Вероятность в информатике, математике и физике

Слайд 1

Слайд 2

Что такое вероятность ? Относительная частота событий и ее свойства Вероятность события и его свойства Теорема о сложении вероятностей Условная вероятность Зависимые и независимые события . Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности и формула Байеса Вероятностный подход к измерению количества информации . Теория вероятностей на ЕГЭ по математике Вероятность в физике . Содержание

Слайд 3

Вероятность — численная мера возможности наступления некоторого события. Вероятность С практической точки зрения, вероятность события - это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений и опытов . Например , если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины , то можно говорить , что вероятность того , что встреченный на улице человек окажется женщиной , равна 1 /2 . Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.

Слайд 4

Пусть проводится N испытаний , в каждом из которых может появиться или не появиться событие A . По завершении испытаний оказалось, что событие A наступило M раз. Свойства Относительная частота событий и ее свойства Определение. Относительной частотой (частостью) события называют число P*(A )= M/N где M- число появлений события A,N-общее число проведенных испытаний . Пример 1.Стрелок сделал 100 выстрелов по мишени и попал 90 раз. Пусть событие A = {попадание в мишень при одном выстреле}. Тогда P(A )=90/100=0.9 Пример 2.Посажено 70 плодовых деревьев, на другой год оказалось, что прижилось 5 0 . Событие A - {посаженное дерево приживается}. Получаем P(A )=50/70=0.71

Слайд 5

1 . Частость события - величина безразмерная и изменяется на множестве 2. Частость достоверного события равна 1 . 3. Частость невозможного события равна 0. 4. Частость случайного события изменяется на множестве (0, 1 ). Свойства 1 - 4 легко доказываются с помощью определения частоты и классификации событий. Так, например, пусть событие A достоверно . Это означает, что в серии из N испытаний оно наступило N раз Свойства частости события . [0,1]={P*(A):0 P*(A) 1}. P*(A)= =1

Слайд 6

Вероятностью события A называется отношение числа m равновозможных элементарных событий, благоприятных для A, к числу n всех возможных элементарных событий. Вероятность события A обозначают P(A ). Таким образом , Пример . Брошена игральная кость. Найти вероятность события A = {выпало четное число очков }. Решение . Элементарными событиями, благоприятными для A , являются события: А 1 = {выпадение 2 очков}, А 2 = {выпадение 4 очков}, А 3 = {выпадение 6 очков}. Всего таких событий 3.Имеется шесть элементарных событий, n = 6, следовательно, C войства вероятности события 1 ) . Так как , каково бы ни было по своей природе событие A . 2 ) . Если A - событие невозможное, то P(A ) = 0. 3 ) . Если B - событие достоверное, то P(B ) = 1 Пример по сложнее Вероятность события и его свойства P(A)= P(A)= = . 0≤m≤n, то 0≤P(A)≤1

Слайд 7

Пример. Найти вероятность события A= {выигрыш наибольшей суммы при игре в лото по 1 билету}, если для этого необходимо угадать 5 из 36 чисел . Решение. При наличии одного билета имеется одно благоприятное для A элементарное событие = {все 5 чисел угаданы правильно}, то есть m=1 Число n всех элементарных событий равно числу всевозможных групп из 5 чисел, отличающихся хотя бы одним числом, т. е. n P(A)= Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту ( читается “ биномиальный коэффициент из n по k ”) (

Слайд 8

Суммой или объединением двух событий A и B называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначают C=A+B или C=(A или B ). Вероятность наступления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е. P(A+B )=P(A)+P(B) Доказательство Теорема сложения для большего числа попарно несовместных событий формулируется и доказывается аналогично : P (A или, B или C) = P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). Следствие Теорема о сложении вероятностей  Пример

Слайд 9

Пусть n- число всех возможных элементарных событий, при которых может наступить событие A или событие B . Пусть m A - число равновозможных элементарных событий, благоприятных для A, m B - такое же число для события B . Имеем Очевидно , m А +m В - число элементарных событий, благоприятных для появления события или A , или B , так что Теорема сложения для большего числа попарно несовместных событий формулируется и доказывается аналогично P(A или , B или C)=P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C). Очевидно , m А +m В - число элементарных событий, благоприятных для появления события или A , или B , так что P(A)= ,P(B)= P(A или B)=P(A+B)=

Слайд 10

Следствие 1. Если события A, B, C образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1. Действительно, в результате испытания обязательно произойдет из этих событий (или B, или A, или C). Поэтому A+B +C- событие достоверное и P(A+B+C)=1 Следствие 2 . Сумма вероятностей двух противоположных событий A и не A равна1. Противоположные события являются частным случаем событий, образующих полную группу, поэтому В частности, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8, то вероятность промаха равна 1–0,8 = 0,2 . P(A)+P( A) =1 P( A)= 1- P(A).

Слайд 11

Очевидно , что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B – одна деталь стандартная, две нестандартные; C – две детали стандартные, одна нестандартная и D – три детали стандартные . Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A=B+C+D . По теореме сложения имеем P(A)=P(B)+P(C)+P(D). Находим вероятность каждого из этих событий Сложив найденные величины, получим P(B)= P(C)= P(D)= P(A)= Пример.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной .

Слайд 12

Условная вероятность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло . Условной вероятностью ( два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е. В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности: Пример Условная вероятность P(AB)=P(B)⋅P(A|B)=P(A)⋅P(B|A). P(A|B)= , P(B|A )= . (B)=P(B|A)

Слайд 13

Решение . Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2. Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи ): AA,AB,BA,BB . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1. Так как все эти события совместны, то: отсюда искомая вероятность P(AA)=P(A) P(A | A)= ; P(BA )=P(B) P(A | B)= ; P=P(AA)+P(BA)= В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1 ?

Слайд 14

Вероятность произведения двух независимых событий А,В равна произведению их вероятностей : События А, В называются зависимыми , если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью . Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого : Вероятность события В при условии появления события А : Зависимые и независимые события Р(В) = Р(В | А), Р(А) = Р(А | В) или Р(В | А) – Р(В) = 0 Р(АВ) = Р(А) P (В) P(A В) = Р(В) Р(А | В) или Р(АВ) = Р(А) Р(В | А) Р( B | A ) = События А,В называются независимыми , если вероятности каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.Вероятности независимых событий называются безусловными. Если два события А и В – независимые, то справедливы равенства:

Слайд 15

Теорема умножения вероятностей Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило : Пример 1 .В корзине 7 яблок, 3 груши и 4 апельсина. Наудачу взяли 3 раза по фрукту. Найти вероятность того, что фрукты были взяты в последовательности: яблоко, груша, апельсин . Пример 2.Имеем 2 урны с шарами: в первой 20 шаров, из них 1 1 окрашенных , во второй 30 шаров, из них 21 окрашенных . Взяли по одному шару из каждой урны. А – оба шара окрашены. Найти P(A). Решение. P(A)= , (B)= , (C)= P(A)=P( ) P( )=

Слайд 16

Вероятность хотя бы одного появления события А в n испытаниях . Если имеется n испытаний, вероятность появления события A в каждом из которых одинакова и равна P(A) , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий вычисляется по формуле : где q – вероятность противоположного к A события . Пример . Стрелок 4 раза стреляет по мишени ( n=4 ); вероятность попадания при каждом выстреле p=0.8 . Найти вероятность хотя бы одного попадания . Решение . P(A)=1-

Слайд 17

Формула полной вероятности и формула Байеса Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле Эта формула называется формулой полной вероятности . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез . По теореме умножения вероятностей откуда Аналогично, для остальных гипотез Полученная формула называется формулой Байеса Пример P(A)=P( P P( +…+P( P( ). , ,…, P( P( ) P =P(A) P , P( A)= , i=1,…,n. P( A)=

Слайд 18

В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта. Решение . Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям. Можно применить формулу полной вероятности : Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность : P( )=0.2 P =0.1 P( P P( )=0.5 P =0.2 P(B)=0.2 0.1+0.3 0.05+0.5 0.2=0.135 , ,

Слайд 19

Сообщение является информативным, если оно пополняет нас знаниями или уменьшает неопределенность наших знаний. Пример 1 . Мы бросаем монету и пытаемся угадать. Какой стороной она упадет. Возможен один результат из двух, перед броском существует неопределенность знаний. После броска наступает полная неопределенность знаний. Так как из двух равновероятных событий произошло одно, то неопределенность наших знаний уменьшилось в 2 раза. Пример 2 . вытягивание билета на экзамене. Количество информации, которое находится в сообщении о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, принято за единицу измерения информации и равно 1 биту . 1 бит – это количество информации, уменьшающее неопределенность наших знаний в 2 раза. Существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий и количество информации. , где N - количество возможных вариантов , I – количество информации . Если из этой формулы можно выразить количество информации, то получится Вероятностный подход к измерению количества информации в информатике Задачи N=2 I I=log 2 N

Слайд 20

1.Какое количество информации несет сообщение о результате жребия при бросании монеты (например, выпал орел )? Решение. Можно выбрать один вариант из двух возможных (орел или решка) Ответ 1 бит (так как = 2 ) 2 . В барабане для розыгрыша лотереи находится 32 шара. Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере (например, выпал номер 15) Решение. выбрали один вариант из 32 =32 Ответ 5 3. В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 8 полок. Библиотекарь сообщил Пете, что нужная ему книга находится на пятом стеллаже на третьей сверху полке. Какое количество информации библиотекарь передал Пете? Решение : существует 16*8 = 128 вариантов местонахождения книги. Из этого количеств вариантов необходимо выбрать один. Следовательно, N = 128, а I = 7, т.к. 128 = Ответ: 7 бит. 2 1 2 5 2 7

Слайд 21

Случай, при котором события неравновероятны Неравновероятные события - это события, вероятность появления которых зависит от условий проведения эксперимента Для вычисления количества информации в сообщении о неравновероятном событии используют следующую формулу: ( формула Шеннона) где I – это количество информации, р – вероятность события. Задача . Бабушка испекла 8 пирожков с капустой, 16 пирожков с повидлом. Маша съела один пирожок. Какое количество информации несет сообщение о том что Маша съела пирожок с капустой . Мы сталкиваемся с ситуацией, когда события неравновероятны. Вероятность выбора пирожка с капустой: Вычислим количество информации, содержащееся в сообщении, если был выбран пирожок с капустой: При сравнении результатов вычислений получается следующая ситуация: вероятность выбора пирожка с повидлом больше, чем с капустой, а информации при этом получилось меньше. Это не случайность, а закономерность. Качественную связь между вероятностью события и количеством информации в сообщении об этом событии можно выразить так: чем меньше вероятность некоторого события,тем больше информации содержит сообщение об этом событии . I=log 2 (1/p) р= = =0,25. =log 2 ( )= log 2 (1/0,25)= log 2 4=2 бит.

Слайд 22

Задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ по математике. 1.Ученика попросили назвать число от 1 до 100 . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти? 1 ,2,3,4,5,6…100 Каждое пятое число из данного множества делится на 5 . Значит, вероятность равна . 2.Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков. 1,3,5 — нечетные числа; 2,4,6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна . Ответ : .

Слайд 23

3.Монета брошена три раза. Какова вероятность выпадение двух орлов и одной решки ? Задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет. Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка Две монеты — уже четыре исхода: ОО РО ОР РР Три монеты -8 исходов так как = 8 ООО ОРО ОРР РРО ООР РОО РОР РРР Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми. Ответ : = 0.375 2 3

Слайд 24

4.В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы ? Кодируем монеты числами: 1 , 2 (это пятирублёвые), 3,4,5,6 (это десятирублёвые). Запишем, что у нас в первом кармане. Для этого составим все возможные комбинации из набора 123456 . Набор из трёх цифр будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 123 и 231 — это один и тот же набор цифр. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

Слайд 25

123 ,124,125,126,134,135,136,145,146,156 Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1 . 234,235,236,245,246,256,345,346,356,456 . Всего 20 возможных исходов. У нас есть условие —цифры с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что цифры 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане . Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего 12 благоприятных исходов. Тогда искомая вероятность равна Ответ: . .

Слайд 26

5.Чтобы поступить в институт на специальность “ Лингвистика ” , абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность “ Коммерция ” , нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0. 6, по русскому языку — 0 . 8, по иностранному языку — 0 . 7 и по обществознанию — 0 . 5 . Найдите вероятность того, что абитуриент З , сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей . В задаче не спрашивается, будет ли абитуриент З , учиться и на лингвистике, и на коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что абитуриент З , сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.

Слайд 27

Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, абитуриент З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный язык. Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0 . 6. Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0 . 6• 0 . 8. Для иностранного языка и обществознания н ам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному языку или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по иностранному языку, ни по обществознанию он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный язык не ниже чем на 70 баллов равна 1 – 0 . 5 • 0 . 3. В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 0 . 6 • 0 . 8 • (1 — 0 . 5 • 0 . 3) = 0 . 408 Ответ : 0.408

Слайд 28

Понятие вероятности появилось в физике в связи с развитием кинетической теории газов. Когда было установлено, что газ состоит из большого числа движущихся частиц, то возник вопрос о том, с какими скоростями движутся частицы газа — его молекулы . Вероятность в физике. Английский физик Дж. Максвелл построил первую теорию идеального газа, в которой состояние газа задавалось не положением и скоростью каждой частицы, а функцией распределения — вероятностью найти молекулу с заданной скоростью в заданном месте сосуда.

Слайд 29

Из теории Максвелла следовало, что большая часть молекул газа имеет скорость где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, m — масса молекул Это значение называют наиболее вероятной скоростью. Понятие вероятности оказалось очень плодотворным. С ее помощью можно рассчитывать различные процессы, в которых участвуют много частиц и в которых роль отдельных частиц становится незаметной. Это такие процессы, как теплопроводность, перемешивание — диффузия, химические реакции и многие другие. Их изучает статистическая физика . *Оказалось , однако, что даже для одной определенной частицы нельзя точно измерить координату и импульс одновременно и что результат опыта можно предсказать только в вероятностной форме . v= ( Из графика видно, что наибольшее число молекул обладает среднестатистической скоростью!

Слайд 30

Пример: Так как нет возможности точно измерить траекторию частицы, значит, нельзя и дать точный ответ на вопрос о том, на какой угол отклонится летящий протон в поле атомного ядра. Можно лишь указать вероятность его отклонения на тот или иной угол. Нельзя сказать также, когда распадается определенный радиоактивный атом, можно лишь указать вероятность того, что он распадается через t секунд. В таблицах пишут, например, что скорость света равна величина в скобках называется стандартным отклонением. В данном случае из теории вероятности следует, что истинная скорость света не может отличаться от написанной более чем на 1,2 единицы в последнем знаке с вероятностью 68,3%. Дело в том, что в любом опыте существует большое количество неучтенных факторов. В случае скорости света такими факторами могут быть непостоянство температуры, неточность в измерении длины волны и т. д., но они могут сказываться лишь в восьмом знаке после запятой. Степень достоверности этого утверждения и оценивается вероятностью . Теория вероятности очень важна при вычислении достоверных значений основных физических величин. 2,997924580(1,2)•10 8 м/с;