Научно-исследовательская работа на тему "Извлечение квадратного корня из многозначных чисел"

Научно-исследовательская работа

Способы извлечения квадратных корней из многозначных чисел.                                         

                                      Выполнили:  ученицы 8 класса

                                                                                                Лицея №16

                                                                                                г.Димитровграда

                                                                                                          Астраханова Татьяна

                                                                                                  Инякова Анна

              Научный руководитель: учитель математики

                                                                                                Дорн Лариса Николаевна

Оглавление

Введение   ….…………………………………………….………………………………………………..........4

Глава 1.  Способ разложения на простые множители ………………………………….  5

Глава 2. Способ  использования таблицы  квадратов двузначных чисел.……. 6

Глава 3. Формула Древнего Вавилона ………………..………………………………………... 7

Глава 4.  Канадский метод……………………………….…………………………………………...  8

Глава 5. Через решение уравнения………........…….….……………………………………….. 9

Глава 6. Способ отбрасывание «полного» квадрата……………………………………..10

Глава 7. Графический метод …..………………………………...……....................……………... 11

Глава 8. Метод вещественного анализа элементарной функции: у = √х……..12

Глава 9.Деление на пары через составление ребуса.……………………..………… 13-14

Заключение …………………………………………………………………..…………...………….……..15

Список литературы ...………………………….………………………………………………………..16

Приложения ……………………………………………………………………………….........................17

Актуальность исследования:  В школьном курсе математики часто встречаются задание с извлечением квадратного корня, а также в заданиях ОГЭ, в практических вычислениях

и быту. Умения извлекать квадратные корни нужны при изучении   некоторых тем химии и физики .

Цель работы: изучить способы вычисления арифметических корней и найти самый  рациональный для практического применения.           

   Задачи:

1. Проанализировать путём соцопроса умение

учащихся извлекать квадратные корни без калькулятора;

2.Проанализировать математическую литературу по данной теме, используя Интернет-ресурсы;

3.Изучить алгоритмы вычисления арифметического корня ;

4.Рассмотреть примеры быстрого извлечения квадратного корня;

5. Познакомить одноклассников с самым рациональным способом извлечения корней и выпустить буклет-памятку по данному способу.

Гипотеза:  Существует не менее двух-трёх способов    извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Анализ опроса по изучаемой теме.
2. Поиск способов и алгоритмов.
3. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков.
4. Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике  при исследовании путём решения конкретных задач.

Введение

В 8 классе при изучении темы квадратных корней по алгебре и изучении теоремы Пифагора по геометрии, нам приходилось извлекать квадратные корни. Но так как на уроках математики  не разрешается пользоваться калькулятором, а таблица квадратов не всегда под рукой, то для нас стала актуальной тема «Извлечение квадратных корней» без калькулятора  и таблицы квадратов.  Ведь на ОГЭ таблица квадратов дается только для двузначных чисел, как же быть, если подкоренное выражение шестизначное? Но однажды мы узнали, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения электронно-вычислительных машин. Эти вопросы и легли в основу исследования, которое для нас стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, мы нашли не один, а несколько способов решения данной проблемы.

Глава 1.  Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Этим способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.

1936 │2                                                                             1521│3                

   968│2                                                                                  507│3

   484│2          169│13

   242│2            13│13

   121│11              1│1

     11│11          

       1│1                            

   √1936 = √24∙11² = 2∙2∙11 = 44       √1521 = √132 ∙ 32= 13∙3 = 39

Многие применяют его успешно и считают единственным.  Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 209764? Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙52441. А как быть дальше? С этой задачей сталкиваются все, и спокойно в ответе записывают остаток от разложения под знак корня.  Методом проб и ошибок, подбором  разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.

Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.

Глава 2.  Способ использования таблицы квадратов

                                  двузначных чисел

С этим способом нас познакомила наш учитель математики. Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел  от 1 до 100  с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

(Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ГИА предлагается в качестве справочного материала.)

Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но сначала несколько рекомендаций: самый левый столбик – это будут в ответе целые, самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное  число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Рассмотрим на примере. Найдём значение √73.

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 73 – таких только два 7225 и 7396. Но 73 – это уже много.

 Значит, остаётся только одно – 7225.

Левый столбик даёт ответ  8 (это целых), а верхняя строчка 5 (это десятых).  Значит √73≈ 8,5. Проверим на МК √73 ≈ 8,544.

Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

                        Глава 3.  Формула Древнего Вавилона 

Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа  43:                            

==6+

Глава 4.  Канадский метод

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:

√ X = √ S + (X -  S) / (2 √ S), гдеX - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 923  

X = 923, S = 961. Это означает, что √ S = 31.

Просчитаем по этой формуле: √ 923 = 31 + (923 - 961) / (2∙ 31)                  
√ 923= 31 + ( - 0,6129 ) = 31-0.6129= 30,3871

Метод несложный и удобный.

Глава 5.   Через решение уравнения

На самом деле существует удобный способ нахождения квадратного корня

«вручную» через решение уравнения, ведь математика - наука с многовековой историей, а калькуляторы были не всегда. Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного - двух знаков после запятой, а, при желании, достичь и большей точности. Звучит невероятно, но попробуйте испытать этот способ при вычислении квадратного корня. В чем его суть рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня 129.Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 121 = 11²  и 144 =12², поэтому  √121< √129 < √144  и  11 < √129 < 12.

Пусть  х – это та разница, на которую отличны друг от друга √121 и √129,

 следовательно  √129= 11 +  х. Возведем в квадрат обе части полученного уравнения   (√129) ² = (11 +  х)²  и раскроем скобки при помощи формулы суммы квадрата:

129 = (11 + х)² = 121 + 22х + х².

Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а  х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

 В результате приходим к простому линейному уравнению 129 = 121 + 22х.

 Решив его, получаем значение:  х =  0,3636.  Значит √ 129 ≈ 11 + 0,3636 ≈ 11,3636

На самом деле, при расчете на калькуляторе, значение этого корня равно11,3578, то есть погрешность при нашем расчете составила 0,0058. Не правда ли, вполне приличная точность!

Но если все же решение задач по математике требует еще большей точности, то можно достичь ее тем же способом, просто продолжив вычисления с уже полученным значением корня. Так что подобный способ вычисления квадратного корня необычайно точен и удобен, а погрешность вычисления зависит исключительно от вашего терпения и упорства.

Глава 6.  Способ отбрасывания полного квадрата

                            ( только у четырехзначных чисел)

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от  величины подкоренного числа.

1.  Извлечение корней до числа 752 = 5625

 Например:  √¯1521 = √¯1400 + 121 = 14 +25  = 39.

 Число 1521 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 121, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого  прибавляем всегда 25. Получим ответ 39.

 Так можно извлекать только квадратные корни до числа 752 =5625!

2) Извлечение корней после числа 752 = 5625

 Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 752 =5625?

Например: √7744 = √7600 + 144= 76 + √144 = 76 + 12 = 88.

Поясним,7744 представим в виде суммы 7600 и выделенного квадрата 144. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 144, равный 12.

Получим ответ 88.

Этот способ нахождения очень интересен и в какой – то мере оригинален, но достаточно сложен в запоминании из – за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но мы проработали  множество примеров и убедились в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.

                                   Глава 7.  Графический метод.

Графический метод извлечения квадратных корней наш учитель математики предлагает использовать для маленьких чисел, когда под рукой нет таблицы квадратов. Он полностью основан на графическом решении уравнения b= х²,  полученном из √ b= х путём возведения в квадрат первого. С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник: Построим на клеточной бумаге в одной системе координат два графика функций у = b   и  у = х². Найдём точку пересечения в первой четверти системы координат. Абсцисса этой точки и будет соответствовать значению квадратного корня из числа b.

Какие же неудобства и трудности испытывают при применении такого способа решения данной проблемы:

Предварительная подготовка - построение графика параболы.

Ограничение размером тетрадного листа (о чём сразу предупреждали), поэтому невозможно извлечение чисел, больших 40, так как длина тетрадного листа 40 клеток. Неточность в построении кривых линий  и получение больших погрешностей, в отличие от других методов.  

                    Глава 8.  Метод   вещественного анализа 

                элементарной    функции      у = √х

Полностью такой же, как и предыдущий, но только рассматривается другой график. Все плюсы и минусы этих методов очень схожи.

Глава 9. Деление на пары через  составление ребуса

Работаем сразу с √21921124 по плану:          Пусть √21921124 = х                            

1. Разбиваем число (21921124) на пары справа налево (21`92`11`24)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 4).

Так мы получаем первую цифру числа х.

3. Находим квадрат первой цифры (42 = 16).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (21 - 16 = 5).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 592).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой        (4∙2 = 8).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа х: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 592                                       (это цифра 6, и  86∙ 6 = 516).

 6 - вторая цифра числа х.

8. Находим разность (592 – 516 = 76).

9. Сносим следующую группу (получаем число 7611).

10. Удваиваем число 46, получаем 92.

11.92 десятка в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 7611 (928∙8=7424). Найденная нами цифра единиц (8) и есть третья цифра числа х. Далее процесс повторяется.

12. Находим разность (7611 – 7424 = 187).

13. Сносим следующую группу (получаем число18724).

14. Удваиваем число 468, получаем 936

15.936 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число равное 18724. Найденная нами цифра единиц (2) и есть последняя цифра числа х.
Ответ: √21921124=4682

Способ универсальный, так  как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков  столбиком. Он трудоёмкий, но очень точный.

                                         Заключение

В ходе нашего исследования, мы убедились, что актуальность темы мы выбрали правильную, ведь не только дети, но и взрослые не умеют вычислять квадратные корни без калькулятора, а это является важной составляющей в жизни людей. В результате проведённой работы, было найдено огромное количество способов вычисления квадратного корня, а также выявлено, что современной науке известно много таких способов, начиная со способа математиков Древнего Вавилона и заканчивая способом «Степенных рядов сложных степеней» из разделов высшей математики, но, к сожалению, не все они являются удобными и легкими в вычислениях. Методом проб и ошибок, мы пришли к выводу, что самым рациональным и точным является способ «Деление на пары через составление ребуса». В ходе исследования были проработаны все способы, а их практическое применение доказало все недостатки и преимущества каждого из методов. Была дана характеристика каждого способа по таким критериям, как точность вычислений, трудоёмкость, «требует знания формул», «для каких корней применим», «требует логики или дополнительных знаний», а также насколько способ удобен, математически красив и практичен. Каждому способу, по результатам изучения, была дана условная оценка. Самую высокую оценку получил «Деление на пары через составление ребуса» из-за удобства, точности, доступности. Самую низкую оценку мы поставили методу вещественного анализа элементарной функции: у = √х, так как он является очень долгим, при его использовании требуются дополнительные построения. В результате нашей исследовательской работы мы пришли к выводу, что извлечение квадратного корня без калькулятора является не только полезным занятием, но еще и очень увлекательным.

                                    Литература и сайты Интернета:

1. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса   учебных заведений.  – Москва, Просвещение, 1994г.
2. http://festival.1september.ru
3. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
4. http://www.life123.com/question/Square-Root-without-a-Calculator
5. http://www.megabotan.ru/pages/
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

                                        Приложение 1

  Результаты экспресс - опроса учащихся 8 «А» лицея №16

  (ноябрь 2016 г), в %

Всем участникам опроса был предложено два вопроса:

1. «Нужно ли Вам уметь извлекать квадратные корни из многозначных чисел без калькулятора? »

В опросе приняли участие 25 учеников. Из 25 участников экспресс – опроса «да» ответили 23 человека, «затрудняюсь ответить» сказали 2 человека.

2. « Какие способы  извлечения квадратного корня из многозначных чисел без калькулятора Вы знаете?»

В опросе приняли участие 25 учеников.

1. "С помощью таблицы на форзаце учебника алгебры 8 класс"-25 чел.

2. Разложение на простые множители - 15 чел.

3.Способ отбрасывания полного квадрата - 1 чел.

Вывод: Результаты показали, что ученики хорошо умеют пользоваться таблицей квадратов двузначных чисел, но не умеют извлекать корни из многозначных чисел больших 1002.

Тезисы к работе

«Способы извлечения квадратного корня из многозначных чисел»

(5 слайд)

Гипотеза исследования: Существует не менее двух-трёх способов  

 извлечения квадратных корней без калькулятора.

(6 слайд)

Цель работы: изучить способы вычисления арифметических корней и выбрать самый рациональный для практического применения.

(7 слайд)

Задачи:

1. Проанализировать путём соцопроса умение

учащихся извлекать квадратные корни без калькулятора;

2.Изучить математическую литературу по данной теме, используя  Интернет-ресурсы;

3. Изучить способы и  алгоритмы вычисления арифметического корня и рассмотреть примеры быстрого извлечения квадратного корня;

3. Классифицировать найденные способы извлечения корней по степени сложности, погрешности и практическому применению;

4. Познакомить одноклассников с самым рациональным способом извлечения корней и выпустить буклет-памятку по данному способу.

 (8 слайд)

Актуальность исследования:  В школьном курсе математики часто встречаются задания  с извлечением квадратного корня, в заданиях ОГЭ, в практических вычислениях и быту. Умения извлекать квадратные корни нужны при изучении   некоторых тем химии и физики .

(9 слайд)

Актуальные способы извлечения квадратных корней:

 Метод вещественного анализа элементарной функции: у=  , деление на пары через составление ребуса, разложения на простые множители, использования таблицы квадратов двузначных чисел, Метод Древнего Вавилона, Канадский метод, через решение уравнений, отбрасывание полного квадрата, графический метод.

(10 слайд)

Способ разложения на простые множители.

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. В ходе исследования мы пришли к выводу, что не всегда легко можно разложить число, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.

(11 слайд) Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Для этого потребуется :  Закрыть две последние цифры, найти число, которое меньше подкоренного.  Данный способ используется только для корней до100, имеет точность только до десятых. Поможет на экзамене ученику.

(12 слайд) Формула Древнего Вавилона.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b

И использовали формулу:  

Сложность этого способа состоит в том, что нужно знать полные квадраты больших чисел, уметь их быстро находить, а также много и правильно считать.

(13 слайд)  Канадский метод.

Данный метод был открыт в XX веке, молодым канадским ученым.

Формула:  

 Где: Х-число, из которого извлекается корень.

 S-число ближайшего точного квадрата.

Канадский метод требует сложные и долгие вычисления

(14  слайд) Через решение уравнения

На самом деле существует удобный способ нахождения квадратного корня

«вручную» через решение уравнения, ведь математика - наука с многовековой историей, а калькуляторы были не всегда. Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного - двух знаков после запятой, а, при желании, достичь и большей точности. Звучит невероятно, но попробуйте испытать этот способ при вычислении квадратного корня.

Такой способ интересный, но трудоёмкий. Больше применим к небольшим корням, где легко можно определить границы корня.

(15 слайд) Способ отбрасывание полного квадрата

Выделяем из числа квадрат, который оканчивается той же цифрой, что и данное число.  

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

Этот способ плох, так как применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, и имеет 2 алгоритма.

(16 слайд) Графический метод

Состоит в решении уравнения графически. Графический метод извлечения квадратных корней наш учитель математики предлагает использовать для маленьких чисел, когда под рукой нет таблицы квадратов. Он полностью основан на графическом решении уравнения b= х², полученном из √ b= х путём возведения в квадрат первого. С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник. Минусы графического метода: ограниченность пространством листа и из-за неточности в построении получение больших погрешностей.

(17 слайд) Метод вещественного анализа простейшей функции  у=. Полностью такой же, как и предыдущий, но только рассматривается другой график. Все плюсы и минусы этих методов очень схожи.

(18 слайд)  Деление на пары через составление ребуса. (Видео)

(19 слайд) Исходя из результатов исследования, мы составили таблицу, в которой подробно описали плюсы и минусы рассмотренных способов, а так же дали оценку.

(20 слайд) ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ходе нашего исследования, мы убедились, что актуальность темы мы выбрали правильную, ведь не только дети, но и взрослые не умеют вычислять квадратные корни без калькулятора, а это является важной составляющей в жизни людей.

Методом проб и ошибок, мы пришли к выводу, что самым рациональными и точным является способ:                 «Деление на пары через составление ребуса»

В результате нашей исследовательской работы мы познакомили своих одноклассников с самым рациональным, по нашему мнению, методом   «Деление на пары через составление ребуса» из-за удобства, точности, доступности, вручили памятку-буклет данного метода. Так  пришли к выводу, что извлечение квадратного корня без калькулятора является не только полезным занятием, но еще и очень увлекательным.