Теорема Пифагора - в учении и в жизни опора?!

Муниципальное нетиповое общеобразовательное учреждение

«Лицей№76»

Теорема Пифагора - в учении и в жизни опора?!

  Выполнила:

ученица 8«Б» класса

МНБОУ «Лицей №76»

Бухарова Арина

Руководитель:

                               учитель математики

Щиклина Татьяна Николаевна

Новокузнецк 2016

Содержание

Введение……………………………………………………………..…3

1.Из истории Теоремы Пифагора.………………………………….....4

2.Доказательства теоремы Пифагора ………………………………...5

3.Практическое применение теоремы Пифагора ……... ……….….10

3.1.Применение в школьном курсе математики….…..……….....…10

3.2.Решение старинных задач………………………………..…....…12

3.3.Применение в различных отраслях жизни………………….…...13

3.4. Применение теоремы в  повседневной жизни и быту……...…..14

Заключение……………….…………………………………………....15

Список использованной  литературы………………………….….….16

Приложение……………………………………………………...…….17

Введение

Актуальность. О Пифагоре я впервые я узнала в 2013 – 2014 учебном году, когда выполняла исследовательскую работу по теме «Как возникли счет и числа». Как четко Пифагор смог подчеркнуть актуальность этой темы: «Миром правят числа»; «Все вещи – суть числа». В дальнейшем, меня заинтересовали пифагоровы числа, поэтому в 2014-2015учебном году, темой своей исследовательской работы я выбрала «Пифагоровы числа».  В ходе исследования, я вновь встретилась с именем Пифагора и его теоремой. В дальнейшем я решила более подробно изучить теорему Пифагора и узнать ее значимость в школьной и практической жизни.

Итак, я задалась вопросами: Теорема Пифагора в учении и в жизни опора?  Поможет ли мне более пристальное рассмотрение теоремы Пифагора при сдаче обязательного государственного экзамена в 9 классе? Сколько существует способов доказательств, в каких отраслях и как можно применять теорему Пифагора? Как она появилась и кто еще стоит у истоков ее создания? На все эти вопросы я постараюсь ответить в своей работе.

Объект исследования: Теорема Пифагора.

Предмет исследования: История возникновения теоремы Пифагора, способы ее доказательств и практическая значимость.

Методы: анализ, синтез, классификация, обобщение.

Методики: Опрос в виде анкетирования, анализ интернет – ресурсов, исторической и математической литературы по теме исследования.

Материалы исследования: Интернет -  источники, ресурсы школьной библиотеки, результаты опроса  учеников 8 класса МНБОУ «Лицей № 76»

В ходе исследовательской работы был рассмотрен круг вопросов, касающихся теоремы Пифагора, ее доказательства и практического применения.

Цель: Пополнить, углубить  и обобщить  знания по способам доказательства теоремы Пифагора, выявить: кто стоял у истоков открытия теоремы, каково значение теоремы Пифагора в учении и в жизни.

Задачи:

1. Найти в различных источниках, проанализировать, систематизировать и обобщить найденную информацию о теореме Пифагора.
2. Рассмотреть наиболее интересные способы доказательства теоремы Пифагора.
3. Проанализировать сборники по подготовки к ОГЭ и найти задачи при решении, которых потребуется теорема Пифагора.  
4. Узнать, насколько важна теорема Пифагора в учении и практической жизни человека.
5. Провести опрос среди одноклассников в виде анкетирования для выявления знаний о теореме Пифагора.
6. Создать презентацию о теореме Пифагора, способах ее доказательств и  роли в современной жизни.

Гипотеза: Теорема Пифагора в учении и в жизни опора?

Из истории теоремы Пифагора

Пифагор Самосский – великий древнегреческий ученый – родился на острове Самос (в Ионическом море) в VIвеке до нашей эры. В молодости он побывал в Египте, где учился у жрецов, посетил халдейских мудрецов и персидских магов, познакомился с восточной математикой. В Древней Греции он основал первую научную школу, в которую,  как говорят, принимал в только тех юношей, которые промолчали в течение пяти лет.  Он считал, что при занятиях математикой нужна абсолютная тишина для того, чтобы можно было сосредоточить все внимание на решении задачи или доказательстве того или другого утверждения.

Во всех школьных учебниках геометрии  этой теореме приписывается имя древнегреческого математика Пифагора. Об открытии Пифагором этой теоремы до сих пор рассказывают легенды. В одной из них говорится о том, как охваченный великой радостью и восторгом, что ему пришла в голову столь гениальная мысль: Пифагор велел принести богам в знак благодарности 100 быков!!! Легенды легендами, а многие известные историки математики вообще сомневаются в самом факте открытия Пифагором теоремы о свойстве сторон прямоугольного треугольника. Изучая народное наследие народов Востока (Китая, Индии, Вавилона и Египта), ученые пришли к выводу, что еще за тысячу лет до Пифагора были известны частые случаи этой теоремы. Например, в Древнем Египте пользовались мерным шнуром, разделенным на 12 равных частей в отношении 3:4:5 для построения прямого угла на местности. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимым ко времени Хаммурапи, то есть к 2000году до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы равнобедренного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, а ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку. Также теорему Пифагора называют «теоремой невесты». Дело в том, что в «Началах» Евклида она именуется, как «теорема нимфы», просто её чертёж очень схож на пчёлку или бабочку, а греки их называли нимфами. Но когда арабы переводили эту теорему, то подумали, что нимфа – это невеста. Вот так и вышла «теорема невесты». Кроме этого, в Индии, её ещё называли «правилом верёвки». Теорема Пифагора является рекордсменом по количеству ее доказательств. Науке известны по одним данным- 367 способов ее доказательств, по другим, - более 500.

Доказательства теоремы Пифагора.

Итак, теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Встречается и такая формулировка теоремы Пифагора: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».  Докажем это утверждение.

Доказательство 1.

Математики древности для самого простого доказательства теоремы Пифагора рассматривали треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный

(см. рис.1):

Рис. 1

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС построим квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных данному треугольнику  АВС. А на катетах АВ и ВС построим  по квадрату, каждый из которых содержит по два таких же треугольника. Отсюда следует, что квадрат, построенный на гипотенузе, имеет такую же площадь, как сумма площадей треугольников, построенных на его катетах. Теорема доказана.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Например, «Пифагоровы штаны во все стороны равны»

Доказательство 2

Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари (этот метод близок к доказательству, данному в школьном учебнике).

Построим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.2). Затем построим два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b). В каждом из квадратов выполним построения, как на рисунках 2 и 3.

В первом квадрате построим  четыре таких же треугольника, как на рисунке 1.  В результате получаться два квадрата: один со стороной а, второй со стороной b.

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c.

Площади квадратов 1 и 2 равны (По условию).

S1=(a+b)2=a2+2ab+b2

S2=c2+4*=c2+2ab

a2+2ab+b2=c2+2ab, перенесем 2ab в левую сторону с противоположным знаком. Получаемa2+2ab+b2-2ab =c2, т.е. a2+b2=c2–Теорема доказана.

Рис. 2               Рис. 3                       Рис. 4

Доказательство 3

Это интересное древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Но я разберу это доказательство более подробно:

 Рис. 5

Внутри квадрата построено четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b).

Площадь квадрата со стороной с можно найти 2 способами. Первый способ, используя формулу S=c2. Второй способ, сложим площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: S=(a-b)2+4* . Затем приравняем эти формулы: c2=(a-b)2+4*. Раскроим скобки, выполним все необходимые алгебраические вычисления и получимc2=a2+b2. Теорема доказана.

Доказательство 4

Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

Построим  прямоугольный треугольник АВС. Необходимо доказать, что ВС2=АС2+АВ2.

Для этого продолжим катет АС и построим отрезок CD, который равен катету АВ. Опустим перпендикулярный отрезок ED к АD. Отрезки ED и АС равны. Соединим точки Е и В, а также Е и С и получим  чертеж, как на рисунке ниже:

 Рис. 6

Чтобы доказать терему, мы используем известные нам способы: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найдем площадь многоугольника ABED, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равнобедренным. При этом помним, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – эти данные позволят нам в дальнейшем  упростить запись. Итак, SABED=2*(AB*AC)+ ВС2.

Можно заметить, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: SABED=(DE+AB)*AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD.

Теперь приравниваем оба способа нахождения площади многоугольника: AB*AC+BC2=(DE+AB)*(AC+CD).Для упрощения правой части используем данное по условию равенство отрезков:

AB*AC+BC2= (АВ+АС)2. А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+BC2=АС2+2* (АВ*АС)+АВ2. Закончив все преобразования, получим: ВС2=АС2+АВ2. Мы доказали теорему.

Доказательство 5 .

После изучения темы «Подобные треугольники» я поняла, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора, основываясь на утверждении: « Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла».

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 7). Докажем, что АС² +СВ² = АВ².

 Рис. 7

Доказательство.

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * ( АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда

АС² + СВ² = АВ * АВ,

АС² + СВ² = АВ², теорема доказана.

Доказательство 6.

Доказать теорему Пифагора можно, применяя определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 8.

   Рис. 8

Доказательство:

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²

Аналогично,

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * ВD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:

АС² + ВС² = АВ (АD + DВ) = АВ²

Практическое применение теоремы Пифагора.

1.Применение теоремы Пифагора в школьном курсе математики.

Воспользуемся теоремой Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых известных нам фигур: 
 Рис. 9

1) Диагональ d квадрата со стороной a можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом a. Таким образом,

D2=2*a2

 d=√ 2*a2

Рис.10

2) Диагональ d прямоугольника со сторонами a и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Таким образом, мы имеем

D2=a2+b2

3) Как следовало бы поступить юному математику, чтобы надёжным образом получить прямой угол?

 Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиной в 3, 4 и 5 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков. 

Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией; она применима и к пространственным телам. Рассмотрим пример такой задачи:

 Рис. 11

 на рисунке 11 изображён куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, закрашенного на рисунке. Катетами треугольника служат:  ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина этой диагонали равна (√ 2*a). Отсюда имеем

D2=a2+ (√ 2*a)2 
d2=a2+2*a2=3*a2

d=√ 3*a

Следующие задачи взяты  из учебника алгебры и это показывают, что теорема Пифагора может применяться не только в геометрии, но и алгебре.

4) С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Решение:

По теореме Пифагора:

4x2+(0,75x*2)2=20002

4x2+(1,5x)2=20002                                                                                        
6,25x2=20002                                                                                                      Рис.12                                                                                                
2,5x=2000 
x=800 
0,75x=0,75*800=600.

Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.

5) Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 метр больше другого и на 1 метр меньше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника.

Решение:

    В                                                                         (х+1)=х2+(х-1)2

                                                                                х2+2х+1=х2+х2=2х+1

                                                                                х2+х2-х2-2х-2х=0

                    х+1                                                      х2-4х=0

х                                                                              х(х-4)=0

                                                                                 х1=0           х2=4

А                                   С                                         Ответ: 0 и 4.

              Х-1                  

 Рис. 13

Задачи, встречающихся на обязательном государственном экзамене в 9 классе.

Задача №1 ( Часть 2, модуль «Геометрия»)

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание BC  равно 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение.

           К                     B              С

                               М    

                                А                         D  Рис. 14

                                                  P

Пусть М – середина АВ. Продолжим биссектрису DM угла ADC до пересечения с продолжением основания ВС в точке М. Поскольку ∟СКD=∟АDК=∟СDК, треугольник КСD – равнобедренный, КС=СD=39. Тогда КВ= КС-ВС=39-12=27. Из равенства треугольников АМD и ВМК следует, что АD =ВК= 27.

Проведем через вершину М прямую, параллельную стороне АВ, до пересечения с основанием АD в точке Р. Треугольник СРD – прямоугольный, так как СD2=392=362+152=РС2+РD2.

Поэтому СР – высота трапеции. Следовательно,

SАВСВ=  (AD+BC)CP=702.

Ответ:702.

Задача№2. Две сосны растут в 21  метре одна от другой. Высота одной — 27м, другой -7м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.  

Решение: Рассматривая прямоугольный треугольник, найдем его гипотенузу. Ее длина и будет ответом на вопрос задачи.                                          

3.  Решение старинных задач

Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач.

1. Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г.

На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.

Решение.BC и CA- катеты прямоугольного треугольника CBA

BA2=BC2+CA2

BA2=32+42=9+16=25

BA=5

Длина тополя: 5+3=8 фут

Ответ: 8 фут.

Рис. 15

2. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого:

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстоятиимать».

Решение:

Пусть а=117, с=125, b=?

b2=c2-a2

b2=1252-1172=15625-13689=1936

b=44

Ответ: 44стопы.

Рис.16

3.Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».

Решение: По теореме Пифагора (x+1)2=x2+25; 2x=24, x=12 чи.; 12+1=13 чи. Ответ: глубина воды-12 чи, длина камыша-13 чи.

4.Применение теоремы Пифагора в различных отраслях жизни.

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

В строительстве: например,  рассмотрим схему окна в романском стиле:

 Рис. 17

Обозначим ширину окна как b, тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2. Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4. В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p).

Теорема Пифагора как раз и пригодится, чтобы вычислить р. Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p. Один катет представляет собой радиус b/4, другой b/2-p. Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p)2=(b/4)2+(b/2-p)2. Далее раскроем скобки и получим b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2. Преобразуем это выражение в bp/2=b2/4-bp. А затем разделим все члены на b, приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4. И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

В литературе: Например, в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного,  и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

5.Применение теоремы Пифагора в повседневной жизни и быту.

Для использования теоремы Пифагора в повседневной жизни и быту необходимо научиться  распознавать прямоугольные треугольники   в ситуациях, в которых два предмета (или линии) пересекаются под прямым углом, а третий предмет (или линия) соединяет (по диагонали) верхушки двух первых предметов (или линий): мы сможем использовать теорему Пифагора для  нахождения  неизвестной стороны (если две другие известны), вот примеры таких ситуаций:

Задача:  

1)Дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?

Решение: «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть нам  даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.

• a² + b² = c²
• (5)² + (20)² = c²
• 25 + 400 = c²
• 425 = c²
• с = √425
• с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров.

2)Длина стремянки в сложенном виде равна  м, а её высота в разложенном виде составляет  м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде.

Неизвестное расстояние находим, пользуясь теоремой Пифагора:  х = 2√1,852 – 1,482= 1,11

Заключение.

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает славный человек!

И ныне теорема Пифагора верна,

Как и в его далёкий век.

В ходе работы над темой я пополнила и углубила свои знания о теореме Пифагора, убедилась, что значение теоремы Пифагора состоит в том, что с ее помощью можно решить множество задач как на уроках математики, так и практической жизни. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. В начале своей работы я выдвинула гипотезу, что теорема Пифагора в учении и в жизни опора. В результате я смогла доказать, что данная гипотеза верна.

1. Теорема Пифагора является одним из главных помощником в школьном курсе математики, а то есть в учении.  Она позволяет находить длину отрезка, не измеряя его, она открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в пространство, вычислить стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам; построить прямые углы; найти  высоту и глубину объекта.  Этим определяется ее важность для геометрии и в целом для всех наук,  связанных с математикой.
2. Теорема Пифагора поможет качественно подготовиться к обязательному государственному экзамену, она встречается в 1 части модуль «Геометрия» 9-11 заданиях и во 2 части модуль «Геометрия» 24-26 заданиях.  
3. Теорема Пифагора активно применялась, применяется  и будет применяться во многих  жизненных сферах. Кроме перечисленных выше случаев, она используется в расчетах при строительстве любого сооружения, нахождении расстояний, определения центров тяжести, при размещении опор, балок и т. д.  Теорема Пифагора применяется практически во всех современных технологиях, она открывает простор для создания и придумывания новых технологий.

Список использованной литературы

1. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из неё / Д.В. Аносов.  – М.: МЦНМО, 2003.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геомерия 7-9 / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов.  – М.: Просвещение, 2012.
3. Детская энциклопедия. – М.: Издательство Академии Педагогических Наук РСФСР, 1959.
4. Фаермарк Д.С. Задача пришла с картины / Д.С Фаермарк.  – М.: Наука, 1974.
5. Ященко И.В., Семенов А.В.ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты/И.В. Ященко, А.В. Семенов. – М: Издательство «Национальное образование», 2015.
6. Ященко И. В., Шестаков С.А.ГИА 2014. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания/И.В. Ященко, С.А. Шестаков. – М: Издательство «Экзамен», 2014.
7. http:/ / www. Xreferat.ru
8. http: / / www.garshin.ru

XII региональная научно-исследовательская конференция учащихся

Секция математика

Приложение к работе

Теорема Пифагора – в учении и в жизни опора?

  Выполнила:

ученица 8«Б» класса

МНБОУ «Лицей №76»

Бухарова Арина

Руководитель:

                               учитель математики

Щиклина Татьяна Николаевна

                                        г. Новокузнецк, 2016 год

Приложение 1

Таблица 1. Теорема Пифагора и пифагоровы числа

                              Приложение 2                                                                

Путешествие в прошлое или способ построения прямоугольного треугольника у древних египтян

По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.

Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.

С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

Приложение 3.

Задачи из сборника по подготовки к обязательному государственному экзамену.

Задача 1.

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Задача 2.

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, ее боковые стороны равны 13. Найдите площадь трапеции.

Приложение 4.

Доказательство теоремы Пифагора

Это древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

                                             Рис. 17                   Рис.18 .

В данном доказательстве используется чертеж, который мы уже видели на рис.6 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.17 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.18). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Мы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a.

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c2=a2+b2.