Устный счет: гениальность или метод?

ФГБОУ ВПО «Курский государственный университет»

Факультет физики, математики, информатики

Научно – практическая конференция школьников

«Проектный метод – мой первый шаг в науку»

21 апреля 2016

Секция: Математика

Проект на тему:

«Приемы устного счета: гениальность или метод?»

Выполнили:

Гладких Евгения Михайловна,

Плешакова Алина Геннадьевна

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа
с углубленным изучением отдельных предметов № 32
им. прп. Серафима Саровского»

 5А  класс

Учитель математики:

Титова Елена Александровна

Курск, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………..3

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКАЯ………………………………………………….5

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ……………………………………………10

2.1. Применение свойств…………………………………………………….10

2.2. Округление………………………………………………………………..13

2.3.Применение устного счета в нашей жизни……..……………………....15

2.4. Логика и внимание……………………………………………………….18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….20

БИБЛИОГРАФИЯ…………………………………………………………….21

ВВЕДЕНИЕ

Каждый человек в своей жизни выполняет вычисления в уме. Всем известна картина русского художника Николая Петровича Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», написанная в 1895 году, на которой сельские школьники решают очень интересную и непростую задачу. Похоже, один парень из школьников догадался, как решать этот пример в уме.

А вы уже посчитали?.

Для того, чтобы решить этот пример, требуются высокие навыки устного счета и творческий подход. Вы, скорее всего, скажете, что в мире современных технологий компьютеры и калькуляторы успешнее людей справляются с примерами по математике, а некоторые зададут вопрос: пригодится  ли арифметика и умение считать вообще в жизни? Во-первых, всем известно, что на экзамене по математике запрещено пользоваться калькулятором. Время на выполнение экзамена ограничено, поэтому каждому ученику необходимо знать способы быстрых вычислений. Во-вторых, устный счет помогает развивать память и поддерживать ее в хорошем состоянии. Как говорится, мозг – это мышца, которую необходимо тренировать. В-третьих, навыки устного счета полезны при расчетах в супермаркетах или кафе. Тогда возникает проблема: умение считать быстро – это талант или способность, приобретаемая со временем?

Объект исследования – арифметические действия с натуральными числами.

Предмет исследования – приемы устного счета.

Цель: выяснить причины быстрых вычислений в уме.

Задачи:

- ознакомиться с информацией о людях-счетчиках;

- изучить приемы устного счета и применить их при вычислении различных примеров;

- исследовать способности к быстрым вычислениям среди пятиклассников.

Гипотеза: чтобы считать быстро, необходимо знать приемы устного счета.

Для достижения цели были использованы методы теоретического уровня (изучение и обобщение), эмпирического уровня (наблюдение,  сравнение, опрос).

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка библиографии.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКАЯ

Многие из Вас замечали, что у некоторых людей способность к вычислениям развита лучше, чем у других. Кому-то трудно  выучить таблицу умножения и сложения, а кто-то уже «видит» ответ к задаче. Среди последних встречаются настоящие гении устного счета. Их называют феноменальными счетчиками.

Согласно Википедии, феноменальный счётчик – человек, обладающий способностью к быстрому счёту, выполняемому с помощью математических алгоритмов исключительно на основе визуальных представлений без произнесения слов о выполняемых действиях и полученных результатах.[1] Приведем несколько примеров людей-счетчиков.

Джордж Паркер Биддер. Родился 14 июня 1806 года в Англии. Еще с раннего детства показал удивительные способности к вычислениям и математике в целом. Его отец называл сына "считающим мальчиком". Джордж за 6 минут мог перемножить два различных девятизначных числа или с одного раза запомнить 43 числа.

Отец хотел использовать талант Биддера: забрать его из школы и устроить в цирк, где Джордж показывал всем свои способности за деньги.  Но нашлись люди, которые смогли дать мальчику университетское образование. В 1824 году он закончил колледж, в 1834 работал инженером на железных дорогах. Его великолепные математические способности помогли Великобритании довольно быстро развить собственную сетку железнодорожных путей, не затрачивая огромное количество времени на вычисления по проектам. [2]

        Трумен Генри Саффорд.Родился 6 января в 1836 году в Роялтон, штат Вермонт (США). В раннем возрасте разработал правило для вычисления восходов и заходов Луны. [3] В возрасте девяти лет привлек внимание общественности благодаря интересному случаю. Местный священник попросил умножить 365 365 365 365 365 365 на себя.Генри обошел комнату, натянул панталоны, что-то говорил и, улыбаясь, произнес:
133 491 850 208 566 925 016 658 299 941 583 225[4].Меньше минуты потребовалось Трумену, чтобы дать верный ответ!

ШакунталаДеви.Родилась 4 ноября 1939 года в Индии. Уже в три года Деви выполняла "счетные" карточные фокусы, удивляя всех. Позднее играла в карты по памяти, обыгрывая самых известных и опытных игроков. Чем старше она становилась, тем ярче проявлялись ее математические способности. В 1977 году она могла извлечь корень 21-й степени из 210-значного числа. Причем делала она это без всяких записей и вспомогательных устройств. В 1980 году она запросто умножила 7 686 369 774 870 на 2 465 099 745 779, получила правильный ответ – 18 947 668 177 995 426 462 773 730, затратив на вычисление 28 секунд![2]

Виллем Клейн.Родился 4 декабря 1912 года в Дании. Прославился благодаря своим умениям вычислять квадратные корни. Случай во Франции: в аудитории 200 ученых-математиков, которые предложили извлечь без карандаша и бумаги корень 23-степени из 200-значного числа. Для записи этого числа потребовалось 8 досок! Клейн начинает вычислять в уме, бормоча что-то на голландском. Аудитория в напряжении наблюдает за часами. Через 10 минут 30 секунд Клейн начал записывать ответ на доске. Компьютер подтвердил правильность числа, аудитория была удивлена.[5]

Клейн занесен в книгу рекордов Гиннеса как человек, который смог извлечь корень 73 степени из 500-значного числаза2 минуты и
43 секунды. [2]

Альберто Кото Гарсия.Pодился 20 мая 1970 года в Испании. В семье любили карточные игры, где Альберто и начал проявлять свои способности. В 6 лет он вел устный счет, тем самым принимая участие виграх.Со временем интерес к числам и счету только увеличился, поэтому он начал тренировать свой ум и развивать способности, данные ему от рождения.  Альберто Кото способен менее чем за 20 секунд сложить 100 однозначных чисел, хотя многие за это время даже до конца списка цифр не успеют дойти. Также он может перемножать два восьмизначных числа, затратив на вычисления около 8 минут. В 2011 г. Гарсия поставил рекорд по скорости вычислений в уме:он безошибочно выполнил 4 математических задания всего за 2 мин. 57 секунд. [6]Он без калькуляторасложил два 100-значных числа, перемножил два 8-значных числа, извлек квадратный корень из 8-значного числа, а также определил, на какой день недели выпадают 50 календарных дат. [26]

Известны примеры людей-калькуляторов и из России.

В научно-популярном фильме «Семь шагов за горизонт», снятом по сценарию Е. Загданского, перед зрителями разворачивается выступление Игоря Шелушкова, преподавателя Горьковского политехнического института (ныне – Нижегородский государственный политехнический университет).

– Кто любит устный счет, прошу подойти ко мне. – Игорь предлагает храбрецу из зала высчитать сумму цифр, которые он будет называть одну за другой:  3, 5, 7, 2, 7, 9, 1, 4.  Хватит?  Сколько?

Испытуемый явно тянет время:

– Что – сколько? Ах, сумма... Кажется, 20.

– Неважно. Давайте попробую я.

С верхних рядов летят произносимые скороговоркой цифры. Записать – получилась бы цепочка строки на полторы. Едва прозвучало последнее слово, Шелушков называет сумму. Сначала – удивленное «правильно», а потом – аплодисменты. Снизу, слева счетчика обстреливают заданиями. И снова «верно», «правильно».[7, 8]

Слесаря из Липецка Александра Некрасова(1949 – 2015) называют «человек-компьютер». Онмог в уме извлечь корни степени от двух до тысячи из чисел, состоящих изнескольких сотен цифр. Перед вычислениями он сосредотачивался, раскачивая при этом головой. Затем просил показать ленту с цифрами, пристально вглядывался в них и через 20 секунд, глядя в пространство, диктовал ответ. Первые пять цифр ответа были точными, а шестая являлась результатом округления следующих цифр. Некрасов рассказывал, чтоцифры ответа представлялись ему  «в виде цифр в шарах». Также Александр Некрасов владел телепатией и телекинезом.[9]

Не менее известен «человек-календарь» ВладимирКутюков (62 года). В опытно-конструкторском бюро приборов контроля и автоматики не совсем обычный инженер из Йошкар-Олы продемонстрировал свои уникальные способности к устным календарным исчислениям18 мая в 1992 году. За считанные секундыон способен сообщить, что 1 января 1800 года было пятницей,или ответить на вопрос, сколько секунд прошло со времени смерти Нерона до падения Константинополя, или каким днем будет 23 марта 28348623 года.Естественно, он учитывает високосныегода, смену календаря в 1582 году и другие трудности.[10]

В 2012 году была опубликована статья в газете «Аргументы и факты»: «Житель Екатеринбурга Марк Вишня прогремел на всю Россию. В популярном телешоу он словно орехи щёлкал задачки на умножение двухзначных чисел, извлечение корня, вычисление логарифма и синуса с косинусом в придачу. Жюри было в восторге, ведь Марку на тот момент… едва исполнилось три года. Сейчас он первоклассник. И, говорят, недавно обыграл самого Анатолия Вассермана на съёмках новой телепередачи. «Уникальные способности у него стали проявляться в 10-месячном возрасте, - рассказывают родители мальчика. - В два года он вызубрил таблицу умножения. Освоил деление, потом начал вычислять квадратные корни». Кроме того, Марк Вишня запоминает и пересказывает огромные отрывки текстов. И поправляет взрослых, когда они делают ошибки при чтении...»[11]

Сегодня существуют даже соревнования для людей-счетчиков. Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом». [12] По результатам Чемпионата 2014 года, первое место получил Грант Таккар из Индии, 2-е место занял Марк ХорнетСанс из Испании, 3-м стал ЧиИсикава из Японии. В 2016 году Чемпионат состоится 23-25 сентября, Билефельд, Германия. По итогам соревнования будут определены два главных победителя. Один получит титул «Чемпион мира по устным вычислениям – быстрый счёт в уме», второй победитель получит титул " Чемпион мира по устным вычислениям - универсальная машина - голова". [13]

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

2.1. Применение свойств

Зачастую приемы устного счета появляются благодаря поиску закономерностей при применении свойств сложения и умножения. Перельман советует следующие приемы.

Замечательные 4 и 8.

 Умножение и деление на 5.

Умножение на 9 и 11.

Очень интересно правило умножения на 11 по методу Трахтенберга. [15]

1.Последняя цифра множимого записывается как самая правая цифра результата.

2.Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат.

3.Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата.

23·11 = 2(2+3)3 = 253

75·11=7(7+5)5=825

235·11=2(1+3)(3+5)5=2485

Умножение и деление на однозначное число.Чтобы устно умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки множимого, затем единицы и результаты складывают[14].

24·7= 20·7+4·7=140+28= 168

Чтобы устно разделить число на однозначное необходимо представить его в виде суммы таких слагаемых, чтобы каждое поделилось на заданное число, а результаты сложить.

156:6=120:6+36:6=20+6=26

Умножение на двузначное число. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число[14].Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (применяется сочетательное свойство).

45·16 =90·8 = 720

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы, т.е. умножение сводится к применению распределительного свойства.

29·12=29·10+29·2=290+58= 348

Так мы заметили закономерность умножения на 15: так как 15=10+5, то к множимому необходимо применить правила умножения на 10 и на 5, а результаты сложить, т.е.к первому слагаемому прибавить его половину.

16·15=160+80=240

Но в пределах 20 можно использовать следующее правило:

1.К одному из чисел прибавьте количество единиц другого.

2. Полученное число умножьте на 10.

3. Прибавьте к результату произведение единиц.

16·18 = (16+8)·10+6·8 = 288[16]

Чтобы легко умножать и делить, мы изучили наиболее распространенные приемы. Конечно, их не охватить все, и как мы заметили, одно и то же действие можно выполнять разными способами (умножение на 11). Посмотрим, что происходит с приемами сложения и вычитания.

2.2. Округление чисел

Давать приближенную оценку тем или иным вещам приходится довольно часто в  повседневной жизни. Во что обойдется содержание вашей машины в этом году? На сколько большими будут расходы на ремонт? Сколько придется заплатить банку за покрытие кредита? Сколько денег оставим в магазине на кассе? [17]

Но округление можно использовать и в качестве приема сложения и вычитания чисел.Прием «округления» применяется, если хотя бы один из компонентов является числом, близким к круглым десяткам, сотням, тысячам и т.д.)

1. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

274 + 97 = 274 + (97 + 3) - 3 = 274 + 100 – 3 = 374 – 3 = 371;

1996 + 759 = (1996 + 4) – 4 + 759 = 2000 + 759 – 4 = 2759 – 4 = 2755.                        2. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. На основании этого выполняется округление одного слагаемого за счет другого.

998 + 1526 = 1000 + 1524 = 2524.        

3. Если вычитаемое, увеличить на несколько единиц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увеличить на столько же единиц.

5433 – 3996 = 5437 – 4000 = 1437.        

4. Если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц.

10012 – 9775 = 10000 - 9775 + 12 = 225 + 12 = 237.[18]

Существуют ситуации, когда полная точность не нужна или невозможна.

Ситуация 1. Астрономы утверждают, что расстояние от Луны до Земли 384 тыс.км.  Неужели расстояние так точно подсчитано и является настолько «круглым» числом? Очевидно, что нет. Однако мы верим астрономам.

Ситуация 2. Директор стадиона точно знает, что на футбольный матч продано 46 584 билета, но комментатор матча скажет, что на стадионе 40-50 тысяч (или около 45 тысяч) зрителей, и такой информации слушателям вполне достаточно.

Ситуация 3 (задача-шутка). Экскурсанты, указывая на скелет, спросили сторожа музея: «Сколько лет этому динозавру?» - «Один миллион тридцать четыре года.» - «Откуда Вы так точно знаете его возраст?» - изумились посетители. «Это просто! – ответил сторож. – Когда 34 года назад я пришел работать в музей, мне сказали, что этому динозавру миллион лет.» Правильно ли рассуждал сторож? [19] Очевидно, что нет.

Ситуация 4. В ТЦ «Европа» акция: 5 кг сахара стоят 178 рублей 90 копеек. Тут же без акции 10 кг сахара стоят 339 рублей 90 копеек. Что выгоднее: 2 мешка сахара по 5 кг (по акции!) или 1 мешок за 10 кг?

Округлив цены до целого и сравнив результаты, получим: 2 мешка по 5 кг (360 рублей) стоят больше, чем 1 мешок по 10 кг (340 рублей). Разница невелика, но задуматься стоит.

Ситуация 5 (ремонт квартиры). Побелка одного квадратного метра потолка стоит 120 рублей. Сколько надо заплатить за побелку потолка в комнате длиной 6 м 18 см и шириной 3 м 65 см?

Округлив до целых, получим площадь потолка: 6*4=24 (м2). Следовательно, цена за побелку потолка приблизительно будет
120·24=(100+20)·24=2400+4803000 (руб.)

Мы уверены, что каждый встречался с подобными заданиями в быту, решал их, не задумываясь о том, что применял прием устного счета.

2.3.Применение устного счета в нашей жизни

Одним из домашних заданий было выяснить, пользуются ли наши родители математикой на работе или в быту. Каково было удивление, не было ни единого ответа «нет». Существует даже рейтинг профессий, в основе которых лежит математика! В 2016 году было выделено 10 профессий, в которых требуются глубокие знания по математике: ученый, инженер, финансист, музыкант, архитектор; аналитик и статистик; программист, кладовщик, синоптик, штурман. [25]

Мы решили провести опрос среди пятиклассников и получили следующие результаты.

1.Нравится ли тебе устный счет?

ДА - 55/60

НЕТ – 5/60

2.Используешь ли ты устный счет в быту?

ДА – 52/60

НЕТ – 8/60

3.Ты сразу знаешь («видишь») ответ?

ДА – 41/60

НЕТ – 19/60

4.Ты знаешь и используешь приемы устного счета при решении задач?

ДА – 52/60

НЕТ – 8/60

5.Примеры с какими арифметическими действиями даются тебе легче всего?

СЛОЖЕНИЕ – 54/60

ВЫЧИТАНИЕ – 30/60

УМНОЖЕНИЕ – 42/60

ДЕЛЕНИЕ – 25/60

Результаты мы оформили в виде диаграмм, которые дали нам возможность сделать грамотно выводы.

Большинству опрошенных пятиклассников нравится устный счет. Учащиеся успешно применяют приемы устного счета не только на уроках математики, но и в жизни. Лучше всего в уме вычисляются примеры на сложение и умножение. Среди опрошенных было 19 учеников, которые с легкостью решают примеры на все виды арифметических действий, что говорит об их предрасположенности к математике.

Мы поговорили с такими учащимися (они не скрывали свои способности), и выяснили, что для успешных вычислений одних приемов недостаточно. Необходимы…логика и внимание!

2.4. Логика и внимание

Логические задачи – это своеобразная "гимнастика для ума", средство для утоления естественной для каждого мыслящего человека потребности испытывать и упражнять силу собственного разума.[20] Предлагаем Вашему вниманию несколько задач на логику.

Проверим продавца. Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 3,45 шекеля, коробку творога стоимостью 3,6 шекеля,6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбил чек на 29,6 шекеля, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счет неверен?

Ответ: каждый из продуктов стоит такое количество шекелей, которое делится на 3. Значит, вся сумма (в чеке) тоже должна делиться на 3, что не произошло.

Сколько стоит книга?За книгу заплатили 100 руб. и осталось заплатить еще столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за нее заплатили бы столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?[21]

Ответ: условие задачи можно переформулировать по-другому. Книга стоит 100 рублей и еще столько же, то есть 200 рублей.

О землекопах.5 землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 25 м канавы за 25 часов?

Ответ: 5 землекопов, т.к. они за 1 час выкапывают 1 метр канавы, за 5 часов – 5 метров, а за 25 часов – 25 метров.

        Удивила нас и вторая составляющая: внимание - сосредоточение мыслей или зрения, слуха на чём-либо. [22]Умение концентрироваться на определённом примере полезнопри решениине только математических задач, но и различных жизненных ситуаций. Умение быть внимательным в нужный момент – это навык, который выделяет великих ученых, спортсменов, политиков. Среди приемов концентрации внимания Евгений Буянов  выделил следующие: визуализация, игра, состязательность, скучная работа, внешние раздражители и личные рекорды. [23]

Попробуйте пройти тест.

1.Вы ложитесь спать в 9 вечера, а будильник заводите на 9.30 утра. Сколько часов вы будете спать?

2.Сколько концов у пяти с половиной толстых палок?

3.Вы за рулём машины, в которой едут два 79-летних старца, 5-летняя девочка, новорождённый мальчик и ваш 33-летний дядя. Сколько лет шофёру?

4.У вас на руках 10 пальцев. А сколько пальцев на 10 руках?

5.В клетке 12 попугаев. Все, кроме 11 попугаев, улетели. Сколько осталось?[11]

Ответы:

1.Через 30 минут.

2.12

3.Столько же, сколько и Вам.

4.50

5.11

Сверьтесь с ответами и сделайте выводы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Устный счет – математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т.д.) [24]

Как правило, люди, которые хорошо считают в уме, имеют математическое образование. Но навык устного счета не опирается на одни лишь знания. Это доказывают люди-счетчики.

Что необходимо знать и уметь обычному школьнику или взрослому, чтобы владеть такой уникальной способностью? Или все-таки люди рождаются гениями?Чтобы успешно считать в уме, мы выделили три составляющие:

1.Приемы устного счета: знание специальных алгоритмов и умение их применять при решении различных примеров.

2.Тренировка: применение различных приемов не только на уроках математики, но и в жизни. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если знаете самый удобный алгоритм.

3.Способности: способность концентрировать внимание и предрасположенность к математике и логическому мышлению.

Таким образом, цель работы достигнута, задачи выполнены, гипотеза подтверждена.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Википедия [Электронный ресурс]//Феноменальный счетчик. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D1%87%D0%B8%D0%BA(Дата обращения: 07.04.2016)
2. Молодежный портал [Электронный ресурс]//Самые известные люди-счетчики. – URL: http://xage.ru/samyie-izvestnyie-lyudi-schetchiki/(Дата обращения: 07.04.2016)
3. Википедия [Электронный ресурс]//TrumanHenrySafford. – URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Truman_Henry_Safford(Дата обращения: 07.04.2016)
4. History topic: Memory, mental arithmetic and mathematics [Электронныйресурс]. – URL: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Mental_arithmetic.html(Датаобращения: 07.04.2016)
5. Информационное поле Земли [Электронный ресурс]//Встреча с человеком-компьютером. – URL: http://ufoleaks.su/news/2690-vstrecha-s-chelovekom-kompyuterom.html (Датаобращения: 07.04.2016)
6. Калькулятор онлайн [Электронный ресурс]// Альберто Кото Гарсия – феноменальный человек-счетчик. – URL: http://www.calculator888.ru/blog/biografiya/alberto-garsiya.html (Дата обращения: 07.04.2016)
7. Наглядная арифметика [Электронные ресурс] //Люди-супервычислители – URL: http://n-arifmetika.narod.ru/itx02_super-man.htm (Дата обращения: 07.04.2016)
8. Youtube [Электронный ресурс]//Шелушков. – URL: https://www.youtube.com/watch?v=10Jbe4CKw1M (Дата обращения: 07.04.2016)
9. Библиотекарь.Ру - электронная библиотека нехудожественной литературы по русской и мировой истории, искусству, культуре, прикладным наукам. Книги, периодика, графика, справочная и техническая литература для учащихся средних и высших учебных заведений//Человек-компьютер. –URL: http://www.bibliotekar.ru/divo/29-9.htm (Дата обращения: 07.04.2016)
10. Библиотекарь.Ру - электронная библиотека нехудожественной литературы по русской и мировой истории, искусству, культуре, прикладным наукам. Книги, периодика, графика, справочная и техническая литература для учащихся средних и высших учебных заведений//Человек-календарь. – URL: http://www.bibliotekar.ru/divo/29-11.htm (Дата обращения: 07.04.2016)
11. Аргументы и факты [Электронный ресурс]// Стать гением может каждый, или Кто такие люди-счётчики? – URL: http://www.aif.ru/health/life/32317 (Дата обращения: 07.04.2016)
12. Википедия [Электронный ресурс]//Соревнования по устному счету. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D1%87%D0%B8%D0%BA (Дата обращения: 07.04.2016)
13. The International World Record Breakers' Club [Электронныйресурс]. – URL: http://www.recordholders.org/downloads/worldcup/information-ru.pdf
14. Перельман Я.М. – Быстрый счет. Тридцать приемов устного счета. – Ленинград, 1941.
15. Катлер Э., Мак-Шейн Р. – Система быстрого счета по  Трахтенбергу. – М.: Просвещение, 1961.
16. https://4brain.ru/schitat-v-ume/chastnye-metodiki.php (Дата обращения: 07.04.2016)
17. Хэндли Б. – Считайте в уме как компьютер. – Мн.: Попурри, 2006.
18. Единая коллекция образовательных ресурсов [Электронный ресурс]//Способы быстрых вычислений. – URL: http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/9aeafe57-557e-4d23-8e58-4a88f71627f7/index.html (Дата обращения: 07.04.2016)
19. Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б.  и др. -  Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс. – М.: Просвещение, 2014.
20. Программа интеллектуального досуга [Электронный ресурс]//Логические задачи. –URL: http://www.potehechas.ru/zadachi/zadachi_3.shtml (Дата обращения: 07.04.2016)
21. Занимательная математика школьникам [Электронный ресурс]//Список задач по занимательной математике. Задачи на внимание. – URL: http://www.math-on-line.com/olympiada-edu/katalog-math-fun-attention.html (Дата обращения: 07.04.2016)
22. Ефремова Т.Ф. Новый словарь русского языка. Толково- словообразовательный словарь (онлайн-версия). – URL: http://www.efremova.info/ (Дата обращения: 07.04.2016)
23. 4brain [Электронный ресурс]//Устный счет: как научиться считать в уме. – URL: https://4brain.ru/schitat-v-ume/vnimanie-i-koncentracija.php (Дата обращения: 07.04.2016)
24. Википедия [Электронный ресурс]//Устный счет. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82 (Дата обращения: 07.04.2016)
25. Edunews. Все для поступающих [Электронный ресурс]// Рейтинг профессий, связанных с математикой 2016. – URL: http://edunews.ru/professii/rating/svuazannie-s-matematikoy.html (Дата обращения: 07.04.2016)
26. Пятый канал [Электронный ресурс]// Новый рекорд вычислений в уме установил испанец Альберто Кото Гарсия. – URL: http://5-tv.ru/news/44803/ (Дата обращения: 07.04.2016)