Задачи повышенной сложности

Задачи

повышенной сложности

по математике

Оглавление

Логика        

Графы        

Затруднительные ситуации        

Скорость, время, расстояние        

Старинные задачи        

Комбинаторика        

Использованы материалы с сайтов:        

Логика

Логика – раздел математической науки, изучающий законы, в которых учитывается лишь логическая структура высказываний, а именно, как одни высказывания получены из других. К логическим задачам  относятся такие, при  решении которых главное -  отыскание связей между фактами (часто скрытых), сопоставление их, установление цепочки суждений. Часто в условии имеется такое обилие фактов, что удержать их все в памяти нелегко. Тогда прибегают к сопоставлению схем, выполнению рисунков и чертежей.

Задача 1.

Рядом сидят мальчик и девочка.

- Я – мальчик,- говорит черноволосый ребенок.

- Я – девочка, - говорит рыжий ребенок.

Если хотя бы кто-то из них врет, кто мальчик, а кто девочка?

Решение

Если хотя бы один из детей врет, то второй тоже врет. Если врет черноволосый ребенок, то это - девочка, а это возможно, только если врут оба. Соответственно оба ребенка врут. И черноволосый ребенок – девочка, а рыжий ребенок – мальчик.

Задача 2.

В семейном ансамбле «Ласковый лай» участвуют Тит Фомич, Фома Титович, Фома Фролович, Фрол Фомич и Фрол Фролович Собакины. Один из них поет, отец его играет на шарманке, брат держит микрофон, а дети бьют в барабан. Как зовут певца?

Решение

Всего в ансамбле 5 участников. Из них можно выделить две пары братьев Фомичи и Фроловичи. Следовательно отца певца зовут Фома Титович, а певец и его брат по отчеству Фомичи.

Соответственно, дети певцы по отчеству Фроловичи. Значит самого певца зовут Фрол Фомич.

Задача 3.

На Марсе живут гуманоиды. У всех марсиан по три глаза, один   сзади и два спереди. Правда ли, что у всех гуманоидов по три глаза?

Решение

Неправда, что у всех гуманоидов по три глаза.

Нам известно это только про марсианских гуманоидов, но гуманоиды могут жить также на других планетах и у них может быть другое количество глаз.

Задача 4.

Одна старая леди очень любила собак и кошек. Всего у нее было десять питомцев. Однажды она решила накормить их всех конфетами, и раздала им 56 штук. При этом мы знаем, что каждой кошке она давала по пять конфет, а каждой собаке — по шесть. Сколько у нее было собак и сколько кошек?

Решение

Если бы все 10 питомцев были собаками, им бы пришлось раздать 60 конфет. Но хозяйка раздала только 56 конфет, следовательно, кошек, получивших по 5 конфет, у хозяйки 4. А собак – 6.

Задача 5.

Встретились три подруги: Белова, Краснова, Чернова. На одной из них было надето черное платье, на другой - красное, а на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит: «Нам надо поменяться  платьями, а то цвет наших платьев  не соответствуют фамилиям». «Действительно», - подтвердила Чернова. На какой из девочек какое платье?

Решение

А) Девочка в белом – не Чернова, она и не Белова, значит она Краснова.

Б) Остались два цвета: красный и черный. Значит, Чернова – в красном, Белова – в черном, т.к. цвет платьев не соответствует фамилиям.

Следовательно на Беловой красное платье, на Красновой – черное, на Черновой – белое.

Задача 6.

Закончите фразу числом, записанным словами (числительными в соответствующем падеже, чтобы фраза стала верной: «Число букв в этой фразе равно…».

Решение

У нас есть часть фразы, состоящая из двадцати четырех букв. Но добавить слова «двадцати четырем», мы не можем, т. к. тогда утверждение станет неверным. Поскольку в слове «двадцати» 8 букв, то ни одно словосочетание этим словом нам не подойдет. 30 нам также не подходит, т. к., добавив его, получим фразу из 32 букв. Следовательно, числа 31, 32 мы не рассматриваем. Но можем предположить, что нужное число меньше 40, т. к. максимальное число букв в самом длинном простом числительном в нужном падеже – 8.

33-35 добавляют больше букв, чем цифр. 36 и 37 не дают нам нужного соответствия смысла числу букв. Наконец, 38 является подходящим числом.

Таким образом, верным будет утверждение: «Число букв в этой фразе равно тридцати восьми».

Графы

Понятие графы используют не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма. Большую помощь оказывают графы при решении логических задач. Представляя изучаемые обьекты в наглядной форме, графы помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.

Часто по самым разным  поводам мы чертим фигуру, состоящую из точек, изображающих какие-то обьекты, соединяем эти точки линиями, если соответствующие обьекты имеют какие-либо связи между собой. При этом у нас получается граф.

Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называются вершинами графа. Линии, выходящие из вершин, называют ребрами графа.

Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

Граф называется связным, если любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер.

Задача 1.

Нарисуйте граф, состоящий из 7 вершин и 13 ребер.

Решение

Задача 2.

Нарисуйте граф со степенью 16, состоящий из двух компонент связанности. 

Решение

Задача 3.

Нарисуйте граф с 5 вершинами и 7 ребрами. 

Решение

Задача 4.

Нарисуйте граф, степень которого равна 12. 

Решение

Задача 5.

Нарисуйте граф со степенями вершин  а) 4,4,3,3,2   б) 3,3,3,3,3,2,1

в) 5,4,4,4,3,2,1 

Решение

а)                                                               б)

в) Граф со степенями вершин 5,4,4,4,3,2,1 нарисовать невозможно, т. к. сумма степеней вершин графа должна быть четной.

Задача 6.

В некоторой стране 10 городов, причем каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?

Решение

Каждая дорога соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 10 городов (город A), а в качестве второго — любой из 9 оставшихся (город B). Перемножив эти числа, получаем 10 × 9 = 90. Однако при этом подсчете каждая из дорог учтена дважды, т. е. дорог между городами 45.

Для того, чтобы все 10 городов были соединены между собой минимально необходимое количество дорог – 9.

Следовательно на ремонт можно закрыть 36 дорог

Задача 7.

В стране несколько городов, в каждом из которых по 3 вокзала. Из каждого вокзала выходит ровно одна железнодорожная линия, идущая на вокзал другого города. Всего в стране 300 железнодорожных линий. Сколько в стране вокзалов и сколько городов?

Решение

Задача 8.

В стране 20 городов, каждые 2 соединены дорогой. Сколько дорог в стране?

Решение

Каждая дорога соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город A), а в качестве второго — любой из 19 оставшихся (город B). Перемножив эти числа, получаем 20 × 19 = 380. Однако при этом подсчёте каждая дорога учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город A, а второго — город B, а второй раз — наоборот). Таким образом, число дорог равно 380 : 2 = 190.

Задача 9.

Можно ли в Заколдованном лесу прорубить 9 просек так, чтобы каждая пересекалась с 3 другими?

Решение

Для того чтобы каждая из 9 просек пересеклась с 3 другими необходимо создать 27 пересечений. Однако число пересечений может быть только четным, так как каждое пересечение образуется парой просек.

Следовательно, в Заколдованном лесу невозможно прорубить 9 просек, чтобы каждая пересекалась с 3 другими.

Затруднительные ситуации

Задача 1.

К реке подошли три рыцаря со своими оруженосцами. Лодка на берегу одна и в нее влезают два человека. Причем каждый оруженосец боится оставаться в компании с другим рыцарем без своего хозяина. Как им переправиться через реку.

Решение

Обозначим пары рыцарей и оруженосцев следующим образом: Р1 и О1, Р2 и О2, Р3 и О3. Берега реки – Б1 и Б2.

1. О1 и О2 едут на Б2. Затем О2 возвращается на Б1.

2. О2 и О3 едут на Б2. Затем О3 возвращается на Б1.

3. Р1 и Р3 едут на Б2. Затем Р3 и О3 возвращается на Б1.

4. Р2 и Р3 едут на Б2. Затем О1 возвращается на Б1.

5. О1 и О2 едут на Б2. Затем О2 возвращается на Б1.

6. О2 и О3 едут на Б2.

Задача 2.

На лесопилке имеются бревна длиной  6м  и  7м. Надо напилить 42 чурбака длиной 1 метр. Из каких бревен будет быстрее их напилить?

Решение

Чтобы напилить метровые чурбаки из шестиметровых бревен, потребуется  42 :  6 = 7 бревен, каждое из которых надо пилить 5 раз. Всего 5*7 = 35 распилов. А чтобы распилить такие же чурбаки из семиметровых бревен, потребуется 42 : 7 = 6 бревен, каждое из которых пилим 6 раз, т.е. всего  6*6 = 36 распилов. Значит, быстрее распилить шестиметровые бревна

Задача 3.

На столе лежат три спички. Попробуйте сделать из них четыре, не ломая спичек.

Решение

Вот три спички: III. Делаем из них четыре – IV.

Задача 4.

Каким образом можно расставить 10 стульев в квадратной комнате так, чтобы у каждой стены стояло по одинаковому количеству стульев?

Решение

     Два стула ставятся в два противоположных угла.

Затем еще по два стула расставляются у каждой стены.

Задача 5.

Два лесоруба, Иван и Прохор, работали в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепешки, а у Прохора – 8. Тут к ним подошел охотник. « Вот, братцы, заблудился в лесу, До деревни далеко, а есть хочется, Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью!». « Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады» - сказали лесорубы. Двенадцать лепешек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашел гривенник ( 10 к.) и полтинник ( 50 к.) и сказал: « Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!» Охотник ушел, а лесорубц заспорили. Прохор говорит: «По-моему, деньги надо разделить поровну!» А Иван ему возражает: « За 12 лепешек – 60 копеек, значит  за каждую лепешку по 5 копеек. Раз у тебя было 8 лепешек – тебе 40 копеек, у меня 4 лепешки – мне 20 копеек. А как бы Вы  разделили эти деньги между лесорубами?

Решение

Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепешки, следовательно, Иван съел все свои лепешки сам, а Прохор половину своих лепешек отдал охотнику. Значит, все 60 копеек должен получить Прохор.

Задача 6.

Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, сын – за 5, а дедушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.

За какое наименьшее время вся семья переправится через мост?

Решение

Сначала идут папа с мамой, потом мама возвращается с фонариком - 4 мин.

Потом дедушка с малышом, с фонариком возвращается папа - 11 мин.

И, наконец, опять идут мама с папой - 2 мин.

Итого - 17 мин.

Скорость, время, расстояние

Задача 1.

Машина едет со скоростью 60 км/ч. На сколько следует увеличить скорость, чтобы выиграть на каждом километре по одной минуте?

Решение

60 километров в час — это 1 километр в минуту. Значит, чтобы выиграть на каждом километре по 1 минуте, надо увеличить скорость на 60 км/ч.

Задача 2.

Между лисой и зайцем — 10 метров. Когда лиса поймает зайца, если она бежит со скоростью 8 м/с, а он — со скоростью 7 м/с?

Решение

Лиса бежит ыстрее зайца на 1 м/с. Значит ей потребуется 10 секунд, чтобы догнать зайца.

Задача 3.

Послан человек из Москвы в Вологду, и проходит он каждый день 40 вёрст. На следующий день вслед послан другой человек, проходящий 45 вёрст в день. Когда второй догонит первого?

Решение

Второму человеку, чтобы догнать первого, надо преодолеть разницу в 40 верст. Скорость его выше на 5 верст в день. Значит, второй догонит первого через 8 дней. 40 / (45 – 40) = 8.

Задача 4.

В дневнике у Вовочки уже записано 200 замечаний, а у Машеньки — 112. Через сколько недель они сравняются, если Машенька получает на 22 замечания в неделю больше, чем Вовочка?

Решение

200 – 122= 88 – на столько замечаний Вовочка опережает Машеньку

88 : 22 = 4 – недели нужно Машеньке, чтобы сравняться с Вовочкой

Задача 5.

Пассажир, проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шёл вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 секунд пассажир вышел из трамвая и пошёл догонять своего знакомого. Через сколько секунд он догонит знакомого, двигаясь в два раза быстрее знакомого и в пять раз медленнее трамвая?

Решение

Пусть х м/с - скорость знакомого, тогда скорость пассажира 2х м/с, а скорость трамвая 5*2х=10х м/с.

1) 10х*10=100х (м) - прошёл трамвай за 10 секунд

2) х*10=10х (м) - прошёл знакомый от точки встречи за 10 секунд

3) 100х+10х=110х (м) - расстояние между пассажиром и его знакомым, когда первый отправился догонять второго

4) 2х-х=х (м/с) - скорость сближения пассажира и его знакомого

5) 110х:х=110 (с) – время сближения

Пассажир догонит знакомого через 110 секунд.

Задача 6.

Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат — 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 минут раньше меня?

Решение

На путь от дома до школы я трачу на 10 минут меньше брата. Следовательно, на половину пути я потрачу на 5 минут меньше. Мы с братом встретимся на половине пути от дома до школы.

Задача 7.

В 336-ведёрную ёмкость всякий час одною трубою втекает 70 вёдер воды, а другою трубою вытекает 42 ведра. За какое время ёмкость наполнится?

Решение

70 – 42=28 – ведер воды каждый час остается в емкости

336 : 28 = 12 – часов необходимо, чтобы емкость наполнилась.

Задача 8.

Грузовик проехал некоторое расстояние за 10 часов. Если бы он проезжал в час на 10 километров больше, то тот же путь занял бы 8 часов. Какова скорость грузовика?

Решение

Примем за х скорость грузовика и составим уравнение

10x = 8(x + 10)

8х+80=10х

10х-8х=80

2х=80

х=40

Скорость грузовика была 40 км/ч.

Старинные задачи

В этом разделе приведены задачи, придуманные математиками, жившими столетия назад. Как правило, эти задачи отличаются несложными арифметическими решениями, но требуют хорошего понимания их условий.

Задача 1.

У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец?

Решение

Допустим все - куры, тогда должно быть ног: 36*2=72

Тогда лишних ног-100-72=28-то есть это еще пары ног овец, тогда:

28:2=14-овец

36-14=22-кур

Проверка:

14*4+22*2=56+44=100.

Задача 2.

Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько гусей было первоначально?

Решение

На последнем озере села половина всех гусей и еще полгуся и оказалось, что это все летевшие гуси. Значит, полгуся — это половина всех гусей, подлетевших к последнему озеру, а всего их было 0,5·2=1 гусь. На предпоследнем озере села половина всех гусей, подлетевших к нему, и еще полгуся, а еще один гусь полетел на последнее озеро. Значит, к этому озеру подлетели (1 + 0,5)·2=3 гуся. Рассуждая таким образом дальше, получим, что к пятому озеру подлетели 7 гусей, к четвертому — 15 гусей, к третьему — 31 гусь, ко второму — 63 гуся и, наконец, к первому — 127 гусей.

Задача 3.

Найдите три числа, которые при попарном сложении дают в сумме двадцать, тридцать и сорок.

Решение

Из условия задачи ясно, что

1. 20 дает сумма наименьшего и среднего чисел

         30 дает сумма наименьшего и наибольшего чисел

         40 дает сумма среднего и наибольшего чисел

2) раз сумма среднего и наибольшего чисел больше суммы наименьшего и среднего чисел на 20, то наибольшее число больше наименьшего числа на 20;

3) раз сумма среднего и наибольшего чисел больше суммы наименьшего и наибольшего чисел на 10, то среднее число больше наименьшего числа на 10;

4) раз сумма наименьшего и среднего чисел равна 20, а среднее число больше наименьшего на 10, то удвоенное наименьшее число равно 10;

5) раз удвоенное наименьшее число равно 10, то наименьшее число равно 5, а среднее и наибольшее числа равны 15 и 25 ( в соответствии с пп. 2 и 3);

6) проверка: 5+15=20, 5+25=30, 15+25=40

Задача 4.

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное - 3 руб.?

Решение

Если бы купец приобрел сукно одного типа, например синее, то он заплатил бы 138*5 = 690 руб. Образовавшаяся разность в 150 руб. получена за счет того, что черное сукно повышено в цене на 2 руб. Значит, черного сукна было 150:2 = 75 аршин, а синего было 138-75 = 63 аршина.

Задача 5.

Отец решил отдать сына в учебу и спросил учителя: "Скажи, сколько учеников у тебя в классе?" Учитель ответил: "Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня сто учеников". Сколько же учеников было в классе?

Решение

Возьмем за х количество учеников в классе. Составим и решим уравнение.

х+х+1/2x+1/4x+1=100

2x+3/4x=99

11/4х=99

1/4х=9

х=36

В классе было 36 учеников

Задача 6.

За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на 1 рубль. Сколько стоит 1 бублик?

Решение

Пусть на 1 рубль можно купить  x  бубликов, тогда на  x р. можно купить  x * x бубликов. Составим уравнение  x * x = 25, x = 5, следовательно на 1 рубль можно купить 5 бубликов, значит 1 бублик стоит 20 копеек.

Комбинаторика

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Задача 1.

Мальчик подбирает код к двери, который состоит из двух цифр. Он знает, что каждая цифра нечетная. Сколько комбинаций ему придется перебрать в худшем случае? 

Решение

Нечетных цифр всего 5. На первом месте может быть одна из них, а на втором – одна из четырех оставшихся. 5*4=20.

Значит, ему нужно в худшем случае перебрать 20 комбинаций.

Задача 2.

Мальчик подбирает код к сейфу, который состоит из одной из 33 букв и 2 цифр. На подбор одной комбинации он тратит 1 секунду. Ему нужно успеть открыть сейф за 1 час. Точно ли он успеет?

Решение

Цифр всего 10, одна из них будет стоять на первой позиции, а на второй – одна из 9 оставшихся. Значит, мы можем получить 9*10=90 комбинаций из цифр. К каждой из этих комбинаций можно подобрать по одной из 33 букв.  Таким образом, количество буквенно-цифровых комбинаций будет 90*33=2970. Столько секунд потребуется мальчику для перебора всех возможных комбинаций.

В одном часе 3600 секунд. 3600>2970. Значит за час мальчик успеет подобрать код к сейфу.

Задача 3.

Сколькими способами можно поставить короля и ферзя на первую горизонталь?

Решение

В первой горизонтали 8 клеток. На каждую из клеток можно поставить ферзя, а на каждую из остальных 7 – короля. Соответственно короля и ферзя можно поставить на первую горизонталь 8*7=49 способами.

Задача 4.

В столовой подают 3 разных супа, 5 разных вторых блюд и 8 разных напитков. Сколько дней подряд можно заказывать разные обеды, состоящие из первого, второго и напитка?

Решение

Обеды из первого, второго и напитка можно скомбинировать 3*5*8=120 раз. Значит 120 дней подряд можно заказывать разные обеды.

Задача 5.

Сколько разных слов, не обязательно осмысленных можно получить, переставляя буквы в слове ТОР? Само слово тоже считается.

Решение

На первом месте может стоять одна из 3 букв, на втором месте – одна из двух оставшихся, а на третьем только одна оставшаяся буква. Таким образом, переставляя 3 буквы можно получить 3*2*1=6 разных слов.

Задача 6.

Сколько разных слов, не обязательно осмысленных можно получить, переставляя буквы в слове ТОРГ? Само слово тоже считается.

Решение

На первом месте может стоять одна из 4 букв, на втором месте – одна из трех оставшихся, а на третьем – одна из двух оставшихся и на четвертом - только одна оставшаяся буква. Таким образом, переставляя 4 буквы можно получить 4*3*2*1=24 разных слова.

Задача 7.

Сколькими способами можно расставить 1 книгу на 3 книжные полки?

Решение

Одну книгу на каждую полку можно поставить единственным способом. Значит, на 3 полки ее можно поставить тремя способами.

Задача 8.

Сколькими способами можно расставить 2 различные книги на 3 книжные полки?

Решение

2 книги можно расставить на каждую полку двумя способами. Значит на три полки можно расставить их 2*2*3=12 способами.

Задача 9.

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на 3 книжные полки?

Решение

3 книги можно расставить на каждую полку 3*2*1=6 способами. Значит на 3 полки их можно расставить 18 способами.

Задача 10.

В памяти компьютера числа записываются в виде последовательности нулей и единиц. Сколько разных чисел можно записать с помощью последовательности из 3 символов (каждый символ – ноль или единица)?

Решение

На первом месте может быт один из двух символов, на втором и третьем также один из 2 символов. Следовательно с помощью последовательности из 3 символов можно записать 2*2*2=8 разных чисел.

Задача 11.

Сколько существует четных пятизначных чисел?

Решение

Цифр всего 10, но на первой позиции в пятизначном числе не может стоять 0, то есть на первой позиции может стоять одна из 9 цифр. На остальных позициях может стоять любая из 10 цифр. Отсюда мы можем получить, что всего пятизначных чисел 9*10*10*10*10=90000.

Половина из них - четные. Значит, всего существует 45000 четных пятизначных чисел.

Использованы материалы с сайтов:

http://festival.1september.ru/articles/416943/

http://marielschool20.narod.ru/razumova/tvor/l1.doc

http://mmmf.msu.ru/

http://www.smekalka.pp.ru/old.html