Основные методы решения уравнений в целых числах

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Новосибирска «Аэрокосмический лицей им. Ю. В. Кондратюка»

Международная конференция
«Решетнёвские чтения»

Исследовательская работа

по теме: «Основные методы решения уравнений в целых числах»

Ученика 9 «А» класса

Гребенникова Егора

Научный руководитель:

Шахов Д.Э.,

учитель математики

Новосибирск, 2014

Содержание

Введение……………………………………………………………………….3

Основная часть………………………………………………………………..5

Выводы………….. …………………………………………………………..12

Список литературы…………………………………………………………..13

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Л. Эйлеру. Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Обычно такие уравнения довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании С6 ЕГЭ по математике. В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной нами математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Таким образом, данное исследование является весьма актуальным. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах и выработать устойчивые навыки их использования. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Самостоятельно составить задачи на отмеченные методы и предложить их вниманию учащихся 9«А» класса;

5) Проанализировав полученные результаты, сделать выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах как отдельной темы.

Основная часть

Среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

1. Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
2. Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
3. Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
4. Использование Малой и Великой теорем Ферма;
5. Метод бесконечного спуска;
6. Выражение одной неизвестной через другую;

7) Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;

8) Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.

В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2009 году (задание С6).

Задача: Решить в натуральных числах уравнение

Решение: заметим, что  оканчивается нулём при . Далее,  при любых  оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при  левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта:                                      

1)

2)

3)

4)

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение ,

        В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

        Теперь приведём комплекс авторских задач.

Задача 1

Решить в целых числах уравнение .

Решение:

        Сначала перепишем исходное уравнение в виде  Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Для каждого из этих случаев имеем:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений. Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

Непосредственная проверка показывает, что  и  не являются решениями уравнения. Если , то  является чётным числом, то есть, оно представимо в виде  В таком случае уравнение можно преобразовать к виду . Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное. Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

        Исходное уравнение можно переписать следующим образом:

Из условия следует, что  – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Ключевая идея – выделение полных квадратов.

Задача 4

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

Исходное уравнение можно преобразовать к виду  Числа  являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

1)    Отсюда имеем

2)    Тогда

3)    В таком случае

4)    Значит,  

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения. Ключевая идея –представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

        Число  нечётно при всех неотрицательных значениях  согласно определению (при отрицательных  оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу , которое чётно при всех целых значениях . Противоречие. Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

        Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

        Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка  в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству   Согласно условию,  целое число. Иначе говоря,  тоже целое число. Но тогда число  обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3:  Следовательно, для неизвестной  возможны четыре случая:  Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной . Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения:  Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

        Если , то уравнение примет вид  Оно не имеет целых решений. Если , то левая часть уравнения, а значит, и , не будет являться целым числом. Значит, . Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае  при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

        Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему:  Тогда  – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах. Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

        Из условия задачи следует, что  чётное число. Тогда  Уравнение преобразуется к виду  Отсюда вытекает, что числа  имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть  нечётные числа. Тогда  Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай. Пусть  чётные числа. Тогда  Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение  и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения:  Но величины  и  не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа  бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что . Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение  Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10

Решить в целых числах уравнение .  

Решение:

        Перепишем данное уравнение в виде  Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной . Вычислим дискриминант этого уравнения:

        Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть  Отсюда имеем следующие возможности для :  

1)

2)

3)

4)

5)

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения:  Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

        Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся 9«А» класса были предложены авторские задачи с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

        Данные показатели говорят о том, что уровень подготовки учащихся 9 класса по данной теме очень низкий. Поэтому целесообразной представляется организация спецкурса «Уравнения в целых числах», который будет направлен на усовершенствование знаний учеников в данной области.

Выводы

В ходе данного исследования:

1) Проанализированы олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;

2) Обозначены методы решения уравнений в целых числах и выделены преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрированы примерами;

4) Самостоятельно составлены уравнения в целых числах;

5) Поставлен эксперимент по выявлению уровня подготовки по данной теме учащихся 9 класса;

6) Проанализированы результаты эксперимента и сделаны выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах на математическом спецкурсе.

Результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ по математике, а также при проведении занятий математического кружка.

Список литературы

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах –М.: Наука, 1983 – 64 с.

        2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ –М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл.      

4. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.

5. Гастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант, август 1972.

Глоссарий

Метод бесконечного спуска— метод, разработанный французским математиком П. Ферма, заключающийся в получении противоречия путём построения бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел . Разновидность метода доказательства от противного.

Точный (полный) квадрат — квадрат целого числа.

Факториал натурального числа  — произведение всех натуральных чисел от  до  включительно.