Геометрические построения текстовых задач

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА  № 47

ГОРОДСКОГО ОКРУГА ТОЛЬЯТТИ

XII городская научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Возрастная категория: «Юный исследователь»

Секция: математика

Название работы:

«Текстовые задачи и их геометрические построения»

Автор работы:

Малышева Диана Даниловна

г.о. Тольятти, МБУ «Школа № 47, 7 «А» класс

Научный руководитель:

Дьячкова Светлана Николаевна

учитель математики высшей категории,  почетный работник общего образования РФ

Тольятти, 2016

Введение

Проблемный вопрос: Можно ли текстовую задачу  представить геометрически?

Актуальность исследования: Одна из отличительных особенностей человека от животного – наличие абстрактного мышления.

Например, цирковая собака считала, необходимо чтобы перед ней была либо картинка, либо услышала то, что ей подсказало сколько раз лаять. Даля этого нужно много репетировать.

Человек же может оперировать и тем, что не видит. Главное здесь является опыт. В своей предыдущей работе «Суммы и их геометрические построения» мы представили некоторые геометрические построения сумм действительных чисел. Сумму нескольких чисел можно научиться виртуозно, складывать с помощью алгебраического метода (метод К. Гаусса), а также и с помощью геометрического метода, в суммах n-первых слагаемых – по правилу четырехугольников, с помощью координатного луча для любых сумм. Но и можно как мы заметили для развития абстрактного мышления представлять суммы в виде точек (геометрических фигур).

В своей новой работе мы рассмотрим решения текстовых задач с помощью графических и геометрических построений. Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ученика, глубины усвоения им учебного материала. По этой причине, текстовые задачи обязательно присутствуют в текстах государственной итоговой аттестации, и являются, как правило, самыми сложными для учащихся. Традиционно текстовые задачи решаются арифметическим способом (по действиям) или алгебраическим (с помощью уравнений, неравенств и их систем). При решении заданий имеет значение не только правильность, но и скорость решения. В ходе работы мы попытались отыскать метод решения текстовых задач, который во многих случаях является рациональным, значительно упрощает решение, ведет к более быстрому получению ответа.

Цель: показать геометрические построения текстовых задач. 

Предмет исследования: текстовые задачи

Объект исследования:  геометрический способ решения задач текстовых задач

Гипотеза: решения текстовых задач можно представлять геометрическими построениям.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть различные способы решения текстовых задач, имеющиеся в известной литературе на примере одной текстовой задачи.
2. Проверить любую ли текстовую задачу можно перевести на геометрический язык.
3. Рассмотреть на конкретных примерах, применим ли геометрический метод для решения текстовых задач.
4. Провести обучающий урок для ребят нашего класса.

Основное содержание

Текстовые задачи и их геометрические построения

1. Рассмотреть различные способы решения текстовых задач, имеющиеся в известной литературе на примере одной текстовой задачи.

На сайте  http://lifehacker.ru  «Хотите быть умными и креативными? Тренируйте мозг!»  мы увидели следующую задачу :

Мэри 24 года. Сейчас ей вдвое больше лет, чем было Анне, когда Мэри было столько же лет, сколько Анне сейчас. Сколько сейчас лет Анне? Нам стало интересно, как решить данную задачу.

1-способ-арифметический

24/2=12 (лет)- было Анне,

24+12=36 (лет)- вдвое больше Анне, чем ей сейчас

36/2=18 (лет)

Анне 18 лет

2-способ-алгебраический

Пусть Анне - х лет, тогда разница в количестве лет 24-х, а когда Анне 12 лет, то Марии - х лет и разница будет х-12. А по условию задачи разница одинакова, так как мы говорится об одних и тех же людях.

Составим и решим уравнение:

24-х=х-12

24+12=х+х

36=2х

х=18

 Анне 18 лет.

3-способ-геометричекий. Сделано в программе Paint

Отметили 24, затем отрезок в два раза меньше 12, затем еще в два раза меньше 6 и тогда сложив два отрезка 12 и 6, получим 18 лет.

Видим, что геометрический метод более наглядный и быстрый.

Тогда возник вопрос любую ли задачу можно перевести на геометрический язык?

Ответ: Да, мы это увидели опытным путем

1. Возьмем всем известные задачу на движение.

На уроке математике наш учитель предложил решить следующую задачу  из сборника «Алгебра,7 класс» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.Б. Суворов под.ред С.А. Теляковского-М.: «Просвещение», 2014 г.

Группа туристов отправилась со станции на турбазу. Первые 2 часа они шли со скоростью 4,5 км/ч. Затем сделали привал на 1 час. На оставшуюся часть пути они затратили полчаса, проходя ее со скоростью 6 км/ч. Каков весь путь. Какова средняя скорость движения. Постройте график движения.

1-способ-арифметический

2*4,5=9 км- расстояние за 2 часа

0,5*6=3 км-расстояние за полчаса пути

9+3=12 км-весь путь

12/(2+0,5)=12/2,5=4,8 км/ч - средняя скорость

2-способ - алгебраический

V=

3 способ - геометрический

или

На втором графики виде пройденный путь, а на первом легко вычисляется скорость движения и затем и средняя скорость.

Разделим задачи на четыре вида:

Задача. За 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что, за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

1-способ-арифметический

9*2+11*2=40км путь

11-9=2 ч-разница

40/2=20км/ч

2-способ – алгебраический

(х+2)*9=(х-2)*11

-2х=-40

х=20км/ч

3-способ - геометрический

11-9=2 часа

40/2=20км/ч

2. Возьмем всем известные задачи на работу. Из учебника Математические олимпиады: теория и практика. Учебное пособие. И.Ж. Ибатуллина.  М: БИНОМ, 2013г.

Двое рабочих, выполняя некоторое задание вместе, могли бы справиться с ним за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то  все задание будет выполнено за 25 дней. За какой срок, работая в одиночку, второй рабочий сможет выполнить все задание?

2-способ – алгебраический

;  6(25-х+х)=х(25-х), х2-25х+150=0, х(х-15)-10(х-15)=0; (х-15)(х-10)=0;

х=15дней пол работы, 15*2=30 дней вся работа.

3-способ - геометрический

АС и BD – графики зависимости выполненного объема работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно.

Время совместной работы – 12 дней, на рисунке имеем: BF = AE = 12.

АМ – время, за которое каждый из рабочих выполнит всю работ (второй начинает работать сразу же после того, как первый заканчивает). Сказано, что рабочим необходимо 25 дней, чтобы выполнить по половине всей работы, тогда

АМ = 2 · 25 = 50 дней. Пусть ЕD = x, тогда

DM = 50 – 12 – x = 38 – x;

FC = BC – BF = (38 – x) – 12 = 26 – x.

Рассмотренные конкретные примеры говорят о том, что применим геометрический метод для решения текстовых задач.

Возьмем сюжетную задачу

В одной кассе кинотеатра продали на 36 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего продано 392 билета?

1-способ – арифметический

(392-36)/2=178 билетов, 178+36=214 билетов

2-способ – алгебраический

х+х+36=392

2х=356

х=178 билетов-в одной кассе,

178+36=214 билетов в другой кассе

3-способ – геометрический

Задачи государственной итоговой аттестации полностью задания прототипов 15 и 17 текстовые задачи с геометрическим содержанием приведу примеры из Банка данных ГИА.

№ 1. 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой — 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

 ( 31-6)2+602= 4225, расстояние 65. Теорема Пифагора.

№ 2. На карте показан путь Лены от дома до школы. Лена измерила длину каждого участка и подписала его. Используя рисунок, определите длину пути (в м), если масштаб 1 см : 10 000 см.

Умение читать график. 14*10000=140000см=1км400м=1400м

№ 3. Определите высоту дома, ширина фасада которого равна 8 м, высота от фундамента до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

 Треугольник на крыше дома равнобедренный. Значит высота и медиана одновременно, рассмотрим египетский треугольник Высота 3 м крыши, вся высота 3+4=7м.

№ 4. Лестница соединяет точки    и   , расстояние между которыми равно 25 м. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите высоту   (в метрах), на которую поднимается лестница.

Ступеньки имеют форму прямоугольного треугольника с катетами 14 и 48 см. Найдём гипотенузу каждого из них: 142+482=2500; 50см=0,5м

Так как расстояние от A до B равно 25 метрам можем найти количество ступеней: 25 : 0,5 = 50 шт.

 50 · 14 см = 700 см = 7 м.

№ 5. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры

Средняя линия равна полу сумме оснований трапеции: (1,8+2,8)/2=2,3м

Любую текстовую задачу можно наглядно представить через ее решение. Это может быть решение на числовом луче, координатной плоскости, построением геометрических фигур и описанием их свойств, а также построением графиков функций. Достоинство геометрического решения задачи – в его наглядности: на графике видна связь между величинами, входящими в условие задачи; чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий.И, наконец, традиционные решения алгебраическим или арифметическим способом зачастую являются громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат. Графический способ экономит время.

 4. Результаты ребят нашего класса.

Далее мы предложили ребятам решить следующие примеры сборника ГИА, различными способами.

3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
4. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут — мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое находятся на одном расстоянии от пункта В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
5. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
6. От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли. Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода.
7. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

Вот результаты.

В 7 «А» классе обучается 24 человека.

Вывод.

Гипотеза подтвердилась.  Любую текстовую задачу можно наглядно представить через ее решение. Это может быть решение на числовом луче, координатной плоскости, построением геометрических фигур и описанием их свойств, а также построением графиков функций. Достоинство геометрического решения задачи – в его наглядности: на графике видна связь между величинами, входящими в условие задачи; чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий. И, наконец, традиционные решения алгебраическим или арифметическим способом зачастую являются громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат. Графический способ экономит время.

 В дальнейшем перед собой ставлю задачу, рассмотреть геометрический метод решения задач через свойства геометрических фигур.

Список литературы.

1. Математические олимпиады: теория и практика. Учебное пособие. И.Ж. Ибатуллина.  М: БИНОМ, 2013г.
2. На уроке математике наш учитель предложил решить следующую задачу  из сборника «Алгебра,7 класс» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.Б. Суворов под.ред С.А. Теляковского-М.: «Просвещение», 2014 г.
3. http://lifehacker.ru  «Хотите быть умными и креативными? Тренируйте мозг!» 
4. http://sdamgia.ru. Решу ГИА.