Учебно исследовательская работа Диофантовы уравнения

Учебно-исследовательская работа:

Диофантовы уравнения

                                                                             Выполнил:  

                                                                      Харитонов Игорь Алексеевич

                                                                       ученик 8 «Б» класса.

                                                                       Учитель:  

                                                                       Некляева Елена Викторовна,

                                                                       учитель математики

Волгоград, 2016

Содержание

Введение        3

Историческая справка        5

Проведение исследования        9

Первый этап        9

Второй этап        10

Третий этап        10

Заключение ………………………………………………………………...11

Список литературы…………………………………………………………12

Приложение 1………………………………………………………………13

Приложение 2        16

Введение

Сведения, которые дошли до нас из глубокой древности, говорят о том, что в далекие времена человек использовал монеты. Развитие денежных систем привело к появлению монет. Монеты решали сразу несколько сложных проблем.

Во-первых, монеты фиксировали в удобной форме строго определенную массу металла.

Во-вторых, как бы давали государственную гарантию качеству метала, содержащегося в монете.

В-третьих, незаметно для общества и тех, кто монеты изобрел, изготавливали почву для нового посредника в купле-продаже – для денежных знаков, которые поначалу выступили в виде монет из неполноценных металлов, затем – в виде бумажных денег.

В современном понимании, монета – это общегосударственный металлический платежный знак, несущий на себе символы державной принадлежности и обозначение достоинства в денежных единицах страны.

Нас заинтересовала информация об истории  монет, о решении задач с монетами, о фокусах с монетами.

Например, известно, что с помощью монет в 3 и 5 копеек можно представить суммы, большие 7.

Это позволило сформулировать вопрос: «Все ли суммы могут быть представлены с помощью монет в 3 и 5 копеек?».

Таким образом, цель исследования – определить суммы, которые могут быть представлены с помощью монет в 3 и 5 копеек.

Наши гипотезы:

• все натуральные числа, большие 7, можно представить с помощью монет в 3 и 5 копеек;
• найти натуральные х и у, удовлетворяющие уравнению

5х +3у = 1001

Рассматриваемая нами задача является частью более общего вопроса:

1. можно ли представить заданную сумму S (выраженную в копейках), пользуясь монетами заданных номиналов;
2. если это возможно, то представить эту сумму с помощью минимального количества монет.

Для достижения поставленной цели надо решить следующие задачи:

1. изучить справочную литературу по истории чисел и истории монет; истории диофантовых уравнений.
2. найти представление натуральных чисел в виде суммы чисел 5 и 3, обосновать такое представление;
3. найти  пары возможных натуральных корней уравнения вида 5х + + 3у =1001.

За долгую историю цивилизации в качестве монет люди использовали предметы самых различных форм, изготовленные из самых различных материалов.

Круглая монета, а это проверено практикой, более удобна в быту и обращении. Она не рвет кошельки и карманы, не колется, как остроугольная. Сама монета меньше стирается по ребру. Она хорошо работает в различных торговых автоматах и при диаметре, равным сторонам квадрата, требует на изготовление меньше металла.

Первые монеты появились в VII веке до нашей эры в Лидии и Китае, в Лидии в VI веке до нашей эры при царе Крезе была построена первая мастерская по чеканке монет.  В России чеканка монет началась при князе Владимире «Красное Солнышко» в Киевской Руси в X-XI веках. Регулярная чеканка серебряных монет (червонцы) в России была начата при Петре I.

У названия «копейка» интересная и долгая история. В XVI веке на Руси  чеканились серебряные монеты, на которых изображался всадник, или, как тогда говорили – «ездец». По размерам они были малы – с ноготь мизинца взрослого человека. Коллекционеры их иногда называют «чешуйками». Но в свое время каждая такая чешуйка была монетой и называлась денгой.

В московском государстве было несколько монетных дворов – в Москве, Пскове, Новгороде, Твери. И монеты впускались ими непохожими одна на другую. На московских и близких к ним  тверских денгах ездец держал в руках саблю. На новгородских и псковских – копье. И называли в народе монеты по-разному. Московские именовали «сабельной» или «меченой денгой», а новгородку – «копейкой денгой» или «копейкой».

После денежной реформы 1535 года, которая сделала  монетную систему государства единой. В России стали чеканить только денгу с изображением всадника на коне с копьем в руках. С тех пор название «копейка»  прочно  заняла место в нашем словаре.

«Копейка рубль бережет», «без копейки и рубля нет», «копеечная душа» - эти образные выражения прочно вошли в русский язык.

Три копейки  интересны тем, что народные названия с давних пор преувеличивают их официальное достоинство. Самое старое из таких названий – алтын.

«Алты» - по-тюркски значит «шесть».   Обращаясь с племенами степняков, русские купцы именовали шесть русских денег словом «алты» - алтыном. После денежной реформы 1535года новая русская копейка стала весить в 2 раза тяжелее прежней денги. И выходило, что на 3 копейки можно было купить товар, стоивший прежде алтын. Так 3 копейки присвоили себе имя, вдвое превосходившее их номинал.

В 1839 году была выпущена медная монета с вензелем императора Николая I с надписью на ней «3 копейки серебром». С этого времени цена нового алтына в копейках старого образца поднялась до 10, и стали в народе алтын именовать гривенным.

Гривенный – медная, трехкопеечная.

С выпуском медных денег, названных официально «серебряными» связано и одно из старых названий двухкопеечника. Поскольку после 1839 года он равнялся семи копейкам прошлых лет, монету стали называть «семичником» или «семишником».

Пять копеек всегда оставались пятаком, пятачком, пятикопеечным.

Десять копеек поначалу не несли на себе цифрового обозначения.  Они впервые появились в обращении в 1701 году с надписью «гривенник». И только в 1797 году на монетах впервые выбили цифру 10.

Гривенник – монета серебряная, достоинством 10 копеек.

Пятнадцать копеек появились в 1764 году и сразу получили в народе наименование «пятиалтынный», то есть содержащий в себе пять трехкопеечников – алтынов.  Далее в обиходе монету чаще всего называли «пятнашкой».

Двадцать копеек – двугривенный. И монета и название вошли в обиход в 1764году.

Слово «рубль» имеет возраст почтенный, и видимо, старше других, доживших до наших дней названий монет. Оно родилось в XIII веке. До первой половины XV века рубль выглядел как брусок серебра массой около 200 грамм. Другие его названия, такие, как целковый, целковик, употреблялись не менее часто, но они значительно моложе возрастом.  В Сибири ходило слово «целкач». На юге России – «карбованец».  В старой Москве – «монет, монета». Дело в том, что на рублях одно время была надпись: «Монета рубль».

В «Толковом словаре» В. Даля есть объяснение: «Рубль и тин – одно и тоже». Отсюда название – полтина. С XIII века полтина. Полтинник – это монета стоимостью в половину рубля.

Днем рождения советских металлических денег стало 27 февраля 1924 года. Именно тогда в четырех московских магазинах – ГУМе, Мосторге, Моссельпроме и МОСПО – стали выдавать на сдачу серебряную мелочь.

С 1992 года были выпущены монеты достоинством 5 рублей, 10 рублей, 20 рублей, 50 рублей.

У монеты две плоскости. А названий у них много. С античных времен было принято считать сторону, на которой чеканилось изображение божества или правителя, лицевой. Естественно, сторона, которая несла вспомогательные сведения, получила название оборотной. «Аверс» - лицевая, «реверс» - оборотная. Так, прибегая к латыни, именуются стороны монет в научных работах.

        Русские люди в стародавние времена различали на монетах «копье» и «решку». Копье  - лицевая сторона, на которой выбивался ездец. Решка – синоним решета. Так обозначали оборотную сторону копейки. Видимо, надписи на монете, которая и размером и формой походила на ноготь мизинца, малограмотным и неграмотным людям напоминали переплетение нитей, образующих решетку сита. И стали они называть эту сторону решеткой, решетом, решкой.

Со времен Петра I обязательной принадлежностью русских монет стал двуглавый орел. И постепенно в народном сознании он начал ассоциироваться с одной из сторон монеты.

«Лицевая» и «оборотная» - так именуют стороны монет авторы работ по советской нумизматике, хотя с большим правом их стоит называть «гербовая» и «лицевая».

Государственный герб Советского Союза являлся обязательным элементом графического оформления монет. Сторона, на которой он помещен. Независимо от того, занимает ли изображение все поле или только часть его – гербовая.

На другой плоскости обычно помещают обозначение номинала и символы.  Это сторона – лицевая.

Кроме двух сторон-плоскостей, у монеты есть образующая поверхность – ребро. На него в целях предохранения денег от подделки и порчи наносятся специальные защитные знаки – гурт.

У большинства советских тиражных монет гурт рубчатый. Исключение составляют монеты выпуска 1924 года, они с гладким ребром. С 1962 года на тиражных монетах рублевого и пятидесятикопеечного  достоинства гурт сообщает их номинал (прописью) и год выпуска.

На ребре олимпийских рублей выбиты дважды повторенные слова «один рубль».

Проведение исследования

Первый этап

Целью данного этапа являлась разработка алгоритма нахождения всех таких натуральных чисел a, для которых возможно представление в виде:

a = x × 3 + y × 5,

где x, y – целые неотрицательные числа.

В общем виде искомый алгоритм выглядит следующим образом:

1. пусть a –число, представление которого необходимо найти;
2. зафиксируем коэффициент x при 3, при этом y принимает все возможные целые неотрицательные значения;
3. зафиксируем коэффициент y при 5, при этом x принимает все возможные целые неотрицательные значения;
4. повторяем эти шаги до тех пор, пока не будет найдено представление всех чисел из рассматриваемого диапазона.

Отметим, что указанным образом, можно найти представление любых натуральных чисел в виде a = x × 3 + y × 5.

На данном этапе необходимо определиться с условиями, которым должны удовлетворять числа x и y.

Если наложить условие, что x ≠ 0 и y ≠ 0, то в искомом виде невозможно представить числа, являющиеся степенями чисел 3 и 5 (9, 81, 25 и т.д.). Если же условие смягчить, допуская, что хотя бы одно из чисел x или y отлично от 0, то данное представление становится возможным для всех натуральных чисел, начиная с 8.

В Приложении 1 представлено разложение в указанном виде чисел от 8 до 100.

Второй этап

Целью второго этапа стало нахождение алгоритма разложения рассматриваемого натурального числа в виде a = x × 3 + y × 5

Таким образом, задача данного этапа противоположна задаче первого этапа: имея число a необходимо найти определить коэффициенты х и у.

Алгоритм имеет вид:

1. представить рассматриваемое число в виде a = k + z × 5, где z = 1;
2. если k кратно 3, то k = t × 3, таким образом найдены такие коэффициенты t и z, что а = t × 3 + z × 5;
3. если k не кратно 3, то увеличиваем z на 1 и продолжаем шаги с 1 по 3.

Третий этап

Цель данного этапа – нахождение таких пар натуральных  чисел х и у,  которые будут являться  корнями уравнения  5х + 3у = 1001

Уравнения, в которых из множества решений выделены только целочисленные значения неизвестных, часто называют диофантовыми в честь знаменитого математика Диофанта из Александрии.

Заметим , что если в  уравнении  5х + 3у = 1001 разделить обе части на меньший коэффициент 5/3 х + у = 1001/3; справа и слева выделить целые части получим уравнение : х + 2/3 х + у = 333 + 2/3. Или

х + у + 2(х – 1) /3 = 333

Так как х и у натуральные, то должно быть натуральным и (х – 1)/3; полагаем (х – 1) / 3 = а, тогда х = 3а + 1. Подставляя в уравнение получаем

3а + 1 + у + 2а = 333;    у = 332 – 5а.

Придавая параметру а значения а = 0, 1, 2, 3, …66 найдем 67 пар возможных натуральных корней данного уравнения.

 ( приложение 2)

Заключение

Итак, в данной работе мы представили все числа от 8 до 100 в виде суммы х × 3 + у × 5.

Нашли  натуральные х и у, удовлетворяющие уравнению

5х +3у = 1001

Первым этапом нашего исследования была разработка алгоритма поиска таких чисел, которые мы применили в дальнейшем.

На втором этапе мы сформулировали алгоритм нахождения коэффициентов х и у.

На третьем этапе мы нашли пары   натуральных  х и у, удовлетворяющих уравнению 5х +3у = 1001

Исследование может продолжено в следующих направлениях:

1. с помощью монет каких номиналов можно представить заданную сумму S;
2. представить эту сумму с помощью минимально возможного количества монет.

Список литературы

1. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 г.
2. Гейзер, Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей / Г.И. Гейзер. - М.: Просвещение, 1981.
3. Максимов, М.М. Очерк о серебре / М.М. Максимов - М.: Недра, 1974г
4. Мельникова, А.С. Булат и злато /А.С. Мельникова – М.: «Молодая гвардия», 1990г
5. Рывкин, А.А. Справочник по математике для техникумов. 3-е издание./ А.А. Рывкин, А.З. Рывкин, Л.С. Хренов – Москва, «Высшая школа», 1975г.
6. Сафронова Г.А. Краткая история звонкой монеты / Г.А. Сафронова – М.: 2003г.
7. Щелоков А.А. Свидетели истории / А.А. Щелоков. – М.: «Молодая гвардия», 1987г
8. Энциклопедия для детей. Математика. - М.: Аванта+, 2002г.
9. Я познаю мир. Детская энциклопедия. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова.
10. Вагутен В.Н.  «Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики» (журнал «Квант» )

Приложение 1

Суммы, которые можно уплатить монетами номиналом в 3 и 5.

Приложение 2

Пары возможных натуральных корней данного уравнения:

(1; 332) (4; 327) (7; 322) (10; 317)  ( 13; 312)