Проектная работа "Счет без калькулятора"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

« ВОЛГОГРАДСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ »

Счёт без калькулятора

Проектная работа

Руководитель:

                                                                                              Сидякина Софья Витальевна

Исполнитель:

                                                                                                  студент группы 1* Б

                                                                                               Свиридова Дарья Игоревна

Волгоград

2017

2

СОДЕРЖАНИЕ

Паспорт проекта……………...……………………………………………………………….3

Глава I История возникновения чисел и счёта………………………………………….......4

1. История возникновения чисел………………………………………..………………….4
2. Древние способы счёта…………………………………………………………………...5
3. Старинные способы умножения………………………………………………………..11

Глава II Счёт без калькулятора………………………………………………..……………12

1. Шесть арифметических действий с примерами……………………………..…...……12

2.2 Устный счет………………………………………………………………….…………..14

Заключение……………………………………………………………………………..……19

Список литературы…………………………………………………………………….……20

Приложение………………………………………………………………………….………21

3

ПАСПОРТ ПРОЕКТА

Название проекта – «Счёт без калькулятора»

Руководитель проекта: Сидякина Софья Витальевна

Название учебного учреждения: Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение « Волгоградский социально-педагогический колледж »

Учебный предмет, в рамках которого производится работа по проекту:

Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: -

Авторы проекта: Свиридова Дарья Игоревна

Тип проекта по доминирующей деятельности: практико-ориентированный

Проблема проекта: С древних времён жизни человек не мог обойтись без счёта. У каждого народа необходимость в простейших арифметических подсчётах возникла задолго до появления первых зачатков письменности, потому что постижение Мира во всем постоянно требовало количественной оценки знаний. Используя опыт ушедших поколений, первые великие мыслители своими открытиями закладывали фундамент древнейшей науки математики. На мой взгляд, это очень интересный предмет. Математика тесно связана с нашей повседневной жизнью. Математика встречается в нашей жизни практически на каждом шагу и совсем она не скучная. Иногда люди, при решении примеров и задач могут забыть или не знать правила вычисления, а под рукой нет калькулятора, тогда им может помочь буклет с правилами, формулами и способами вычисления.

Цель проекта: создать буклет «Счёт без калькулятора»

Задачи проекта:

1. рассмотреть историю возникновения чисел и счета;
2. составить перечень всех действий с числами;
3. найти правила на действия с числами;
4. подобрать примеры к каждому правилу;
5. выявить нестандартные способы подсчета без калькулятора («устный счет»);
6. определить структуру буклета;
7. оформить буклет « Счёт без калькулятора».

4

ГЛАВА I  ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЧИСЕЛ И СЧЁТА

1. История возникновения чисел.

Концепция числа лежит в основе познания окружающего мира. Мы оперируем числами ежедневно, не слишком задумываясь о том, что они из себя изначально представляют. Того же, кто попытается проникнуть в суть числа, ждут невероятные открытия.

Давным-давно во времена, когда у людей не было цифр, и они не умели считать как мы сейчас, у них все равно возникало огромное количество поводов для счета. Люди использовали пальцы рук, а при больших числах и ног, чтобы посчитать, например, количество голов скота в стаде.  Если уж своих пальцев не хватало, звали приятеля, чтобы уже считать на его руках и ногах. Это было достаточно неудобно. Потом придумали  делать глиняные кружочки для подсчета. И подобных вариантов существовало множество, то есть пользовались подручными средствами. В Древности  племена Майя использовали только три обозначения: точку, линию и эллипс и записывали ими любые цифры. В Древнем Египте использовали такую запись чисел: единица обозначалась палочкой, сотня — пальмовым листом, а сто тысяч — лягушкой. Но человечество развивалось, хозяйство увеличивалось, усложнялись и подсчеты. И вот примерно в V веке до нашей эры появились первые цифры. Говорят, их изобрели шумеры. На глиняных табличках они рисовали различные символы в виде клиньев. После шумеров такой системой пользовались вавилоняне и египтяне.

Римская система счисления была очень распространена в Европе и считалась на то время, идеальной: I— 1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000.

С небольшими числами она вполне удобна, но для записи больших чисел очень сложна. Еще один недостаток: невозможно письменно делать вычисления. Их можно сделать только в уме, что, естественно, может породить большое количество ошибок. Сейчас римские цифры применяют в записи века или порядкового номера.

В V веке в Индии появилась система записи, которую мы знаем как арабские цифры и активно используем сейчас. Это был набор из 9 цифр от 1 до 9. Каждая цифра записывалась так, чтобы ей соответствовало количество углов. Нуля еще не существовало, он появился позже. Вместо него просто оставляли пустое место. Далее арабы переняли индийскую систему счисления и начали применять ее.  В XII веке система попала в Европу и получила очень широкое распространение.

5

Вот такая история чисел. Сейчас тоже используются разные числа. Некоторые страны, как например, арабские страны и Китай, пользуются своими особенными цифрами. Но, все-таки, наибольшее распространение получили арабские цифры, которые используют и понимают во всем мире.

2. Древние способы счёта

Теперь обратимся к самой истории счета. В истории вычислительной техники можно условно выделить следующие этапы:

1. Домеханический(ручной ) - с древних времен до н.э.
2. Механический - с середины XVII-го века н.э.
3. Электро-механический - с 90-х годов XIX-го века
4. Электронный - с 40-х годов XX-го века

а) Домеханический период.

Пальцы человека были не только первым счетным прибором, но и первой вычислительной машиной. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи хватало. Фиксация результатов счета производилась различными способами: нанесение насечек, счетные палочки, узелки и др. Использование их требовало хорошей тренировки памяти.К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный - цифру 2. Когда считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний - 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.

На следующей схеме показаны все доступные представления «количественной» информации о пяти лосях. Они различаются по принципу соотнесения с внешним видом животных. Если такого соотнесения не происходит, то система счета приобретает абстрактный характер – такие системы появлялись в более развитых обществах.

6

В древнерусской нумерации единицы назывались "перстами", десятки - "суставами", а все остальные числа - "сочислениями". Четверичная система счета основана на "перстах" руки, не считая большого пальца. Счет восьмерками является сочетанием двоичной и четверичной систем.  Пальцевой счет девятками с помощью, так называемых девятериц - своеобразный способ умножения, обозначающей девятилетние сроки человеческой жизни. Счет десятками Русь переняла для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с ней только вXIII веке, а усвоила ее и того позже. Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы.

7

Устройство Абак  известно практически у всех народов. Оно представляет собой деревянную дощечку, посыпанную песком, на которую наносились бороздки. В этих бороздках размещались камешки или жетоны, обозначавшие цифры. В то время использовалась шестидесятеричная позиционная система, т.е. каждый разряд числа содержал 60 единиц, и в зависимости от своего места в числе каждый разряд обозначала либо количество единиц, либо десятков и так далее. Так как выкладывать в каждой бороздке по 60 камешков было затруднительно, то бороздки делили на две части: в одной помещали камешки, отсчитывающие десятки, а в другой – камешки, отсчитывающие единицы.

b)Механический период.

Основной прорыв в счете начался в 17 веке – начало эры науки. Ученые сменили торговцев и начали изобретать новые вычислительные механизмы. Важным прорывом стало создание логарифмов и счетных палочек Джоном Непером. Позднее на смену ручному счету приходит более «удобный». В 1642 г. француз Паскаль, в дальнейшем великий математик и физик, в возрасте 19-и лет создал первую счетную машину. Машина Паскаля работала по следующему принципу: при полном повороте колеса меньшего разряда механизм поворачивает колесо большего разряда на единицу. Так же и на счетах: когда младший разряд косточек заполнен, тогда добавляется косточка к старшему разряду.

8

Принцип связанных колес, заложенный Паскалем, почти на 3 столетия стал основой для создания последующих модификаций вычислительных устройств. В 1673 г. великий математик Готфрид Лейбниц, развив идею Паскаля, создал механический арифмометр, на котором можно было выполнять все четыре арифметические операции с многозначными числами.

c) Электро-механический период.

Необходимость проведения массовых расчетов (экономика, статистика, управление и планирование, и др.) и развитие прикладной электротехники, позволили создавать «умные» механизмы и электромеханические вычислительные устройства.

Расчеты были необходимы повсюду: когда требовалось построить дом, создать новое оружие или инструменты. Наконец, математические расчеты постоянно требовались для развития науки. Спустя немного времени Жозеф-Мари Жаккард создает первый механизм, управляемый программой – ткацкий станок, работающий по установленному алгоритму. Принцип станка Жаккарда применен во многих аппаратах, напри

9

мер, в аристофоне, механическом тапере, одном из телеграфов Витстона и т.д. 

Первый ткацкий станок

Работы Жаккарда продолжил Герман Холлерит, который вошел в историю как создатель электрической табулирующей системы. Он придумал машину, которая работала не с цифрами, а с зашифрованными данными.

Следующим скачком, приближающим нас к современному компьютеру, стало изобретение Конрадом Цузе своего первого образца автоматической «оперативной памяти» по принципу движущихся металлических стержней. Поэтому его изобретение могло хранить в памяти итоги промежуточных расчетов. Но по вполне не понятным причинам, доделать свое изобретение до совершенства он не смог.

d) Электронный период.

Группа изобретателей в 1943 году (ее возглавили Преспер Эккерт и Джон Мочли) начала разрабатывать другое изобретение, которое стало первым компьютером. Это был знаменитый ENIAC – первая вычислительная машина, в основе которой была работа электронных ламп. Это представитель первого поколения компьютеров. Жизнь изобретения была не долгой. Эстафету этого прибора перехватил компьютер EDSAC, который мог хранить в памяти программу. Уже через два года UNIVAC создали первый компьютер, имеющий оперативную память, которая сохраняла информацию на магнитной ленте. В одно время с ним появилось и новый гаджет – принтер, используемый для вывода информации.

10

Первая вычислительная машина

В 1950 – 1952 гг. начинается эра компьютерных разработок. В лаборатории киевского института создают необычный компьютер - малая и большая электронно–счетная машина. В тот период времени это были самые мощные компьютеры.А в 1948 году было изобретено устройство, сделавшее настоящий переворот и ставшее сердцем всех компьютеров – транзистор.Он вытеснил ламповый механизм, дав начало современным процессорам. Переломным моментом стало изобретение микросхем и создание на их основе супербыстрого и очень маленького «мозга» компьютера — процессора.

Первый транзистор

11

3. Старинные способы умножения

Русский крестьянский способ умножения. Был распространён среди крестьян губерний, он  не требовал знания всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2.

Индийский способ умножения. На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком. На этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

Египетский способ умножения. Выполнять арифметические действия  было очень сложно, особенно это касалось действия умножения. Выход из этой ситуации нашли египтяне. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

12

ГЛАВА II СЧЁТ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА

1. Шесть арифметических действий с примерами

В математике существуют 6 арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Рассмотрим их подробнее:

1. Сложение. Одна из основных операций, позволяющая объединить два слагаемых.

Запись сложения: 8 + 3 = 11

8 и 3 – слагаемые

11 – сумма

2. Вычитание. Действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 15–7 = 8

15 – уменьшаемое

7 – вычитаемое

8 – разность

Если разность 8, сложить с вычитаемым 7, это даст уменьшаемое 15. Операция сложения 8 + 7 = 15 является контрольной проверкой вычитания 15 – 7 = 8.

3. Умножение. Арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись умножения: 12 × 5 = 60 или 12 • 5 = 60

12 – множимое

5 – множитель

60 – произведение

12 × 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

В случае если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например:

5 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

5 × 2 = 5 + 5 = 10

Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».

4. Деление. Арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 48 : 6 = 8 или 48 / 6 = 8

48 – делимое

6 –  делитель

8 –  частное

13

В данном случае произведение делителя 6 и частного 8, в качестве проверки, дает делимое 48

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить дробью 3 / 5. Если частное является целым числом, в таком случае говорят, что первое из озвученных чисел нацело делится или, проще говоря, делится на второе.

Например, число 35 полностью делится на 5, ибо частное это целое число 7. Второе число в данном случае называется делителем первого, первое же – кратным второго.

Пример 1

Число 5 является делителем чисел 25, 60, 80 и не действует в качестве делителя для чисел 4, 13, 42, 61.

Пример 2

Число 60 кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным для чисел 17, 40, 90.

В случае, когда делимое не делится полностью, иногда применяют так называемое деление с остатком. Деление с остатком, это отыскание наибольшего подходящего целого числа, которое в произведении с делителем дает нужное число, не превышающее делимое.

Такое искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, которое всегда меньше делителя.

5. Возведение в степень. Операция умножения числа на самого себя несколько (n) раз.

Основание степени называется число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показателем степени называется число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, получаемое в результате взаимодействия основания и показателя степени.

Запись возведения в степень: 34 = 81

3 – основание степени

4 – показатель степени

81 – степень

34 = 3 × 3 × 3 × 3

14

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень – кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня. Арифметическое действие, обратное возведению в степень.

Запись:  = 3

81 – подкоренное число

4 – показатель корня

3 – корень

 = 81 – возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня)

= 4 – корень второй степени называется – квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: = 4

 = 2 – корень третьей степени называется – кубичным.

Правила первых четырех действий регулирующие взаимодействия с целыми числами предполагаются известными. Возведение в степень выполняется повторным умножением.

2.2 Устный счет

Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги. Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

1. Счёт на пальцах. Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа – единицам искомого произведения.

15

2.Умножение на 1,5 .Для этого нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

341,5 = 34+17=51

1251,5= 125+62,5=187,5

3. Умножение на 4. Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232

4. Умножение на 5. Этот прием невероятно прост. Возьмите любое число, разделите на 2 (поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, то не обращайте внимание на запятую, и в конце добавьте 5. Это срабатывает всегда:
2682×5= 2682:2=1341(целое число, поэтому добавьте 0)
13410.
Давайте попробуем другой пример:
5887×5=5887:2=2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435.

5. Умножение на 9. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

6. Умножение чисел от 10 до 20. К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1.

16∙18= (16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288

Пример 2.

17 ∙ 17= (17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289

7. Умножение на 11. Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:

16

53 х 11 = 583
Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583

59 х 11 = 649
Шаг 1 — 5 + 9 = 14
Шаг 2 — Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка)
Шаг 3 — На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9: 649

8. Умножение на 22,33,44…99. Нужно множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 * 11; 55 = 5 * 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример 1.

24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

Пример 2.

23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

9. Умножение на 25, 50, 125. При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5=a ∙ 10:2  ;   a ∙ 50=a ∙ 100:2 ;

a ∙ 25=a ∙ 100:4  ; а ∙ 125=а ∙ 1000:8 .

Пример 1.

27 ∙ 25 = 27 ∙ 100 : 4 = 2700 : 4 = 675

Пример 2.

43 ∙ 50 = 43 ∙ 100 : 2 = 4300 : 2 = 2150

17

10. Деление на 5, 25, 50. Можно воспользоваться следующими выражениями:

а : 5 = a ∙ 2 : 10  ;  a : 50 = a ∙ 2 : 100 ;

a : 25 = a ∙ 4 : 100 .

Примеры:

35 : 5 = 35 ∙ 2 : 10 = 70 : 10 = 7

3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 = 75

11. Деление на 5. Делить большие числа на 5 очень просто. Нужно просто умножить на 2 и перенести запятую:

195 / 5
Шаг 1: 195×2 = 390
Шаг 2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг 1: 2978×2 = 5956
Шаг 2: 595,6

12. Быстрое возведение в квадрат. Этот прием поможет быстровозвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

85 х 85 = 7225
Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72
Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25; 7225

13. Подсчет процентов. Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это.

Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:

15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)
$2.50 + $1.25 = $3.75

14. Вычитание из 100. Можете пользоваться этим простым правилом: отнимите от 9 все цифры, кроме последней, а  последнюю цифру отнимите от 10.

1000-648

18

Шаг 1: от 9 отнимите 6 = 3; Шаг 2: от 9 отнимите 4 = 5; Шаг 3: от 10 отнимите 8 = 2.
Ответ: 352

19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате работы над проектом я узнала историю возникновения чисел и счета, вспомнила все арифметические действия над числами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение из-под корня), выявила нестандартные способы подсчета без калькулятора («устный счет»). Но, я рассмотрела лишь немногие способы быстрого счета. Все рассмотренные  методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении учебных дисциплин. Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.Работа над проектом еще больше вызвала у меня интерес к математике, появилось желание к самостоятельной творческой работе.

Свою работу я оформила в виде буклета «Счет без калькулятора». В нем подробно описала правила, формулы и способы вычисления. Я думаю, что буклет станет хорошим помощником в решении затруднительных ситуаций при вычислениях.

20

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Вычисления на счетах. Кирюшин Е.Д. «Кооперативное издательство», Москва – 1925

2. От абака до компьютера. Гутер Р.С. «Знание», Москва – 1981 г.

3. История развития вычислительной техники. Ланина Э.П. ИрГТУ, Иркутск – 2001 г.

4. Логарифмическая линейка. Хренов Л.С. «Высшая школа», Москва – 1981 г.

5. Журнал «В мире информатики», Издательский дом "Первое сентября", Москва.

6. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

7. Минских Е. М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.

8. Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.

9. Журнал  « Занимательные головоломки», № 1, 2012, издатель « Де Агостини »,    Россия

10.Выгодский М. Я « Справочник по элементарной  математике », «АСТ», Москва, 2006

21

ПРИЛОЖЕНИЕ

.