Графы-проект-метапредметная связь. Интересные задачи с применением графов в различных областях:русский язык, математика, география, спортивные мероприятия и др.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 776.5 КБ |
![]() | 1.36 МБ |
![]() | 51.33 КБ |
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение города Москвы
«Московский образовательный комплекс
имени Виктора Талалихина»
Исследовательская работа
Тема: Графы - наши помощники
Разработчики: Абунина Оксана,
Рябухина Диана,
учащиеся 7 Б класса
ГАПОУ МОК им.В.Талалихина
Руководитель:
Чопурян Нарине Макичевна,
учитель физики и математики ГАПОУ МОК им.В.Талалихина
Москва
2017
Актуальность.
Понятие «графа» на уроках применяется редко. В задачах, где условие записывается с помощью рисунка, намного легко выстроить ход решения. Применяя графы, где не нужны особо глубокие познания в математике, тем самым мы показали нашим одноклассникам, что можно решать разнообразные задачи с увлечением, без затруднений, и эти задачи обладают наглядностью и доступностью.
Цель: изучить и применять теорию графов в решении задач из разных областей.
Задачи:
- Изучить теорию графов и методы ее применения на практике;
- Выявить практическое применение графов в разных предметных областях;
-Составить задачи на применение графов в разных предметных областях;
-Апробировать задачи на уроках и внеклассных мероприятий
-Сформулировать выводы
Гипотеза:
Граф помогает в решении задач, имеет практическое применение в жизни.
Методика: Для решения задачи составляется алгоритм
План работы над исследованием
№ | Перечень мероприятий | Сроки | Ответственные |
1. | Поиск информации по теме исследования | сентябрь 2016 | Абунина О. Рябухина Д. |
2. | Сбор и анализ задач с применением графов | сентябрь-октябрь 2016г | Рябухина Д. |
3. | Решение собранных задач с применением графов из различных предметных областей | октябрь 2016 | Абунина О. Рябухина Д. |
4. | Составление собственных задач с применением графов | Ноябрь 2016г. | Абунина О. Рябухина Д. |
5. | Решение задач по заданному алгоритму на разных предметах: математика, русский язык, география, биология, теория вероятности и др. | Ноябрь- декабрь2016г | Абунина О. Рябухина Д. |
6. | Апробация собственных задач (использование на уроках и внеклассных мероприятиях, на предметной неделе) | Январь-февраль 2016г. | Абунина О. Рябухина Д. |
7. | Оформление исследовательской работы | Январь-февраль 2016г. | Абунина О. |
8. | Составление презентации к работе | Январь-февраль 2016г. | Рябухина Д. |
9. | Подготовка материала к стендовой защите | Январь-февраль 2016г. | Абунина О. Рябухина Д. |
10 | Анализ и корректировка по работе | Февраль-март 2016г. | Абунина О. Рябухина Д. |
Теоретические аспекты работы
На первом этапе исследования мы изучали методику решения математических задач с применением графов.
Граф - это конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки - это вершины графа, а соединяющие линии – рёбра. В графе не обязательно, чтобы каждая вершина была соединена со всеми остальными[1].
Если в графе ни одна часть не является замкнутой линией, то такой граф называется деревом.[3]
Такая схема, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. Графы, в которых не построены все ребра , называются неполными графами[3,4]. На рисунке 4 изображен граф, соответствующий всем совершенным рукопожатиям, например, для задачи с 5-тью участниками. Этот граф является полным.
Графы Эйлера
Мы все сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами[1].
Деревья определяются как графы, не имеющие циклов. Вводятся понятия, связанные с деревьями, рассматриваются особенности деревьев и возможности их использования при решении самых разнородных задач – таких, как подсчет изомеров химического соединения, отыскание кратчайшего пути, комбинаторные задачи, вероятностные задачи, а также использование деревьев в генетике.
Применение графов в различных предметных областях
На втором этапе мы собрали информацию по применению графов в разных предметных областях:
1 пример. Граф в биологии
Чтоб составить генеалогическое дерево своего рода, надо прибегнуть к графам-деревьям[5].
2 пример: Граф в спорте
1.В школе проводятся соревнования по теннису. У болельщиков идут горячие споры о победителях: «Николай будет первым, а Вася- вторым. Первой будет Снежана, а Лариса займет третье место. Снежа будет второй, Вася может рассчитывать лишь на третье место». Кто из участников занял первое, второе и третье место, если известно, что каждое место занял один из них, и все они были призёрами?[7]
А вот и решение.
2. Алексей, Белла, Валерия и Георгий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
Ответ: 6 партий
3. Пример: Граф в математике
4 Пример: Граф в русском языке
Слог называется открытым, если он начинается с согласной буквы, а заканчивается гласной. Сколько открытых 2-буквенных слогов можно написать, используя буквы «а», «б», «в», «г», «е», «и», «о». Рассмотреть все варианты.[6]
Решение: в верхних 3-х вершинах запишем согласные, а в нижних- гласные буквы. Б-В-Г и А-Е-И-О, получаем 12 вариантов ответа.
5 Пример: Граф в географии.[8]
6 Пример: Графы в различных областях
Граф в решении головоломок [9]
Граф в решении спорных вопросов
В драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора»[7]. И тут разгорелся спор. Все началось с Хлестакова.
- Хлестаковым буду я! – заявил Гоша.
- Нет, я Хлестаков,- возразил Данила. Я мечтал воплотить этот образ на сцене.
- Ну ладно, уступлю тебе, если мне дадут сыграть Городничего, - великодушно заявил Гоша.
- …А мне – Осипа, - тихо сказал Даня.
- Хочу быть Земляникой или Ляпкиным,- сказал Саша.
- Нет, Городничим буду я, - хором закричали Александр и Богдан. – Или Ляпкиным,
добавили они одновременно.
Вопрос. Как разумно решить задачу, чтоб все были довольны?
Решение нашлось!
Составление собственных задач и их апробации на уроках и внеклассных мероприятиях.
№1
Я задумал число. Если к нему прибавить 17, потом полученную сумму умножить на 13, затем из произведения вычесть 80 и, наконец, полученную разность разделить на 15, то получится число 12. Найти задуманное число.
Решение:
сделаем рисунок.
х+17 *13 -80 :15 = Ответ:3
№2.
Условие задачи, подобное старинной задаче.
Пастуха спрашивают: «Сколько всего у тебя в стаде овец, козлов и коров?», он ответил: «Если бы к моему стаду добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составляли бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок». Решение облегчатся намного, если составить обратный отсчет-граф к задаче.
Ответ: 59
№3. В классе больше 28, но меньше 33 человек. Каждая девочка дружит с тремя мальчиками, а каждый мальчик – с пятью девочками. Сколько человек в классе?
Составляя граф, решая задачу, мы получаем, что в классе 32 ученика, так как соотношение ребер графа –это 5:3, т. е. из множества чисел от 28 до 33,только 32 делится на 8. Ответ-32 ученика в классе.
№4.
В государстве А имеется 78 городов. Из каждого города можно выехать 5 дорогами. Сколько дорог в государстве А?
Решение.
78*5:2=195.
Анализ полученных результатов: в ходе апробации задач, ребятами отмечено, что графы помогают при решении задач, т.к. условие задачи более наглядное и понятное, а решение получается правильным и несложным.
Выводы.
Мы посвящаем нашу работу всем ребятам, которые хотят знать больше, интересуются необычными решениями той или иной задачи, а также тем, у которых ,возникают трудности в понимании задачи, методе решения.
Теория графов применяется при решении задач не только в математике, но и во многих предметных областях. При первоначальных сведениях о функции в 6-7 классах, в целях наглядности мы используем рисунки графов. Графы встречаются в учебниках химии, биологии, географии, истории, активно применяются инженерами, экономистами, психологами, лингвистами, где они использованы как наглядное и экономное описание разнообразных схем, логических возможностей, классификаций. Применение графов формирует мышление, ускоряет решение практической задачи, следовательно, повышается производительность мысли. Графы - это первые помощники в решении задач по теории вероятностей и статистике, особенно при подготовке к сдаче ГИА, и мы уверены, что они нам очень помогут в этом.
Литература.
1. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7–9, М., “Просвещение”, 1991 г.
2.Березина Л.Ю. Графы и их применение. – М., 1979.
3.Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов.
4.Виленкин Н.Я. Функции в природе и в технике.- М., Просвещение,1985
5.Колмогоров А.Н. Математика: наука и профессия. – М. Наука.
6. Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. Элементы статистики и вероятности 7-9. М. «Просвещение», 2005.
7. Гусева В.А, Орлова А.И., Розенталь А.Л., «Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах», Просвещение, 1977
8. Тарасова С. В. Элективный курс «Теория графов». Методическое пособие учителя математики, г. Липецк.
9. Интернет-ресурсы.
Слайд 1
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение города Москвы «Московский образовательный комплекс имени Виктора Талалихина» Исследовательская работа «Графы -наши помощники» Разработчики: Рябухина Диана, Абунина Оксана, учащиеся 7Б класса Руководитель: учитель физики и математики Чопурян Н. М. Москва,2017г.Слайд 2
Цель работы : Изучить и применять теорию графов в решении задач из разных областей . Гипотеза : Граф помогает в решении задач, имеет практическое применение в жизни Основные задачи : выявить практическое применение графов в разных предметных областях; составить задачи на применение графов в разных предметных областях; апробировать задачи на уроках и внеклассных мероприятий; сформулировать выводы
Слайд 3
План работы над исследованием Поиск информации по теме исследования Сбор и анализ задач с применением графов Решение собранных задач с применением графов из различных предметных областей Составление собственных задач с применением графов Решение задач по заданному алгоритму на разных предметах: математика, русский язык, география, биология, теория вероятности и др. Апробация собственных задач (использование на уроках и внеклассных мероприятиях, на предметной неделе) Оформление исследовательской работы Составление презентации к работе Подготовка материала к стендовой защите Анализ и корректировка по работе
Слайд 4
Из теории графов Граф- это конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Основы теории графов впервые появились в работе Леонарда Эйлера, описывались решения головоломок и математических задач(1736год). Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, называется эйлеровым.
Слайд 5
Генеалогическое дерево рода. Здесь его вершины – члены рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности, ведущие от родителей к детям. Путь в графе от одной вершины к другой называется такая последовательность ребер, по которой можно проложить маршрут между этими вершинами. Это граф- Дерево
Слайд 6
Задача из спорта и ее решение В школе проводятся соревнования по теннису. У болельщиков идут горячие споры о победителях: «Николай будет первым, а Вася- вторым. Первой будет Снежана, а Лариса займет третье место. Снежа будет второй, Вася может рассчитывать лишь на третье место». Кто из участников занял первое, второе и третье место, если известно, что каждое место занял один из них, и все они были призёрами?
Слайд 7
Граф в математике Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 при условии, что цифры не должны повторяться? 3 5 1 5 3 1 5 3 5 1 1 3 1 3 5 Первая цифра Вторая цифра Третья цифра Ответ: 6 чисел
Слайд 8
Граф в « Кто играет в «Ревизоре»? В драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся спор. Все началось с Хлестакова. - Хлестаковым буду я! –заявил Гоша. - Нет, я Хлестаков,- возразил Данила. Я мечтал воплотить этот образ на сцене. - Ну ладно, уступлю тебе, если мне дадут сыграть Городничего, - великодушно заявил Гоша. - …А мне – Осипа, - тихо сказал Даня. - Хочу быть Земляникой или Ляпкиным,- сказал Саша. - Нет, Городничим буду я, - хором закричали Александр и Богдан. – Или Ляпкиным, добавили они одновременно. Вопрос. Как разумно решить задачу, чтоб все были довольны?
Слайд 9
Граф –помощник в русском языке Слог называется открытым , если он начинается с согласной буквы, а заканчивается гласной. Сколько открытых 2-буквенных слогов можно написать, используя буквы «а», «б», «в», «г», «е», «и», «о»? Рассмотреть все варианты. Б В Г А Е И О Всего 12 вариантов. Ответ: 12 слогов. карта БА, БЕ, БИ, БО , ВА, ВЕ, ВИ, ВО , ГА, ГЕ, ГИ, ГО.
Слайд 10
Граф в географии Несколько стран имеют флаг государства в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белой, синей, красной, зелёной. Сколько стран могут использовать такой флаг? 1 полоса 2 полоса 3 полоса 4 полоса Б С К З С К З Б К З Б С З Б С К Всего 24 страны карта К З С З С к к З Б З к Б С З З Б С к С Б к С Б Б
Слайд 11
Граф и логика Найдите путь от нижнего квадрата до верхнего, но перемещаться можно только на квадраты с числами, делящимися на себя или на 1 (простые числа). Перемещаться по диагонали запрещено, только по горизонтали и вертикали.
Слайд 12
Из сборника собственных задач 1. В государстве А имеется 78 городов. Из каждого города можно выехать 5 дорогами. Сколько дорог в государстве А ? Решение. 78*5:2=195. 2. Я задумал число. Если к нему прибавить 17, потом полученную сумму умножить на 13, затем из произведения вычесть 80 и, наконец, полученную разность разделить на 15, то получится число 12. Найти задуманное число. Ответ-59
Слайд 13
Заключение Анализ полученных результатов: в ходе апробации задач, ребятами отмечено, что графы помогают при решении задач, т.к. условие задачи более наглядное и понятное, а решение получается правильным и несложны Графы активно применяются не только в предметных областях. Инженеры, экономисты, психологи используют как наглядное и экономное описание разнообразных схем, логических возможностей . Граф-помощник в моделировании практических задач .
№1 Я задумал число. Если к нему прибавить 17, потом полученную сумму умножить на 13, затем из произведения вычесть 80 и, наконец, полученную разность разделить на 15, то получится число 12. Найти задуманное число. х |
№3. В классе больше 28, но меньше 33 человек. Каждая девочка дружит с тремя мальчиками, а каждый мальчик – с пятью девочками. Сколько человек в классе? Составляя граф, решая задачу, мы получаем, что в классе 32 ученика, так как соотношение ребер графа –это 5:3, т. е. из множества чисел от 28 до 33, только 32 делится на 8. Ответ-32 ученика в классе. |
№2. Условие задачи, подобное старинной задаче. Пастуха спрашивают: «Сколько всего у тебя в стаде овец, козлов и коров?», он ответил: «Если бы к моему стаду добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составляли бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок». Решение облегчатся намного, если составить обратный отсчет-граф к задаче.
| №4. В государстве А имеется 78 городов. Из каждого города можно выехать 5 дорогами. Сколько дорог в государстве А? Решение. 78*5:2=195 |
. | ГАПОУ «Московский образовательный комплекс имени Виктора Талалихина»Сборник задач к исследовательской работе«Графы - наши помощники» (начало)Авторы:Абунина Оксана,Рябухина Диана,учащиеся 7 Б классаГАПОУ МОК им.В.ТалалихинаРуководитель:Чопурян Нарине Макичевна,учитель физики и математикиМосква,2017г |
Плавает ли канцелярская скрепка?
Проказы старухи-зимы
Волшебные звуки ноктюрна
Привередница
Сверчок