Проект "Геометрическое искусство Японии"

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

«ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСКУССТВО ЯПОНИИ».

СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА»

Автор: Денисов Денис

учащийся 10 класса

ГБОУ СОШ  №12

г. Сызрани

Самарской области

Научный руководитель: Майонова Галина Петровна

                                          учитель математики ГБОУ СОШ №12

Сызрань, 2016г

Содержание

1. Введение

2. Геометрическое искусство Японии

        2.1. Особенные дощечки

        2.2. Язык Сангаку

        2.3. Странный обычай

        2.4. Васан

              2.4.1. Интересная часть васан

        2.5. Последний вздох

3. Задачи на решение Сангаку

4. Заключение

Введение

Японская храмовая геометрия – это общее название своеобразных математических сведений, дошедших до нас в виде деревянных табличек, на которых вырезали или рисовали задачи. Такие таблички получили название «Сангаку».

Сангаку – это уникальное достояние японской культуры. Эти дощечки внесли огромный вклад в развитие истории математики в Японии. Они по структуре своей очень лаконичны и просты.

Геометрическое искусство Японии остается мало исследованным. В книгах по истории математики не встречается сведений о развитии математики в Японии. Основной причиной является изолированность Японии во время одного из значительных периодов развития страны. В эпоху Эдо она была изолирована от западного мира, сохраняя средневековой уклад жизни.

Во многих источниках говорится, что большинство открытий, не только географических, но и математических, были сделаны в Европе. Но после глубокого знакомства с историей математики Японии, можно смело сделать вывод, что развитие науки проходило также и на Востоке, и некоторые математические открытия впервые произошли именно там. Именно поэтому мы постепенно перейдем к актуальности Сангаку.

Актуальность. Данная проектная работа действительно заинтересовала меня. Я познакомился с японской математикой и культурой. Рассмотрел огромное количество интереснейших задач и постарался найти им доказательство. Без сомнений могу сказать, что данная тема сейчас по прежнему актуальна, потому что 21 век – век научно-технического прогресса, а как говорится, кто не знает прошлого, у того нет будущего, именно поэтому не нужно забывать технологии давних времен и нужно пытаться узнать о них больше. Также я для себя поставил некоторые цели и задачи при выполнении этой работы, с которыми мы можем ознакомиться ниже.

Цели моей работы заключаются в следующем:

- Знакомство с историей математики Японии.

- Воспроизведение возможных решений задач «сангаку».

- Узнать, что же такое Сангаку.

- Изучить научную литературу, связанную с ней.

Задачи данной работы:

- Формулирование и решение задач «сангаку» по чертежам.

- Увидеть какими же способами решения задач руководствовались математики древности.

Геометрическое искусство Японии:

Особенные дощечки. Теоремы не публиковались в книгах, а появлялись в виде прекрасных цветных рисунков под названием Сангаку, которые подвешивались под крышей в притворах святилищ и храмов.

Сангаку - это, зачастую цветные, деревянные дощечки, выставляемые в синтоистских святилищах (а иногда и в буддийских храмах) в Японии, и изображающие математические задачи. Самые ранние сангаку несколькими годами старше эпохи Эдо (1603-1867). С 1639 по 1854 год Япония жила в жёсткой самоизоляции от Запада. Доступ ко всем формам западной культуры пресекался, и приток научных идей с Запада был эффективно сокращён. Именно в этот период изоляции и расцвела национальная разновидность математики – Сангаку.

Язык Сангаку. Cангаку писались на языке, называемом камбун, использовавшем китайские иероглифы и преимущественно китайскую грамматику, но включали отличительные отметки, имевшие японские смыслы. Камбун играл роль, схожую с ролью латыни на Западе, и его употребление в сангаку указывало на то, что решающий задачи имел высокую образованность. Камбун  в состоянии читать лишь небольшое число современных японцев.

Примерное колличество созданных сангаку - 5000. Получается, что в среднем, за 250 лет, создавалось примерно 20 сангаку в год.

Странный обычай вывешивать задачи перед храмами брал исток в XVII веке, и длился более двух столетий. Возможно, он возник из желания молитвы или одобрения богов, или из того, что это был удобный метод публикации открытия, или из желания бросить другим вызов решить задачу, наподобие тому, как студенты в средневековой Европе вывешивали тезисы на дверях церкви.

Васан - обозначает традиционную японскую математику, которая заменила хереон. Термин не использовался до периода Мэйдзи, а затем был использован для того, чтобы различать японскую математику и западную.

Интересная часть васан. Пожалуй, самая интересная часть васан, это таблички сангаку, содержащие математические головоломки, чаще всего геометрического типа. Как правило, таблички также включали ответ, но без решения и доказательства. Математики часто публиковал свои пути решения сангаку , а также публиковали новые задачки для других. К сожалению, большинство табличек не сохранилось, но многих из них по коллекциям сангаку, которые были опубликованы в книгах в период Эдо.

Изготовления этих сангаку, что дословно означает математическую дощечку, могли быть проявлениями уважения или же бросания вызова другим поклонникам: "реши это, если сможешь!". В основном, сангаку имели дело с обычной евклидовой геометрией. Но задачи эти резко отличались от тех, что можно встретить в типичном курсе геометрии в высшей школе. Некоторые из них весьма просты и могут быть решены студентами первого курса (ну или даже мной – учеником 10 класса). Другие же практически невероятны, и современные геометры неизменно штурмуют их с помощью продвинутых методов, включая методы вычисления и аффинные преобразования.

Последний вздох Сангаку. Сангаку и другие задачки, записанные в книгах, как правило, рассматриваются не только в качестве математической ценности, но и культурной. Тем не менее, васан пришел конец. С модернизацией Японии в эпоху Мэйдзи и внедрение западной математики, васан считали неполноценным, и перестали изучать в школе. Сейчас о японской математике вспоминают только историки и любители головоломок.

Задачи на решение Сангаку:

Восемь окружностей

Дано: Шесть из восьми кругов имеют очевидные отношения между их радиусами. В порядке уменьшения длин радиусов:  1  :  2/3  :  1/3.

Найти: радиус двух маленьких окружностей по радиусу самой большой.

Решение:

Будем полагать, радиус самой большой окружности равным R = 3r. Тогда r – радиус каждой из трех окружностей и 2r – радиус каждого из двух больших двойников. Пусть х – неизвестный радиус.

В ΔABO:  AB = 2r + х, OB = r, ОA = 3r – х.

По теореме Пифагора: AB2 = OB2 + ОA2,

                                           (2r + х)2 = r2 + (3r – х)2,

                                           4r2 + 4rx + x2 = r2 + 9r2 – 6rx + x2,

                                           10rx = 6r2, х = 3r/5.

Так как R = 3r, то радиус наименьшей окружности выражается через радиус наибольшей окружности следующим образом: х = R/5.

Ответ: х = R/5.

Квадрат и окружность в готическом куполе

Дано: Две четверти окружности, вписанные в квадрат, образуют фигуру, похожую на готический купол. В этот готический купол вписан квадрат и окружность, как показано на рисунке. Найти: отношение радиуса этой окружности и стороны этого квадрата 

Решение:

Будем полагать, что сторона большего квадрата равна 1, сторона меньшего квадрата GF = х и радиус окружности с центром в точке О равен r.

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔAFG имеем:

AG2 = AF2 + FG2,

1 = (1/2 + х/2) 2 + х2,

1 = 1/4 + х/2 + х2/4 + х2,

4 = 1 +2x + х2 + 4х2,

5x² + 2x – 3 = 0.

Единственный положительный корень последнего квадратного уравнения х = 3/5.

Применим теорему Пифагора к ΔAMO и получим: AO2 = AM2 + MO2,

(1 – r) 2 = (1/2) 2 + (х + r) 2,

(1 – r) 2 = (1/2) 2 + (3/5 + r) 2.

Последнее уравнение сводится к линейному уравнению с корнем r = 39/320.

Таким образом, r/х = 39/320 : 3/5 = 13/64.

Ответ: 13/64.

Три касающиеся окружности

Дано: Три окружности с центрами А, В, С и радиусами a, b, c, соответственно, касаются друг друга и прямой l и расположены так, как показано на рисунке. Доказать: 1/√a  +  1/√b  =  1/√c .  

Можно сказать, что это одна из наиболее известных задач среди тех, которые встречаются в сангаку. Редкая книга или статья о японской храмовой геометрии обходится без упоминания об этих трёх окружностях и прямой, попарно касающихся друг друга. Рассматриваемый результат, конечно, был известен ещё древним грекам, что до сих пор удивляет японских математиков. Навряд ли мы узнаем, как к решению этой задачи подходили в период Эдо в Японии. Мы же выбрали технически простой способ доказательства – используются лишь теорема Пифагора, которую мы изучили в 9 классе, и простейшие алгебраические преобразования, – но по-своему элегантный и тонкий. Ниже приведено изображение сангаку с этой жемчужиной васан:

Доказательство:       

Как видим на следующем рисунке, мы имеем дело с тремя прямоугольными треугольниками, гипотенузами которых служат отрезки попарно соединяющие центры данных окружностей.

Введём вспомогательные отрезки x и y, как показано на рисунке. Рассматривая треугольники сверху вниз и слева направо выпишем тройки их сторон:

1. a + b,  a – b, x + y;
2. a + c, a – c, x;
3. b + c, b – c, y.

Тогда из теоремы Пифагора следует справедливость системы:

(a + b)2 = (a – b)2 + ( x + y)2;

(a + c)2 = (a – c)2 + x2;

(b + c)2 = (b – c)2 + y2.

Откуда следует, что 4ab = (x + y)2;    

4ac = x2;    

4bc = y2.  Или 2√ab = x + y;    2√ac = x;    2√bc = y,

что, в свою очередь, равносильно равенству √ab = √ac + √bc.

Разделим обе части последнего равенства на  √abс  и получим1/√с  =  1/√b  + 1/√а ,   что и требовалось доказать.

Три окружности в квадрате

Дан квадрат и три окружности размещённые в нём, как показано на рисунке. Докажите, что, если зелёные окружности равны, то и розовая окружность равна им.

Это утверждение можно доказать с помощью свойств касательных к окружности. Мы же рассмотрим более прямолинейное доказательство.  

Доказательство:

Будем считать, что сторона квадрата в некоторых условных единицах длины составляет 1. Тогда очевидно, что  ВК =  3/4,  KO1 = 1/4,  BL = 1/2. 

Покажем, что LO3 = 1/4.

Полагая ∠ KВO1 = α/2 имеем, из прямоугольного Δ KВO1 tg α/2 =  KO1/ ВК = 1/4 : 3/4 = 1/3.

Очевидно, что ∠ KВМ = ∠ ВМL = α и tg α = 3/4, в чём можно убедиться с помощью уже найденного значения tg α/2 .

В прямоугольном Δ ВМL: LM= BL / tg α = 1/2 : 3/4 = 2/3,

BM2 = LM2 + BL2 = (2/3)2 + (1/2)2 = 25/36  и BM = 5/6.

Так как 2SΔ ВMC = BC · ML = PΔ ВMC · LO3, то LO3 = BC · ML / PΔ ВMC = BC · ML / BC + 2BM = 1/4,

что и требовалось доказать. 

Заключение

История математики хранит немало тайн. Одной из них является японская храмовая геометрия. В своем исследовании мы смогли увидеть лишь самую малую часть задач по выбранной нами теме, потому что их тысячи, если не больше.

Я все-таки закончил свою работу и рад, что выбрал именно эту тему, она не оказалась скучной, как я думал, а напротив довольно интересной и занятной. Благодаря данной работе, проделанной мной я смог узнать много нового и познавательного для себя.  Сангаку - это по-настоящему божественное проявление древней математики. Несмотря на то, что информация о данном явлении не встречается в повседневной жизни и не «лежит на поверхности», данное явление нужно продолжать изучать, дабы узнать что-то новое и, возможно, перспективное для современного общества.

Источники информации.

В ходе моей работы использовался исключительно интернет и информация из него, поэтому здесь вы не видите фамилии, года, названия книг. Данной работой я занялся несколько раннее, чем нужно было, информация была собрана, но к сегодняшнему дню почти всех тех сайтов, которые я использовал, уже не существует. Ниже приведены оставшиеся из них:

1. http://www.shogi.ru/wasan/Bogomolny/sangaku.htm
2. https://belyaevsan.wordpress.com/category/сангаку/
3. http://math4school.ru/sangaku.html
4. Яндекс.Картинки