Экономические задачи на оптимизацию и методы их решения

Министерство образования и науки РБ

Научно-практическая конференция «Обыкновенное чудо»

МАОУ  СОШ  №37

Экономические задачи на оптимизацию

и методы их решения

                                                                               Выполнил:

                                                                               Цыденжапов Даши,

                                                                               ученик 7  класса.

                                                                               Руководитель:

                                                                               Конева Галина Михайловна,

                                                                                  учитель математики,  

                                                                              «Отличник  просвещения РФ».                    

2016 г.

Рецензия

на работу ученика  7 класса Цыденжапова Даши   по теме

«Экономические задачи на оптимизацию и методы их решения»

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода  носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи. Экстремальные  задачи  с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности. Экстремальные задачи помогают  школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.  Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций. Неоценимую важность постановки экстремальных задач в школьном курсе математики я вижу также в воспитании исследовательской культуры учащихся. Ведь все решения таких задач предлагаются на уровне исследования математической модели и на уровне исследования реальной ситуации с использованием оптимизационных средств.

В данной работе ученик рассмотрел  такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики: с помощью линейной функции, с помощью методов перебора и логических  рассуждений, с помощью составления уравнения. Тема доклада раскрыта с достаточной полнотой с учетом базовых теоретических знаний по математике ученика 7 класса. Работа интересна по содержанию, методам исследования и заслуживает внимания.

Учитель высшей категории: Конева Г.М.

                                                           Оглавление

I. Введение

II. Экономические задачи и их различные способы решения

1.Задача №1

2.Задача №2

3.Задача №3

4.Задача №4

5.Задача №5

III. Заключение.

IV. Список литературы

1. Введение

 П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.  Итак, большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Это и определило актуальность выбора темы моего доклада.  Задачи подобного рода  носят общее название – экономические задачи на оптимизацию.

Актуальность темы -  эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. С помощью таких задач можно ответить на вопрос: как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.

Гипотеза исследования - общего способа решения экономических задач быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать эти задачи.

 Цели  исследовательской работы –

- изучить разнообразные способы и методы  решения экономических задач  

-исследовать вопросы применения этих задач в жизни человека

- повысить  уровень математической культуры, прививая себе  навыки  самостоятельной исследовательской работы в математике

-подготовка к итоговой аттестации ОГЭ и ГИА

Я изучил  и исследовал  такие экстремальные задачи, которые решаются с помощью исследования линейной функции, с помощью решения уравнения. Для решения таких экстремальных задач я применил   следующие методы:

 1. Метод опорной функции

2. Метод оценки

3. Метод перебора и логики

II. Экономические задачи на оптимизацию и различные способы их решения

1. Задача 1. В двух шахтах добывают  алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых  готов трудиться  5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает  1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.
         Обе шахты поставляют  добытый металл на завод, где для нужд  промышленности  производится сплав  алюминия и  никеля, в котором  на 2 кг алюминия  приходится 1 кг  никеля. При этом  шахты договариваются между собой вести добычу  металлов так, чтобы  завод мог произвести  наибольшее  количество  сплава. Сколько  килограммов  сплава  при  таких условиях ежедневно сможет  произвести завод?

Решение:

1 способ – с помощью составления опорной линейной функции

Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме «Линейная функция». Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линейной функции у = кх + в, где к и в – постоянные. Если эту функцию рассматривать на отрезке [; ], то она будет иметь на нём наибольшее и наименьшее значение. При к0 наименьшее значение у принимает в точке х = , а наибольшее – в точке х = , при к0 функция у в точке х =  принимает наибольшее значение, а в точке х =  - наименьшее. Решим задачу.

Пусть х рабочих в 1 шахте добывают алюминий ежедневно,  тогда (100-х) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (5х) кг, количество добытого никеля – 15(100-х) кг.

Пусть у рабочих во 2 шахте добывают алюминий ежедневно,  (300-у) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (15у) кг, количество добытого никеля – 5(300-у) кг.

Всего количество добытого алюминия: (5х+15у);

количество добытого никеля: 15(100-х)+ 5(300-у)=1500-15х+1500-5у=3000-15х-5у.

Функция сплава: F(x) = (5х+15у) + (3000-15х-5у); F(x) = -10х+10у + 3000;

Учтем условие, при котором производится сплав алюминия и никеля: 2 кг алюминия и 1 кг никеля. Тогда 5х+15у=2(3000-15х-5у). Отсюда у = -1,4х+600. Поставим это выражение в функцию сплава: F(x) = -10х+10(-1,4х+600) + 3000;

F(x) = -24х +5400. Эта линейная функция является убывающей. Наибольшее значение она принимает при х=0. Значит, F(100)=5400.

Ответ:5400

2 способ – с помощью  логических рассуждений и составления уравнения

Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то для наибольшей выгоды логично допустить, чтобы  все рабочие в этой шахте добывали  никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Рассуждаем дальше. Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля с учетом пропорции сплава. Пусть х рабочих 2 шахты добывают алюминий, тогда (300-х) рабочих добывают никель. Составим уравнение:

 5 ∙3∙ х =2∙(5∙ (300-х) + 1500);

15х = 6000-10х;

х = 240.

Найдем у: у=300-240=60.Значит, 240 рабочих должны добывать алюминий, 60 рабочих добывать  никель. Тогда алюминия будет добыто 240∙ 5∙3 = 3600 (кг), никеля 1500 + 60∙5=1800(кг). Всего 3600+1800=5400 (кг).

Ответ: 5400 кг

3 способ – методом  перебора

Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то пусть все рабочие добывают никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Что делать? Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля. Применим  метод перебора.

Допустим, что 10 рабочих 2 шахты добывают никель, а 290 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 290∙5∙3= 4350 (кг), а никеля – 1500 + 10∙5= 1550 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо увеличить количество рабочих, добывающих никель.

Допустим, что 20 рабочих 2 шахты добывают никель, а 280 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 280∙5∙3= 4200 (кг), а никеля – 1500 + 20∙5= 1600 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель.

Допустим, что 40 рабочих 2 шахты добывают никель, а 260 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 260∙5∙3= 3900 (кг), а никеля – 1500 + 40∙5= 1700 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель.

Допустим, что 60 рабочих 2 шахты добывают никель, а 240 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 240∙5∙3= 3600 (кг), а никеля – 1500 + 60∙5= 1800 (кг). Замечаем, что данные  удовлетворяют пропорции 1: 2, то есть на 1 часть никеля приходится 2 части алюминия:

1800: 3600. Итак, всего будет добыто 3600+1800=5400 (кг) алюминия и никеля. А количество изделий из сплава  тогда будет равно 1800 штук. Ответ: 5400 кг

Задача №2

Предприниматель  купил здание и собирается  открыть в нем  отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр  и  номера  «люкс»  площадью 49  квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099  квадратных метров. Предприниматель может поделить эту  площадь  между номерами  различных  типов  как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс»  4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет  заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение:

1 способ – с помощью логики и арифметических действий

1)Найдем стоимость 1номера стандартного: 2000:21=95 (рублей)

2)Найдем стоимость 1номера «люкс»: 4500: 49 =91 (рублей)

Вывод:    Так как стоимость 1 стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс».  Начнем перебор количества номеров «люкс» с наименьшей цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0. Тогда число 1099 не делится нацело на 21.  Далее. Допустим,  что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050;

1050: 21 = 50 (номеров стандартных). Значит, на площади 1050можно разместить 50 стандартных номеров. Тогда в сутки отель может заработать:

50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (руб).

Ответ: 104500 рублей.

2 способ – с помощью составления опорной линейной функции

Пусть  х – количество стандартных номеров, у- количество номеров «люкс». Они занимают площадь 21х+49у. Составим равенство: 21х+49у = 1099. Выразим из этого равенства у = .

Составим функцию заработанных денег: S(x,y)=2000∙x + 4500∙y. Далее подставим в эту функцию выражение для у. Получим S(x) =71 х + 4500∙22. По условию х и у –натуральные числа.  S(x,y) принимает наибольшее значение при наименьшем у и наибольшем значении х, то есть при х=50 и у=1. Значит,

S(50,1) = 2000∙50 + 4500∙ 1=104500. Ответ: 104500 рублей

Рассмотрим еще одну  из задач, решение которой сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения линейной функции одной переменной на некотором отрезке и показывает применение линейной функции в практике.

Задача 3 . Расстояние между двумя фермами  А и В по шоссейной дороге 60 км. На ферме  А надаивают 200 т молока в сутки, на ферме В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке молока, чтобы для его перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

  Решение: Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км.

1. Предположим, что завод построили на середине АВ, то есть завод будет находиться от пункта А на расстоянии  30 км. Найдем суммарное количество тонно-километров:

200т ∙30км + 100т ∙30 км= 9000т ∕ км

2. Предположим, что завод построили  на  расстоянии 20 км от пункта  А.  Найдем суммарное количество тонно-километров:

200т ∙20км + 100т ∙40 км= 8000т ∕ км

3. Предположим теперь, что завод построили  на  расстоянии 10 км от пункта  А.  Найдем суммарное количество тонно-километров:

200т ∙10км + 100т ∙50 км= 7000т ∕ км

Делаем предварительный вывод о том, что, чем ближе завод находиться к ферме А, тем меньше суммарное количество тонно-километров.  

Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода  С до фермы А через х: АС =х, ВС =60 – х. Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000,

 которая  определена на отрезке [0; 60].

  Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.  Исследуя функцию

у = 100х + 6000 на отрезке [0; 60], получим:   = 6000.

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при  х = 0,

 =6000 т/км.

Вывод: Завод надо строить возле фермы А.

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод по переработке молока, если бы:

а) на ферме  А надаивали  100 т, а на ферме  В – 200 т молока;

б) на ферме  А – 200 т, а на ферме  В – 190 т;

в) на ферме  А и на ферме  В – по 200 т молока;

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на отрезке [0; 60] минимум функции:

а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;

б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;

в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.

Из всего этого можно сделать такой вывод: если на ферме   А добывается молока больше, чем на ферме  В, то завод надо строить возле фермы  А; если же количество молока на  этих фермах  одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между фермами  А и В.

Рассмотрим задачу на исследование линейного неоднородного уравнения в целых числах и решим ее методом перебора.

Задача 4. На дачном участке нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Решение: Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное уравнение: 7х + 5у = 167, которое нужно решить в целых числах. Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:

 Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнению

7х + 5у = 167.

Если 2х – 2 =0, то х = 1, у =32.

Если 2х – 2 =5, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =10, то х =6, у = 25.

Если 2х – 2 =15, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =20, то х = 11, у = 18.

Если 2х – 2 =25, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =30, то х = 16, у = 11.

Если 2х – 2 =35, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =40, то х = 21, у = 4.

Если 2х – 2 =45, то х = 23,5 , то есть не является целым числом.

Если 2х – 2 =50, то х = 26 и 7 ∙26 = 182 >167.

Итак, получили пары решений: (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.

Вывод: Надо взять 21 трубу длиной по 7 метров и 4 трубы длиной по 5 метров.   

Задача 5. Известно, что 1кг апельсинов содержит 150мг витамина С, а 1кг яблок  -

75 мг витамина «С». Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина «С», не менее 0,25кг апельсинов и не менее 0,25кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 60р., а 1кг яблок– 40р.?

Занесем данные в таблицу:

Ограничения имеют вид: х ≥ 0,25; у ≥ 0,25; 150х + 75у = 75.   Целевая функция:               F (х, у) = 60х + 40у. Необходимо найти такие х и у, при которых целевая функция принимает минимальное значение. Построим область допустимых решений задачи:

Пусть 60х + 40у = 0; отсюда у = -6/4х

Построим график функции у = -6/4х и будем осуществлять параллельный перенос его вдоль оси ОУ вверх, т.е. это равносильно увеличению значений выражения 60х + 40у.

Чтобы целевая функция принимала минимальное значение, ее график должен пересечь отрезок М1М2  в точке М2. Она является точкой пересечения прямых у = 0,25 и

у = -2х +1. Отсюда,  у = 0,25,   х = 0,375. Далее находим: F (х, у) = 60∙0,375 + 40∙0, 25 = 16,25р.

Итог исследования: Чтобы дневной рацион содержал 75мг витамина С и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку необходимо ежедневно съедать 0,375кг апельсинов и 0,25кг яблок.

III. Заключение.

  В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

  Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.  Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение данных экстремальных задач способствовало углублению и обогащению моих математических знаний. Думаю, что эти выводы помогут мне в дальнейшей взрослой жизни, а также определят выбор будущей профессии.

IV. Список литературы

1. Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.
2. Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978
3. Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.
4. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М: АО “Столетие”, 1994
5. Под редакцией И.В.Ященко. Математика.30 вариантов экзаменационных работ       для подготовки к ЕГЭ-2016.