисление дохода на сумму вклада и сумму прибавленных к нему процентов[15]

КОНЦЕНТРАЦИЯ (в смесях и сплавах) В смесях и растворах содержится некоторый объем чистого вещества. Отношение объема чистого вещества к объему всего раствора называется объемной концентрацией (Содержание чистого вещества в единице объема). Концентрация, выраженная в процентах, называется процентным содержанием. Термин концентрация используется в быту и на производстве. [1]

КРЕДИТ – предоставление денежных средств во временное пользование на условиях возвратности с уплатой процентов. [15]

ПОДОХОДНЫЙ НАЛОГ — основной вид прямых налогов, обязательный платеж, взимаемый с доходов физических и юридических лиц (заработной платы, прибыли и т.д.).

РАСПРОДАЖА — реализация какого-либо товара по сниженным ценам; организованный процесс снижения цен на товары разных категорий, целью которого является освобождение складских и торговых площадей для поступления нового товара. Также зачастую происходит при закрытии или ликвидации торгового заведения. [1]

СКИДКА — сумма, на которую снижается продажная цена товара, реализуемого покупателю. [1]