Очень непростые простые числа

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение                      «Гимназия №1636 «НИКА» г. Москвы»

Исследовательская работа

«Очень  непростые  простые числа»

Выполнила : Дерменжи Валерия,

обучающаяся 6 В класса

Руководитель:

учитель математики

 Кобзева Л.В.

2017

Содержание

Введение……………………………………………………………………..2

Глава 1

1.1.Таблица простых чисел.………………………………………………...2

1.2. Распределение простых чисел …………………………………………6

Глава 2

2.1.Свойства простых чисел…………………………………………………9

2.2. Данное число простое или составное?....................................................9

Заключение…………………………………………………………………..10

Источники ………………………………………. ………………………….11

«Все вопросы, зависящие от закона распределения простых

чисел в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . . ,

представляют вообще большие трудности. Те заключения,

которые можно сделать с очень большой вероятностью на

основании таблиц простых чисел, чаще всего остаются без

строгого доказательства»

 П. Л. Чебышёв.

                        Введение

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль.

 В 6 классе на уроках математики  мы изучали тему «Простые числа». Я узнала, что натуральные числа бывают простые и составные. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно ни составное, ни  простое.

Учитель математики объяснила нам принцип нахождения простых чисел, представила нашему вниманию таблицу простых чисел до 997, помещенную на форзаце учебника «Математика 6 класс», которой мы  пользовались в ходе выполнения примеров и задач.

1.1.Таблица простых чисел

Проблемный вопрос:  Действительно  ли простые числа такие уж простые? Предмет исследования:  простые числа.

Объект исследования: множество натуральных чисел.

Цель данной работы: изучение истории простых чисел и исследование некоторых свойств  простых чисел.

Для достижения этой цели  были поставлены следующие задачи:

1.Найти  и изучить материал по  данной теме.

2. Изучить исторические сведения о простых числах.

3. Рассмотреть  некоторые закономерности и свойства в ряду чисел.

4. Изучить метод «Решето Эратосфена» для нахождения простых чисел.

5. Сделать выводы.

6. Создать презентацию в программе POWER POINT.

Слово «простой» в толковом словаре русского языка С.И.Ожегова определяется как «однородный по составу, не составной; не сложный, не трудный, легко доступный пониманию, осуществлению».[4]

В энциклопедии «Викисловарь»: «Значения слова «простой» -

∙ доступный и не требующий много времени и усилий для понимания, решения, выполнения, описания, использования;

∙ ничем не выделяющийся среди прочих, обыкновенный, типичный, стандартный;

∙ недорогой, без дополнительных функций, опций, аксессуаров, дополнительных этапов при производстве, ингредиентов и специй».[интернет – источники,1]

Из источников я узнала, что метод нахождения простых чисел путем вычеркивания называется «Решетом Эратосфена».

 Чем больше я работала с источниками информации, тем больше возникало вопросов.

1)Как часто встречаются простые числа в ряду натуральных чисел?

2)Существует ли самое большое простое число?

3)Почему в таблице числа записаны разными цветами?

Почитав рекомендуемую учителем дополнительную литературу по этому вопросу, я поняла, что не такие уж они и простые эти простые числа.

   Наверное, немногие математические понятия настолько доступны далёкому от математики человеку, как понятие простые числа. Любому встретившемуся на улице можно за короткое время объяснить, что такое простые числа. Поняв, человек без труда напишет: 2,3,5,7,11,13,17 и т.д. Единица обычно не считается простым числом.

Как же распознать простые числа?

    Для отыскания простых чисел греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.).[интернет – источники, 2]

   Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.) в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

2, 3, 5, 7, 11, 13,….        

   Таким же способом  в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью компьютера. Наибольшее известное простое число (найдено GIMPS [Great Internet Mersenne PrimeSearch] в августе 2008 года) было 45-м числом Мерсенна – M43112609, которое состоит из 1209780189 десятичных цифр. Совсем недавно было обнаружено новое простое число Мерсенна (сентябрь 2008) M37156667. Самые большие известные простые числа-близнецы – это 2003663613*21950001. Они состоят из 58711 цифр, и были объявлены Вотье, Мак-Киббоном и Грибенко в 2007 году.[интернет- источники,3]

Самые большие известные числа-близнецы 1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651.

Нет пока ответа на вопрос о том, существует ли самая большая пара чисел-близнецов.

  Способ Эратосфена не смог удовлетворить ученых, и они пытались найти формулу простых чисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простых чисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задача оставалась без ответа. Первым приблизился к решению проблем простых чисел П.Л. Чебышев (4 мая) 1821— 26 ноября 1894). Пафнутий Львович Чебышев русский математик и механик. Именно П. Л. Чебышев получил замечательный результат о распределении простых чисел. За свои гениальные открытия в области теории простых чисел профессор Петербургского университета П.Л.Чебышев вошел в историю математики под именем «победителя простых чисел». В 1850г. он доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в 2 раза большего его, находится хотя бы одно простое число. 5… 7… 10 12…13,17,19,23…24 37…41,43,47,53,59,61,67,71,73…74 Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна.
 Наверно, из всех задач в теории чисел самая занимательная - это поиск простых чисел.

1.2. Распределение простых чисел

Мне стало интересно - как часто встречаются простые числа среди натуральных? Оказалось, что  из первых 10 чисел 4 являются простыми, таким образом,  их доля составляет 40%. В первой сотне их содержание падает до 25%, в 1000 – до 17% и оно продолжает падать с ростом величины чисел.

Существует правило, которое позволяет вывести формулу для нахождения количества простых чисел на различных интервалах.

Неудивительно, что это явление постепенного разрежения дает все более длительные интервалы, вовсе не содержащие простых чисел. Например, чтобы найти отрезок длиной в миллион, не содержащий ни одного простого числа, нужно лишь проплыть вниз по течению, как это однажды сделал Мартин Гарднер, до числа 1000001!  Можно  убедиться, что с этого числа начинается интервал, не содержащий ни одного простого числа.

2.1 Свойства простых чисел.

1.Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. получили образное название «близнецы». До сегодняшнего дня не решено конечные числа «близнецов»

2. Три числа, которые отличаются на 2, называются «тройняшками», 3, 5, 7.

3. 168 мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа. Из них 16 чисел –палиндромические – каждое равно обращённому. Например: 11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 и т.д.

4. Симметричные себе простые числа: 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941,

157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 -991, 337- 733, 347 – 743,

359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 -937, 769 – 967

5. Простые числа могут разместиться в магическом квадрате (Магические (волшебные) квадраты – квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям).

                                                                     и

6.Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы 2-х простых чисел.

Например: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=3+7, 12=5+7, 14=7+7, 16=11+5, 18=7+11, 20=3+17, 56=19+37, 924=311+613 и т.д. Но это утверждение не доказано. Такую задачу называют проблемой Варинга.

7. Любое нечетное число больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Например: 7=2+3+2, 9=2+5+2, 11=5+3+3, 13=5+5+3, 15=7+5+3, 17=5+5+7, 19=5+7+7, 21=3+7+11, 23=5+7+11, 25=17+3+5 и т.д.

Подойти к доказательству этого предложения сумел лишь 200 лет спустя русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).

Среди простых чисел встречаются так называемые "близнецы" или пары простых чисел, разница между которыми составляет двойку (например, 11 и 13). Именно эти пары чисел в таблице учебника выделены другим цветом.

"Близнецы" появляются с некой периодичностью, причем, чем больше числа, тем реже они встречаются (11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61). То же происходит и с обычными простыми числами. В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым.

         Еще Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много. Однако окончательного ответа на вопрос, конечно или бесконечно множество "близнецов", пока не существует.

          Двое ученых утверждали, что нашли ключ к доказательству одной из самых знаменитых математических гипотез. Согласно ей, существует бесконечно много пар простых чисел, разность между которыми равна двум - так называемых чисел-близнецов. Это утверждение является одним из следствий фундаментальной гипотезы Римана, имеющей непосредственное отношение к современной криптографии.

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Все пары простых чисел-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид .

Действительно это так.  Рассмотрим, например числа : 59 и 61. 59=6*10-1;   61=6*10+1.

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61),

  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

2.2   Данное число простое или составное?

Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.

Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.

Пример 1.

Доказать, что число 898 989 898 989 898 989 составное.

Решение. Сумма цифр данного числа равна 9·8+9·9=9·17. Так как число, равное 9·17 делится на 9, то по признаку делимости на 9 можно утверждать, что исходное число также делится на 9. Следовательно, оно составное. Но недостаток такого подхода в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа.

Пример 2.

Число 11 723 простое или составное?

Решение. Будем последовательно делить число 11 723 на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Если число 11 723 разделится нацело на одно из записанных простых чисел, то оно будет составным. Если же оно не делится ни на одно из записанных простых чисел, то исходное число простое.

Не будем описывать весь этот монотонный и однообразный процесс деления. Сразу скажем, что 11 723 не делится нацело на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, а на 19 – делится.  Следовательно, число 11 723 – составное, так как кроме 1 и самого себя имеет делитель 19.

Заключение

Может  в будущем удастся ответить на некоторые вопросы, потому что до сих пор:

1.Не найдена формула, которая дала бы возможность определять простое число.

 2. Неизвестно, каждое ли четное число является суммой двух простых чисел. 3. Неизвестно, бесконечно ли количество чисел – «близнецов», а возможно, есть последняя пара? Подводя итоги выше сказанному, хотелось бы отметить, что данная работа расширила кругозор и углубила знания в области истории простых чисел.

Исследования, проводимые выдающимися учеными математиками, начиная с древних времен, до наших дней, оказались очень интересными и познавательными. Можно сказать, что  все поставленные задачи  решены, и цель работы достигнута.

Можно сделать  следующие выводы:

1. Многие ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение простых чисел.
2. Простые числа не соответствуют значениям и определению слова «простой».  Они  сложны, многогранны, в них  много тайн и неизвестного.
3. Для простых чисел нет  формулы, с помощью которой их можно вычислить.
4. Не существует самого большого простого числа, последовательность простых чисел бесконечна.

Список использованной литературы

1. Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. — № 4.
   
2. Карпеченко Е. Тайны чисел .Математика / Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.
3. Крылов А.Н. Числа и меры. Математика / Прил. К газете "Первое сентября"№7. 1994
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика 6 класс. М.: 2014. -  304с.
5. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка 3-е изд., стереотипное-М; «АЗЪ», 1996г.
6. Росанова К. А., Воронцова Я. О., Гаврилова А. М., Шмелева О. В. Эти сложные простые числа! // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 40-41.
7. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.
8. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — С. 847.

Интернет - источники

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D1%82%D0%BE_%D0%AD%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%84%D0%B5%D0%BD%D0%B0
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%9C%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0