Проект "Стереометрический зоопарк"

Многогранники

История правильных многогранников

Пять правильных многогранников

Изготовление моделей правильных многогранников

Заключение

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши. Мы интересуемся геометрическими фигурами, историей математики и хотели бы быть более просвещёнными в этой области. Мне очень нравится создавать модели различных многогранников, а композиции из этих моделей похожи на животных.

Создание стереометрического зоопарка – это захватывающий процесс, который включает в себя знакомство с многогранниками, их свойствами, развертками, с историческим аспектом.

Проблема: в чём состоит уникальность правильных многогранников как пространственных тел?

Актуальность: Правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен. Чем же обусловлен столь бессмертный интерес? Считается, что в основе строения Платоновых тел заложены пропорции всего, из чего состоит мир. Поэтому эти уникальные фигуры и получили название «ключей мироздания».

Гипотеза: результаты данной работы повысят интерес учащихся к изучению темы «Правильные многогранники».

Цель данной работы: изучение правильных многогранников и их свойств.

Задачи данной работы:

проанализировать историю изучения правильных многогранников;
ознакомиться со свойствами Платоновых тел;
ознакомиться с методами создания пространственных моделей;
создать из моделей геометрических тел макеты животных;
привлечь внимание окружающих к изучению геометрии, истории математики, науки.

Методы изучения: сбор и анализ информации, синтез полученных знаний, создание разверток и моделей правильных многогранников, конструирование макетов животных из полученных моделей.

Новизна: применение полученных знаний к трактовке свойств животных, созданных из моделей правильных многогранников.

Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии.

Л. А. Люстерник

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика.

Что же такое многогранник?

Многогранники – тела, ограниченные плоскими многоугольниками, - окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного здания, радиоприемника, телевизора, шкафа – параллелепипед.

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейший правильный многоугольник - равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны) , пентагон (пять сторон) , гексагон (шесть сторон) , октагон (восемь сторон) и т. д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В "Началах Евклида" мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова «грань».

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения о геометрических фигурах и их свойствах. Правильными многогранниками увлекались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона «Тимаус».

Платон считал, что мир строится из четырех «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырех правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду. Куб – самая «устойчивая» из фигур – землю. Октаэдр – воздух – как самый «воздушный» многогранник.

Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал весь мир и считался главной геометрической фигурой мироздания.

Многогранники - тела, ограниченные плоскими многоугольниками, они окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного здания, телевизора, шкафа – параллелепипед. Среди разнообразных форм многогранников выделяют правильные многогранники.

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников. В правильном многограннике все ребра, все плоские углы и все двугранные углы равны между собой.

Тетраэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников. Имеет 4 вершины и 6 ребер. В каждой вершине сходится 3 ребра. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. (рис.1).

Рис. 1

Куб или правильный гексаэдр – правильный многогранник. Все грани квадраты. Имеет 6 граней, 8 вершин, 12 ребер. Существует лишь один тип правильного многогранника, грани которого являются квадратами. Элементы симметрии:Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии (рис.2).

Рис. 2

Октаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из 8 правильных треугольников. Имеет 6 вершин, 12 ребер. В каждой вершине сходится по 4 ребра (рис.3). Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Рис. 3

Икосаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из 20 правильных треугольников. Имеет 12 вершин, 30 ребер. В каждой вершине сходится по 5 ребер Элементы симметрии: Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. (рис.4).

Рис. 4

Додекаэдр – правильный многогранник, все грани которого являются правильными пятиугольниками. Имеет 12 граней, 20 вершин и 30 рёбер. Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии (рис.5).

Рис. 5

Основные элементы симметрии, свойственные Платоновым телам:

1. Центр симметрии

Центр симметрии – точка внутри многогранника, обладающая следующим свойством: на любой проведенной через центр симметрии прямой на равных расстояниях от нее находятся соответствующие точки тела.

Существует понятие центра симметрии: относительно него симметричны определенные вершины, грани и все другие точки многогранника.

2. Ось симметрии

Ось симметрии – прямая, за один оборот вокруг которой многогранник дважды или несколько раз совмещается со своим начальным положением.

3. Плоскость симметрии

Плоскость симметрии делит многогранник на две равные части, каждая из которых является зеркальным отражением друг друга.

Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики.

все грани такого тела равны по размерам. Например, куб, самое известное из всех Платоновых тел, имеет каждую грань в виде квадрата, и все они — одного размера.
ребра Платонова тела — одной длины: все ребра куба одинаковы.
внутренние углы между его смежными гранями равны. У куба такой угол равен 90 градусам.
каждое из Платоновых тел может быть вписано в сферу, каждой своей вершиной касаясь поверхности этой сферы.

Однажды обычный английский мальчик Джеймс, увлёкшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: « … Я сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного названия». Эти слова знаменовали рождение в пока не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла.

Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть её на плоскости, то получится фигура, которую называют развёрткой многогранника.

При изготовлении моделей многогранников были использованы следующие развёртки. /Приложение 1/ Этим методом можно получить любой многогранник, если нам известна развертка. Из готовой развертки можно склеить только один многогранник заданного размера. Чтобы сделать новый многогранник большего или меньшего размера, нам сначала нужно перечертить выкройку в другом масштабе, что не всегда бывает просто. В этом состоит неудобство разверток.

Неоценимую помощь в изготовлении многогранников может принести оригами. С помощью оригами можно изготовить многогранник любого размера без всякой выкройки - развертки. Нужно только выбрать размер листа бумаги. Кроме того оригамный многогранник всегда можно разобрать, а его модули при этом не займут много места.

Складывание многогранников - увлекательнейшее занятие, но вместе с тем и не простое. Оно требует аккуратности, точности и высокого сосредоточения внимания.

Изображение

Правильный многогранник

Число сторон у грани

Число рёбер, примыкающих к вершине

Число вершин

Число рёбер

Число граней

Гексаэдр или куб

Выполнив эту работу, я узнала много нового и интересного о правильных многогранниках. Изучая весь этот материал, я открыла удивительные вещи для себя: первыми правильные многогранники изучали Платон и Пифагор, а ведь они жили еще до нашей эры, и в наши дни многие ученые занимаются изучением многогранников. Значит, интерес к многогранникам не пропадет никогда, это такие необыкновенные фигуры, а главное, какие они красивые! Одно из самых главных свойств многогранников – это симметрия. Благодаря ей они и выглядят так необычно.

Всего существует пять правильных многогранников - это было доказано ещё Евклидом в его книге «Начала», которая долгое время была единственным учебником геометрии. Теперь мы точно знаем, что правильных многогранников всего пять.

Многогранники встречаются в природе и окружающем нас мире.

Изготовила модели многогранников из разверток и изготовила из данных моделей стереометрический зоопарк.

Эта работа была для меня интересна. Думаю, что собранный материал будет мне полезен и в старших классах.

Список используемых источников:

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М: Баласс, 1988.

2. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.

3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.

4. Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. – М: Издательство АСТ, 1999.1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: ОГИЗ, 1947. 664 с.

5. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982. 149 с.

6. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. М.: Высш. шк., 1980. 296 с.

7. Шашкин Ю.А. Эйлерова характеристика. М.: Наука, 1984. 96 с.

Приложение 1 Развертки многогранников