Проектно-исследовательская работа "Возможность построения модели совершенного кубоида"

государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа «Образовательный центр» имени Героя Советского Союза

В.В. Субботина пос. Серноводск муниципального района Сергиевский Самарской области

СЕКЦИЯ «Математика»

Возможность построения модели совершенного кубоида

проектно-исследовательская работа

        Автор: Воякин Анатолий

8  класс

Научный руководитель:         Александрова  Ирина  Александровна

                                        учитель математики

Серноводск

2015

Оглавление

 I. Введение…….……………………………………….………. ……………...3

1.1.Актуальность….…………..………………..………..………………….…..3

II. Основная  часть……….………….……….……………………...…………. 5

2.1. Свойства прямоугольного параллелепипеда…….………. …………….. 5

2.2. Исследования математиков по данному вопросу...……………...............6

III. Практическая часть ..……………………………………………………….8

      3.1.План выполнения практической части исследования………..………….8

      3.2. Определение условий подбора чисел, выражающих длины сторон

         и диагоналей параллелепипеда………...........................................................8    

      3.3. Построение модели совершенного параллелепипеда……………….….12

IV. Вывод ..……………………………………………………………………..13

V. Заключение………………………………………………….. ……………..14

Список литературы…………………………………………….........................15

Приложение …..………………………………………..………………………16

I. Введение

1.1.Актуальность

В сентябре этого года учитель математики рассказала нам о существовании музея Науки в Лондоне, в котором есть достаточно большой раздел, посвященный математике. Она предложила нам организовать в нашем классе миниатюрный музей математики, а вот какие экспонаты в нем будут представлены, это уже наша фантазия.

Мне показалась интересной эта идея. Многие считают математику скучной наукой, с чем я категорически не согласен. Математика – это особый мир, в котором человек – хозяин. Здесь есть место для каждого. У математики особый язык – язык цифр и знаков, понятный любому жителю на нашей планете. Разве это не чудо? Конечно, в математике чудес не бывает. Это точная наука. Она любит грамотных людей. Любая маленькая ошибка, даже потеря знака перед числом, может привести к серьёзным нарушениям в работе целых систем.

Известный математик Д. Гильберт замечал: «В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции – она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести этот материал в систематическую связь, и другая тенденция – тенденция к наглядности, которая в противоположность к этому стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношений».  Однако реализация принципа наглядности связывается обычно с использованием различных средств: компьютера, плакатов, рисунков, моделей, схем и т.д., – выполняющих функцию оперативного воздействия на органы чувств (в основном, зрения). А создание музея позволит задействовать и другие органы чувств. Ведь экспонаты музея можно будет взять в руки, повертеть, потрогать.

Экспонат, который решил представить в музей я – это совершенный кубоид (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Я назвал этот экспонат «Эталон целочисленности».

Цель исследования: изучение возможности построения модели совершенного кубоида. 

Задачи исследования:

• изучить свойства прямоугольного параллелепипеда;
• определить условия подбора чисел, выражающих длины сторон и диагоналей параллелепипеда;
•  выполнить необходимые вычисления, используя табличный редактор Excel;
• проанализировать полученные наборы чисел, выделяя существенный признак – целочисленность;
•  изучить литературу об исследованиях математиков по данной теме;
• сделать вывод о реальности построения совершенного кубоида;
• определить семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) модели;
• построить экспонат для музея – «Эталон целочисленности».

Гипотеза исследования: построение модели совершенного кубоида возможно.

II. Основная часть

2.1. Свойства прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед - многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм. Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра,  называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Пространственная диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины прямоугольного параллелепипеда и проходящий сквозь его внутреннюю часть. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями. 

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Свойства

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пространственные диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

2.2 Исследования математиков по данному вопросу

Совершенный кубоид (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами.

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·1012. Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:

 — одна из лицевых диагоналей нецелая.

,  — одно из рёбер нецелое.

Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький параллелепипед Эйлера открыл в 1719 году Пауль Хальке. Его ребра составляют 240, 117 и 4; диагонали граней равны 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

• (275, 252, 240),
• (693, 480, 140),
• (720, 132, 85),
• (792, 231, 160).

Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.

Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу):

• Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b, c) = 1).
• Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
• Одно ребро делится на 5.
• Одно ребро делится на 11.

 До сих пор неизвестно, существует ли совершенный кубоид, т.е. существует ли такой параллелепипед Эйлера, главная диагональ которого тоже имеет целую длину.

В 2005 году тбилисский школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на 2012 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными. В 2012 году учитель Лаши Маргишвили, директор Грузинско-Американского лицея Мамука Месхешвили опубликовал статью, в которой называет гипотезу о несуществовании совершенных кубоидов недоказанной.

В 2004 г. Хорхе Сойер и Клиффорд Рейтер доказали, что существуют совершенные непрямоугольные параллелепипеды. Грани таких параллелепипедов представляют собой не прямоугольники, а параллелограммы, а сам параллелепипед как бы скошен на сторону.
Ребра совершенного непрямоугольного параллелепипеда имеют длины 271, 106 и 103; малые диагонали граней равны 101, 266 и 255; большие диагонали граней — 183, 312 и 323; внутренние диагонали (а у такого параллелепипеда они все разные) имеют длины 374, 300, 278 и 272.

III. Практическая часть

3.1. План выполнения практической части исследования

1. Определить условия подбора чисел.
2. Изучить теорему Пифагора, научиться ее применять.
3. Изучить понятия «пифагоровы тройки», «примитивные тройки».
4. Изучить свойства иррациональных чисел.
5. Подобрать набор чисел, удовлетворяющих конкретным условиям.
6.  Научиться вводить формулы, добавлять закладки  в табличном редакторе Excel.
7.  Выбрать материал для создания совершенного параллелепипеда.
8. Построить модель, экспонат для музея.

Объект исследования: стороны и диагонали прямоугольных параллелепипедов.

Предмет исследования: стороны и диагонали прямоугольного параллелепипеда, которые выражаются целыми числами.

          Методы исследования: анализ, сравнение, обобщение, моделирование.

3.2 Определение условий подбора чисел, выражающих длины сторон и диагоналей параллелепипеда

Для того чтобы, найти диагонали прямоугольного параллелепипеда, нужно знать длины сторон, теорему Пифагора и теорему о пространственной диагонали. Введем обозначения:  - это диагональ параллелограмма или  прямоугольника со сторонами a и b,  - со сторонами a, c,  - со сторонами b, c, dabc –пространственная диагональ. По теореме Пифагора:

По теореме о пространственной диагонали:

Первое условие для набора таких чисел - чтобы диагональ dab  была целым числом. После проведенного ряда вычислений я понял, что это долгий процесс. Изучив материал учебника геометрии, посвященный теореме Пифагора, я выяснил, что существуют пифагоровы тройки чисел.

Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел  удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению:

В геометрической интерпретации первые два элемента этих троек представляют собой  длины сторон нижнего основания искомого параллелепипеда, третий элемент - длина диагонали нижней грани.

В дополнительной литературе я выяснил, что пифагоровых троек достаточно много. Поскольку некоторые пифагоровы тройки получаются из других умножением на одно и то же натуральное число, я уточнил условие для набора чисел. Это должны быть примитивные тройки.

Пифагорова тройка  называется примитивной, если она не может быть получена из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть,  являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель  равен 1.

Второе  условие для набора чисел – числа a и b должны быть меньше 200, так как построенная мною модель не может занимать все пространство кабинета математики.  Из дополнительных источников информации я получил первый необходимый мне  набор чисел.

Третье условие, к набору чисел a  и b добавляется еще одно измерение параллелограмма – c. Оно также не может быть больше 200.

Вычисления я проводил, используя табличный редактор Excel. Я научился вводить формулы в ячейки редактора для автоматического подсчета, создавать новые закладки.

Результаты вычислений в табличном редакторе Excel

Как видно из приведенных  выше рисунков, получился набор семи чисел для сторон и диагоналей a, b, c, dac, dbc, dba, dabc. Из них можно выделить наборы, где четыре целых числа. Получить набор из семи целых чисел не удалось.

При выполнении вычислений замечено, что числа, выражающие диагонали dac, dbc, dabc, являются иррациональными, так как представляют собой бесконечные десятичные непериодические  дроби.  Докажем, что набор чисел для сторон a, b, dab  ограничивается набором «примитивных троек». Так как другие пифагоровы тройки получаются из примитивных, умножением на одно и то же число, то , , .

Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0).

То есть, если daс – иррациональное число, то daс1 также иррациональное число. Значит, другие пифагоровы тройки дадут такой же результат, как и примитивные тройки.  

3.3  Построение модели совершенного параллелепипеда

  Анализ моих исследований показал, что совершенного прямоугольного параллелепипеда не существует, но это не остановило меня. Выяснив, что учеными найдены целые стороны непрямоугольного параллелепипеда, я решил построить его. При построении модели мы с папой столкнулись с проблемой построения углов, так как они не прямые. Я вспомнил правило построения треугольника по трем сторонам, с помощью циркуля и линейки построил его на бумаге, дорисовал до параллелограмма и получил две из шести граней нужного мне параллелепипеда. Потом проделал тоже самое с другими сторонами, найдя ещё две грани. Две оставшихся грани получились автоматически. По контуру нарисованных параллелограммов мы смастерили из проволоки четыре грани, соединили их с помощью изоленты и получили искомую фигуру. Но параллелепипед получился не очень прочный, проволока оказалась слишком тонкой.  Тогда папа из использованных электродов сварил такой же параллелепипед и подготовил все диагонали по заданным размерам. Чтобы соединить диагонали с моделью, мы использовали пластилин. Следующим этапом было размышление на тему, как придать музейному экспонату более респектабельный вид. Мы пробовали придать заданный цвет сторонам при помощи самоклеящейся цветной бумаги, изоленты, лака, но результат нас не устраивал. В итоге мы остановили свой выбор на цветном скотче.  Все ребра одной длины имеют свой цвет. Диагонали равных граней и пространственные диагонали также выделены цветом.

Процесс создания «эталона целочисленности» оказался долгим и сложным, но мы остались довольны результатом (см. приложение).

        IV. Вывод

На основании проведенного исследования выявлено:

1. Существует Эйлеров параллелепипед —  кубоид с целыми ребрами, все грани которого имеют целые диагонали, но пространственная диагональ не будет целым числом.
2. Прямоугольного параллелепипеда, у которого все семь основных величин являются целыми числами, не существует. 
3. Существует совершенный непрямоугольный параллелепипед, грани такого параллелепипеда представляют собой не прямоугольники, а параллелограммы, а сам параллелепипед как бы скошен на сторону.
4. Гипотеза исследования о том, что возможно построить модель совершенного кубоида не подтвердилась.

Практическая значимость моего исследования  заключается в предоставлении учащимся ГБОУ СОШ «ОЦ» п. Серноводск экспоната в музей математики.    Продуктом работы стала модель совершенного непрямоугольного параллелепипеда.

V. Заключение

В  результате изучения различных источников информации я узнал, что такое Эйлеров параллелепипед. В рамках своего исследования я хотел убедиться лично, что не существует прямоугольного параллелепипеда, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Для этого мне пришлось заранее познакомиться с теоремой Пифагора, с определением и свойствами непрямоугольного параллелепипеда,  с понятием «пифагоровы тройки», с квадратным корнем. В ходе работы мне пришлось научиться вычислять заданные формулы с помощью табличного редактора Excel. И все это показалось мне очень интересным.

         Эта работа вызвала у меня огромный интерес, в ходе работы я заранее познакомился со многим из того, что мне ещё предстоит узнать из школьной программы, усовершенствовал навыки работы в табличном редакторе Excel.  

Я получил удовольствие от данной работы и надеюсь, что модель, построенного мною совершенного непрямоугольного параллелепипеда поможет моему учителю и ученикам нашей школы при знакомстве с параллелепипедами в рамках школьной программы. Мне кажется, что возможность увидеть фигуру своими глазами, потрогать её руками,  вызовет гораздо больший интерес у учащихся, а как следствие и большее понимание данной темы.

Список литературы и других источников

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина — М.: Просвещение, 2014 – 384 с.
2. Атанасян Л.С.  Геометрия. 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян,  В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. М.: Просвещение, 2008. – 256 с.
3. Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи / Перевод: Наталия Лисова - Альпина нон-фикшн, 2015. [Электронный ресурс]. Адрес: http://www.diary.ru/~eek/p203663571.htm
4. Казаков Ю.В. Диофантова  задача о «рациональном кубоиде». [Электронный ресурс]. Адрес: http://alglib.sources.ru/articles/diofkub.php
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 кл. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович. — М.: Мнемозина, 2013. – 215 с.
6. Универсальная интернет-энциклопедия. [Электронный ресурс] . Адрес: https://ru.wikipedia.org

Приложение

 Параллелограммы с заданными сторонами, построенные с помощью циркуля и линейки

Экспонат для музея математики – «Эталон целочисленности»