Многомерность теоремы Пифагора

Краевой конкурс

«Проектно-исследовательская деятельность школьников»,

посвящённый 135-летию со дня рождения математика

Я.И.Перельмана

Секция  Математика

Номинация  Практико-теоретические вопросы школьного курса геометрии

 Проектная работа

Многомерность теоремы Пифагора

Участник конкурса Челалян Диана Нерсесовна

Класс 10А  

муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы №2, г. Апшеронска Краснодарского края

Научный руководитель Пухова Елена Сергеевна, учитель математики

2017 г

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение
2. Цели и задачи проекта
3. Основная часть

1. История открытия теоремы
2. Способы доказательства теоремы
3. Значение теоремы

4. Заключение
5. Литература
6. Приложение

Многомерность теоремы Пифагора

Введение

Трудно себе представить человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось с его теоремой. Даже те, кто окончили школу давным-давно и не связаны с математикой, помнят о «пифагоровых штанах». Теорема Пифагора была и остается популярнейшей из теорем геометрии по следующей причине: просто – красиво – значимо. Теорема проста, но не очевидна. Это противоречие притягивает, делает ее красивой.

Огромное значение теоремы Пифагора в геометрии буквально почти в каждой задаче, существование более 500 различных ее доказательств (алгебраических, геометрических, механических и др.), подтверждает гигантское число ее конкретных реализаций.

В школьных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Во времена Пифагора она звучала так: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах».

Цели и задачи проекта

О теореме Пифагора написано огромное количество научной литературы. В ней сформулированы современные доказательства, написанные математическим языком, но в основном они мало понятны человеку с небольшим багажом математических знаний. Поэтому с помощью своей работы мы хотели показать значение теоремы Пифагора в развитии науки и техники многих стран и народов мира и в более простой и доступной форме продемонстрировать содержание теоремы. Основной метод, используемый в работе – это метод систематизации и обработки данных. С помощью информационных технологий мы разнообразили материалы работы чертежами и иллюстрациями.

Практическое применение нашей работы в том, чтобы использовать наши знания и умения в методике изучения и преподавания алгебры и геометрии в школах, лицеях, гимназиях, в том числе во внеурочной деятельности по математике.  

История открытия теоремы

Открытие теоремы приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но вавилонские клинописные таблицы и древнекитайские рукописи показали, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга Пифагора в том, что он  открыл доказательство этой теоремы. В дневнекитайской книге Чу-пей говорится о треугольнике со сторонами 3, 4, 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая его концы, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В книге есть рисунок, совпадающий с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Египтяне, «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4, 5, завязав соответственно узлы через 3м и 4м на веревке длиной 12м. «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку» - вывод голландского математика Ван-дер-Вардена.

Способы доказательства теоремы

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство «убогих», т.к. некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Простейшее доказательство

Первоначально факт, изложенный в теореме Пифагора, был установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. На мозаике (рис. а) квадрат, построенный на гипотенузе треугольника АВС, содержит 4 треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий 2 треугольника.

Доказательства, основанные на использовании равновеликости фигур  На рис.b построены два равных квадрата со сторонами а + b. Если от площади квадрата отнять учетверенную плошадь прямоугольного треугольника с катетами а, b, то останутся равные площади, т.е. с2 = а2 + b2. Древние индусы обычно вместо доказательства сопровождали чертеж лишь одним словом «Смотри!». Вполне возможно, что Пифагор сделал то же самое.

Доказательства методом достроения

Суть этого метода в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, достраивают равные фигуры так, чтобы получились равновеликие фигуры. На рис. с к прямоугольному треугольнику АВС присоединили треугольники 1и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Справедливость теоремы следует из равновеликости шестиугольников АЕDFPB и АСВNMQ. Прямая ЕР делит АЕDFPB на 2 равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит АСВNMQ на 2 равновеликих четырехугольника, поворот плоскости на 900 вокруг центра А отображает АЕРВ на АСМQ. Впервые это доказательство привел Леонардо да Винчи.

Нассир–эд-Дин (1594 г.) привел следующее (рис. d) доказательство: KLOA = ACPF =ACED = a2; LGBO = CBMP = CBNQ = b2; AKGB = AKLO + LGBO = c2; тогда с2 = а2 + b2.

На рис. f доказательство Гофмана (1821 г.). Квадраты лежат по одну сторону от прямой АВ.

 OCLP = ACLF =ACED = b2; CBML = CBNQ = a2; OBMP = ABMF = c2; OBMP = OCLP + CBML; тогда с2 = а2 + b2.    

         Гофман предложил еще одно оригинальное доказательство. Отрезок ВР ┴ СВ и равен ему, ВЕ ┴ АВ и

 равен ему; точки Р, С, D лежат на одной прямой (рис. h); АDPB и АСВЕ равновелики, т.к. АВР = ЕСВ. АDР и АСЕ равновелики, т.к. АВР = ЕСВ. Отнимем от АDPB и АСВЕ общий для них треугольник АВС, получим а2 + b2 - с2.

Алгебраический метод доказательства

   Рис. k иллюстрирует доказательство великого индийского математика   Бхаскари, использующее подобие. Бхаскара выражал площадь с2 квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей четырех треугольников 4(аb/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.

На рис. е – одно из современных доказательств    Пифагора. Угол С = 900, СМ перпендикулярен АВ.  Т.к. ΔАВС ~ Δ АСМ, то b2 = cb1  (1);  т.к. ΔАВС ~ ΔВСМ, то а2 =  cа1  (2). Складывая равенства (1) и (2), получим а2 + b2 = cb1+ cа1= c(b1+ а1) = с2.

Доказательство Мельмана

     Площадь данного прямоугольного треугольника равна 0,5аb, с другой   стороны 0,5рr, где р = 0,5(а+b+с), r-радиус вписанной в него окружности. r = 0,5(а+b-с), имеем: 0,5аb - 0,5рr-0,5(а+b+с)∙0,5(а+b-с), откуда следует, что с2 = а2 + b2  (рис. n).

Доказательство Гарфилда

    На рис. m три прямоугольных треугольника составляют прямоугольную трапецию, площадь которой можно найти по формуле 0,5(а + b) (а - b), с другой стороны сумма площадей трех треугольников равна 0,5аb - 0,5аb + 0,5c2. Приравняем эти выражения, получим теорему Пифагора.

Ниже предложены ряд чертежей, иллюстрирующие восемь способов

доказательств теоремы Пифагора, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис.1-8). Дополнительные построения изображены пунктирной линией.

Аддитивные доказательства

Такие доказательства строятся на разложении квадратов, построенных   на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. В доказательстве Эйнштейна (рис. р) квадрат разбит на 8 треугольников.   В  ΔАВС СО┴ МN, СК┴МN, РО||МN, ЕF||МN. Попарное равенство треугольников приводит к известному выводу.

На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис.s).

      Это доказательство также называется «шарнирным»,   своё положение меняют только две части, равные исходному  ΔАВС. Они как бы прикреплены к стальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются.

Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части носит название «колесо с лопастями» и приведено на рис.t. Пунктирные прямые, проходящие через центр квадрата, построенного на большом катете, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Разложение в этом случае интересно тем, что попарно равные четырехугольники могут быть отражены друг на друга параллельным переносом.

Древнеиндийское доказательство

В трактате «Сиддханта широмани» («Венец знаний») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары на пальмовых листьях помещены чертежи доказательства теоремы Пифагора (рис. z), а также ее частные случаи: построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата.

Доказательство Аннариция

   Багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (Аннариций – лат.) в арабском комментарии к «Началам» Евклида дал такое доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах. Это простейшее доказательство методом разбиения: в нем всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений.

Со времен Пифагора появилось несколько сотен доказательств его знаменитой теоремы, она попала в книгу рекордов Гиннеса.

Значение теоремы

Значение этой одной из самых важных теорем геометрии в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.  Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то:

1. Наклонные равны, если равны их проекции;
2. Та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.

Теорема Пифагора была первом утверждением, связавшим длины треугольников. Позднее научились находить длины сторон и углы остроугольных  и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - треугольник, греч.). С ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе между звездами. В настоящее время – между космическими кораблями. Удобна теорема в практических задачах, например, при нахождении высоты объекта и определении расстояния до недоступного предмета. В повседневной жизни никак не обойтись без этой важной теоремы в строительстве и машиностроении при проектировании любых объектов.

Заключение

Работа потребовала большой усидчивости, терпения и времени. Изучен большой объем интереснейшего материала по теме, рассмотрены разнообразные доказательства самой теоремы, с ее применением решены геометрические задачи несколькими способами. В планах продолжить работу над проектом, расширяя и пополняя ее новыми знаниями. Думаем, что она заинтересует не только учащихся школ, но и взрослых.

Литература

1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк./авт.-сост. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.- 14-е изд.-М: Просвещение, 2012
2. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений /авт.-сост. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.- 18-е изд.-М: Просвещение, 2014
3. Математика. ЕГЭ-2015, вступительные экзамены: пособие для самостоятельной подготовки. –Ростов н/Д: Легион, 2014
4. Сборник задач по алгебре для 8-9 кл.ассов: учеб. пособие для учащихся шк. И кл. с углубл. Изуч. Математики ) авт.- составитель М.Л.Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. звавич. -5 изд. –М: Просвещение, 2006
5. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / гл. ред. М.Д.Аксенов, -М: Аванта +, 2012
6. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. – 2008
7. Электронная энциклопедия: Star World

Приложение

Метрическими соотношениями называют формулы, связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов в фигурах. Самое знаменитое из таких соотношений – теорема Пифагора.  Она позволяет перейти с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и дальше в многомерные пространства.

Формула  выражает расстояние между точками А(х1; у1) и В (х2; у2) в декартовых координатах: АВ =. С одной стороны это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины: |х2-х1| и |у2-у1|. С другой стороны – это определение расстояния. Или, например, = const - окружность. Важнейшее тригонометрическое тождество cos2 £ + sin2 £ = 1 – это та же теорема Пифагора. Также теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов: с2 = а2 + b2 -2аbcos C. Из формулы теоремы косинусов следует соотношение d12 + d22 = 2(a2 + b2) между длинами диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого  легко найти длину медианы треугольника по длинам его сторон. На основании теоремы Пифагора выводится формула площади любого треугольника через дины его сторон – формула Герона.

При решении разнообразных практических задач очень популярна теорема Пифагора. Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т. д.). При этом площадь фигуры на гипотенузе равна сумме площадей фигур на катетах. Важное  обобщение при переходе к пространству: Квадрат длин диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Аналогичная теорема верна и в многомерном случае.

В одной задаче – почти вся планиметрия!

Вот такие возможности у теоремы Пифагора

Задача. В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найдите длину средней линии трапеции.

Способ 1.                                                    Способ 2.      

Способ 3.                                                    Способ 4.      

Способ 5.                                         Способ 6.      

Способ 7.                                         Способ 8.      

Тригонометрический способ

РЕЦЕНЗИЯ

на проектную работу «Многомерность теоремы Пифагора»

Челалян Дианы Нарсесовны, учащейся 10А класса МБОУСОШ №2,

г. Апшеронска Краснодарского края

          Роль математики как учебного предмета чрезвычайно велика в плане  формирования мировоззрения и творческого мышления учащихся. Но всякие знания останутся мертвыми, если у учащихся не развивать инициативу, любознательность: учащихся необходимо приучать не только к мышлению, но и к хотению. Если у учащегося нет радости поиска, находок, исследований при изучении, то редко ему удастся достичь четкого понимания математических фактов. Очень хорошо помогать своим ученикам и направлять их на верный путь. Осторожно, чтобы помощь эта не была навязчивой, чтобы не ушло ощущение открытия.  При реализации метода проектов это возможно. Работа в такой форме сотрудничества перспективна, более результативна, чем на уроках.   При работе над данным проектом учащаяся 10А класса Челалян Диана сформировала новые учебные умения по самостоятельному поиску и осмыслению знаний широкого круга, новые личностные качества. В своей работе Диана рассмотрела различные доказательства теоремы Пифагора, необходимые для анализа разнообразных приемов и подходов. Проанализировала исторический аспект и разнообразное применение важнейшей из теорем геометрии. Приведены конкретные примеры ее применения в задачах, сформирована культура построения и чтения чертежей. Данный материал может быть использован на кружковых занятиях, предпрофильных и элективных курсах, при углубленном изучении математики, а также для самообразования учащихся. Ведь знания – это не раз навсегда усвоенное, а развивающееся, поэтому важно, чтобы учащиеся поверили в свои силы и занимались познанием с удовольствием.

Научный руководитель Пухова Елена Сергеевна, учитель математики