Государственное Автономное Профессионально Образовательное Учреждение Саратовской Области

«Энгельсский промышленно - экономический техникум»

(ГАПОУ СО «ЭПЭТ»)

Мировые константы

Выполнили студенты 2 курса

Мельников С.С.

Сакович Т.И.

Руководитель преподаватель математики

Каминская Е.А.

г. Энгельс
2016

Цели и задачи. Актуальность.

Цель: Узнать историю, интересные факты и тайны чисел пи и е, применение их в жизни человека.

Задачи: познакомиться с историей возникновения чисел пи и е, интересными фактами. Выявить закономерность между цифрами числа пи и е. Рассмотреть примеры применение этих чисел в жизни человека.

Актуальность : мир чисел бесконечен и интересен среди всего многообразия чисел наиболее популярны и известны пи и е. О числе Пи слагают стихи, сочиняют афоризмы, празднуют, сочиняют музыку , изображают на полотнах . Число е менее заметно , но от этого не  менее интересно .Мы заинтересовались как эти константы появились , кто их рассчитал и для чего они нужны. Мы изучили как самые древние способы, так и современные.

Личный вклад состоит в том, что данный материал можно использовать в школе на уроках геометрии, тематических занятиях кружков.

Оглавление

1. Вступление. Значениемировыхконстантвжизнилюдей        4

2.Оглавление

2.1  История появления мировых констант        7

2.2 Использование мировых констант в изучении школьного курса математика        9

2.3 Число π и сферическая симметрия пространства        12

2.4  Число е как отражение и эволюция живой природы во вселенной        15

2.5 Универсальный психофизический закон        22

2.6 Применение мировых констант в науке и технике        25

3. Заключение (уникальностьчисел)        29

Вывод        32

4. Списоклитературы        33

1. Вступление. Значение мировых констант в жизни людей

Мировая константа π применяется:1)в архитектуре, для точного построения арки 2) для изготовление деталей и т.д
Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Имея огромное применения в математике, остается не отмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера.
Ответ на него столь же прост, как и на вопрос о математическом его применении. Главным образом оно проявляет себя при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.
Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых.
Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала.
Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля.
Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы.
Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад.
При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в, то есть в 2,66 рубля.
При начислении сложных процентов каждые полгода (если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2 процента) рубль за 25 лет превратится в, или 2,69 рубля.
В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли.
Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производить пересчет миллион раз в год) за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму.
В действительности ничего подобного не произойдет.
Через 25 лет один рубль вырос бы до величины, где п — число начислений прибыли. При п, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода.
Этот предел и является числом е. Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается.
При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы.
Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 1970 году на его счету было бы уже (1,04)1970 рублей, то есть сумма вклада выражалась бы примерно тридцатипяти значным числом.
Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает.
Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция.

И хотя при расчетах в строительном конструировании инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются почти исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е. Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется — цепная линия . В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е и уравнение этой кривой имеет вид.

2.1  История появления мировых констант

Кто и когда впервые открыл число π, до сих пор остается загадкой. Известно, что строители древнего Вавилона уже вовсю пользовались им при проектировании. На клинописных табличках, которым тысячи лет, сохранились даже задачи, которые предлагали решить с помощью π. Правда, тогда считалось, что π равно трем. Об этом свидетельствует табличка, найденная в городе Сузы, в двухстах километрах от Вавилона, где число π указывалось как 3 1/8.
В процессе вычислений π вавилонцы обнаружили, что радиус окружности в качестве хорды входит в нее шесть раз, и поделили круг на 360 градусов. А заодно сделали то же самое с орбитой солнца. Таким образом, они решили считать, что в году 360 дней.

В Древнем Египте π было равно 3,16.
В древней Индии – 3,088.
В Италии на рубеже эпох считали, что π равно 3,125.
В Античности самое раннее упоминание π относится к знаменитой задаче о квадратуре круга, то есть о невозможности при помощи циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади определенной окружности. Архимед приравнивал π к дроби 22/7.
Ближе всего к точному значению π подошли в Китае. Его вычислил в V веке н. э. знаменитый китайский астроном Цзу Чунь Чжи. Вычислялось π довольно просто. Надо было дважды написать нечетные числа: 11 33 55, а потом, разделив их пополам, поместить первое в знаменатель дроби, а второе – в числитель: 355/113. Результат совпадает с современными вычислениями π вплоть до седьмого знака.

Саму же константу e впервые вычислил швейцарский математик Бернулли .Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы. Якоб Бернулли — швейцарский математик, профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Один из основателей теории вероятностей и математического анализа.

2.2 Использование мировых констант в изучении школьного курса математика

Число π,  в математике применяется для расчетов геометрических фигур с круглым основанием, так же для решения каких либо задач, с подставлением значений е и π. π это не только отношение длины окружности к ее диаметру, неевклидова геометрия не обходится без π. Эйлер вывел формулу, описывающую связь между π и e:

ei*π+ 1 = 0.

Формулы с числом π

Существует много формул для вычисления числа π.

Формула Валлиса:

2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * 8/7 * 8/9… = π/2

Она активно используется в теоретических расчетах, поскольку такое медленно сходящееся произведение непригодно для практического применения. С помощью формулы Валлиса получают тождество Стирлинга.

Ряд Лейбница:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9… = π/4

Это выражение используется в вычислениях математического анализа.

Другие вычисления с помощью рядов:

1/2∑1/16k(8/(8k+2) + 4/(8k+3) + 4/(8k+4) – 1/(8k+7)) = 1/4∑1/16k(8/(8k+1) + 8/(8k+2) +4/(8k+3) – 2/(8k+5) – 2/(8k+6) – 1/(8k+7)) = ∑(-1)k/4k(2/(4k+1) + 2/(4k+2) + 1/(4k+3)) = π, где суммирование ведется при значениях k от нуля до бесконечности.

π = 2√3∑(-1)k/(3k(2k+1))

Вычисления с помощью пределов:

π = lim(((m!)424m)/[(2m)!]2m)

π = lim (2n* √(2 - √(2 + √(2 + √(2…√2)))))

m и n стремятся к бесконечности.

n равно количеству корней в формуле.

Вычисления с помощью пределов являются основными расчетами в высшей математике.

Интеграл Пуассона:

√ π = ∫e-x2dx, где интеграл считается от -∞ до +∞.

Эта формула подходит для решения краевой задачи и уравнений с частными производными.

Интегральный синус:

∫(sinx/x)dx = π, где интеграл считается от -∞ до +∞.

Формула применяется для решения специальных тригонометрических уравнений в высшей математике.

Несобственный интеграл:

∫dx/((x+1)√x) = π, где интеграл считается от 0 до +∞.

Несобственные интегралы используются при расчетах площадей бесконечно длинных и бесконечно высоких криволинейных трапеций.

Возможности, которые дает математикам число π, безграничны. В перспективе это бесконечное число может содержать всю информацию, находящуюся во Вселенной. Изучение числа π продолжается учеными до сих пор.

2.3 Число π и сферическая симметрия пространства

Название числа π произошло от греческого περιφερεια – окружность. Последняя представляет собой множество точек, лежащих на периферии по отношению к центральной точке, а вернее – находящихся от нее на одинаковом расстоянии, называемом радиусом. В то же время сухая формула из математического анализа, позволяющая вычислить число π с любой точностью так определяет это число:

π =4(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …) ≈ 3,14159…

Здесь представлен знаменитый ряд Лейбница (есть и другие ряды). Однако уловить физический смысл π и связь его с окружностью по этой формуле довольно трудно. Между тем особая роль окружности в пространстве нашей Вселенной вытекает из одинаковости свойств пустого эвклидова пространства по любому направлению, то есть изотропности пространства. Это можно пояснить так: для наблюдателя в идеальном изотропном пространстве линия горизонта – окружность. А окружности с данными центром и радиусом составляют сферу. В теоретической физике именно с этим свойством связан закон сохранения вращательного момента. Отсюда же вытекают общеизвестные следствия.

Первое. Длина дуги окружности, в которой умещается ее радиус, составляет естественную дуговую и угловую единицу – радиан (рад). Эта единица безразмерная. Чтобы найти число радианов в дуге окружности, надо измерить ее длину и разделить на длину радиуса (допустим, в метрах, которые при делении сокращаются).

Величина вероятности попадания в круглую мишень (R – радиус) при прицеливании в центр (0) круга отложена вверх по оси z. Она может быть вычислена для любого отклонения (х) от центра с помощью

формулы Гаусса φ(x) =

Число π отражает равноправность случайных отклонений по всем направлениям в сферически симметричном пространстве.

Вдоль любой полной окружности ее радиус укладывается приблизительно 6,28 раза. Точнее, полная дуга содержит 2π радианов.

Такой безусловный результат получают все люди, в каких бы цивилизациях они ни жили, какими бы системами счисления ни пользовались, причем без обмена информацией. Колесо, в каком конце Земли его ни изобрели, везде одинаково. Однако условные единицы измерения дуги выбирались различные. Например, наш угловой и дуговой градус введен вавилонскими жрецами, подсчитавшими, что диск Солнца, находящегося почти в зените над Вавилоном, укладывается на своем пути от рассвета до заката 180 раз. Таким образом, под углом примерно в полградуса мы с вами видим радиус Солнца: 1 градус ≈ 0,0175 рад, и обратно: 1 рад ≈ 57,3°. Можно предположить, что гипотетические инопланетные цивилизации хорошо поняли бы друг друга, обменявшись первыми посланиями, в которых окружность была бы разделена на шесть частей «с хвостиком»; это означало бы, что «партнер по переговорам» уже, как минимум, прошел стадию изобретения колеса и знаком с числом π.

Второе. Предназначение тригонометрических функций – выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве. Из сказанного ясно, почему аргументы тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса) в принципе безразмерны, как и у других типов функций, то есть эти действительные числа – точки на числовой оси. Градус же на ней – доля единичного безразмерного отрезка, равного радиану, и потому он не имеет размерности.

Далеко не каждый сможет, не пользуясь калькулятором, правильно ответить на вопрос, чему равен cos 1 (это приблизительно 0,5), или на несколько более сложный – чему равен arctg (π/3). Последний пример особенно сбивает с толку. Часто говорят, что это бессмыслица: «Чему равна дуга, арктангенс которой равен 60°?» Если сформулировать вопрос именно так, то ошибка заключается в применении градусной меры к аргументу арктангенса. Правильный ответ получится, если аргумент выражать в радианах: arctg (3.14/3) ≈ arctg 1 = π/4 ≈ 3/4. Еще одно замечание. К сожалению, сплошь и рядом абитуриенты и студенты считают, что π = 180°. Приходится их поправлять: π = 3,14.... Но, конечно, можно сказать и так; π радианов равно 180°.

Нетривиальная ситуация встречается и в теории вероятностей. Она касается нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей и важной формулы вероятности случайной ошибки (или случайного отклонения), в которую входит число π. Откуда оно тут появилось? Как вероятность связана с окружностями? Наглядной иллюстрацией ответа на этот вопрос служит пример со стрельбой по мишени в неизменных условиях. Дырочки на мишени рассеяны по кругу (!), так как стрельба происходит в сферически симметричном пространстве, в котором равновероятны случайные отклонения по любым направлениям. Теперь понятно, почему вероятность попадания в круг с центром в центральной точке мишени и любым заданным радиусом вычисляется по формуле, содержащей число л.

2.4  Число е как отражение и эволюция живой природы во вселенной

Формула для вычисления другой мировой константы, е, выглядит так:

е= 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... ≈ 2.7183... (напоминаем, что факториалn! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...· n). Математически безупречное определение числа е с помощью этого ряда никак не проясняет его связи с физическими или иными природными явлениями. И если число π; отражает геометрические свойства пространства «пустой» Вселенной, то число е, являющееся основанием экспоненциальной функции (экспоненты), отражает еще и эволюцию живой природы во Вселенной, то есть законы развития и деятельности организмов на Земле. Но сначала – о роли экспоненты в эволюции неживой материи, которая касается таких явлений, как распад радиоактивных элементов, износ и разрушение материалов, волновые процессы... (В интерпретации изложенных ниже вопросов принял участие известный физик-теоретик доктор физико-математических наук В.Д. Эфрос.)

Обратимся к распространению электромагнитных волн в вакууме. Причем вакуум мы будем понимать как классическое пустое пространство, не касаясь сложнейшей природы физического вакуума.

Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков. Родился в Швейцарии. В 1727-41 гг. жил и работал в России, член Петербургской академии наук. В его честь по первой букве фамилии Euler названо число е – основание натуральных логарифмов.

Известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такая волна описывается экспоненциальной функцией еiβt= cosβt + isinβt , где β – частота гармонических колебаний. Амплитуда волны – это коэффициент перед экспонентой, он положен для простоты равным 1. Экспоненту с мнимым показателем степени связывает с тригонометрическими функциями одна из самых гениальных математических формул – формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (1707-1783) по первой букве его фамилии и названо число е.

Сначала Эйлер нашел формулу еiπ= –1. В ней впервые число возводилось в мнимую степень (!), что явилось, кстати, следствием соединения чисел π и е. Результат, казавшийся поначалу крайне непривычным, не имеющим отношения к реальности (почему числа и были названы мнимыми), оказался очень удобным для математического моделирования циклов движения по окружности, а следовательно, и для гармонических колебаний. Действительно, что будет, если колебательному движению маятника сообщить толчком второе колебательное движение в перпендикулярном направлении? Окончание маятника будет описывать окружности, если амплитуды обоих колебаний одинаковы. Но круговое движение станет возможным, только если второе колебание сдвинуто по фазе относительно первого колебания на полпериода, как сдвинута синусоида относительно косинусоиды. Ведь в момент наибольшего отклонения маятника по одной координате он имеет нулевое отклонение по перпендикулярной координате. И если на первой координатной оси отсчитывать действительные числа, то на второй координатной оси можно одновременно отсчитывать числа в том же масштабе, но это будет уже новое числовое множество. Оно-то и было названо множеством мнимых чисел, за единицу которых принята мнимая единица, обозначенная буквой i (imaginaire, франц. – мнимый, воображаемый).

Формулу Эйлера нужно пояснить, ибо в наше время из обычных школьных программ исключены комплексные числа. Комплексное число z = х + iy состоит из двух слагаемых – действительного и мнимого чисел. Последнее представляет собой действительное число у, умноженное на мнимую единицу i = √( – 1). Действительные числа откладывают вдоль действительной оси Ох, а мнимые – в том же масштабе вдоль мнимой оси Оу, единицей на которой служит i. Длина единичного отрезка есть модуль | i | = 1. Комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами (х, у). Физический смысл необычного вида числа е с показателем, содержащим только мнимые единицы i, означает движение точки по окружности цикл за циклом. Это равносильно колебаниям, описываемым сложением косинусоиды и синусоиды с постоянными и равными амплитудами, то есть незатухающим колебаниям.

Ясно, что в любой незатухающей волне соблюдаются законы сохранения энергии и импульса (количества движения), например, при прохождении звуковой волны в идеально упругой среде или электромагнитной волны в вакууме. Ситуацию можно строго сформулировать так. Если сместить начало отсчета по оси времени (момент наблюдения), то энергия волны не изменится, так как гармоническая волна сохранит ту же амплитуду и частоту (это энергетические единицы), изменится лишь фаза волны, то есть часть периода, отстоящая от нового начала отсчета (фаза не связана с энергией). Значит, параллельный перенос системы координат (он называется трансляцией) вдоль оси времени инвариантен для незатухающей волны в силу однородности времени t. Это и поясняет связь однородности времени с законом сохранения энергии.

Аналогично можно переносить систему вдоль оси пространственной координаты: для незатухающей волны не изменится ничего, кроме фазы. Сохранится и количество движения – импульс, который несет волна. Из теоретической физики известно, что однородность пространства приводит к закону сохранения импульса. Что такое импульс частицы? Это масса, умноженная на скорость. Представим себе, что пространство однородно по времени (и закон сохранения энергии выполняется), но неоднородно по какой-либо координате. Тогда в различных точках неоднородного пространства оказалась бы неоднородной и скорость, так как на единицу однородного времени приходились бы различные значения длины отрезков, пробегаемых за секунду частицей с данной массой (или волной с данным импульсом).

Итак, число е как основание функции комплексного переменного связано с законом сохранения энергии в замкнутой системе, который обусловлен однородностью времени, и с законом сохранения импульса, который обусловлен однородностью пространства.

И все-таки, почему именно число е, а не какое-то другое, вошло в формулу Эйлера и оказалось в основании волновой функции? Оставаясь в рамках школьных курсов математики и физики, ответить на этот вопрос непросто. Линейные и линеаризованные процессы сохраняют свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая является решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (ДУПК). Ядро такой функции – приведенная выше формула Эйлера, то есть функция комплексного переменного с основанием е, или уравнение волны.

Почему именно е, а не другое число находится в основании функции, которую ищут как решение данного уравнения волны в виде ДУПК? Да потому, что только функция еtне изменяется при любом числе дифференцирований и интегрирований. А это нужно, чтобы после подстановки в уравнение его решения оно превратилось в тождество. Действительно, в исходное ДУПК подставляют функцию еtи все ее производные. С математической точки зрения, постоянные коэффициенты при экспоненте «не мешают» при дифференцировании, оставаясь теми же, а все еtсокращаются, приводя к алгебраическому уравнению. Корни последнего входят как постоянные коэффициенты в экспоненту и приводят ДУПК к требуемому тождеству. С физической же точки зрения, коэффициенты в волновом уравнении (и ему подобных) в форме ДУПК постоянны, потому что постоянны законы протекания процессов в однородном времени – пространстве. Для наблюдателя, находящегося в системе отсчёта, сдвинутой по времени или по координате относительно исходной системы отсчета, физический процесс должен описываться уравнениями того же вида, что и исходные уравнения, если время и пространство однородны. Но вместе с тем (после сдвига наблюдателя) в исходных уравнениях появятся сдвиги аргументов по времени (t + t0) и координатам (х + х0) Будет ли начальное уравнение равносильно уравнению со сдвинутыми аргументами? Да, будет при условии постоянства коэффициентов при функции и ее производных, входящих в ДУПК, описывающее процесс. Ведь именно они, состоя при экспоненциальной функции, дают верное решение, превращая уравнение в тождество. Вот почему число е играет столь важную роль в гармонических волновых процессах, описываемых законами естествознания!

Коснемся случая затухающей волны. Решение ДУПК, описывающее распространение гармонической волны в среде, если в ней происходит рассеяние энергии, будет, естественно, несколько сложнее, чем для волны без затухания. В показателе степени экспоненты вместо мнимого числа iβ, отражающего чисто волновой процесс, появляется комплексное число α +iβ, где действительное число α отрицательно и отражает затухание волны:

f(t) = e (α +iβ)t = eαt (cos αt + i sin βt). Здесь формула Эйлера умножена на действительную переменную величину eαt, которая играет роль убывающей амплитуды волны.

А теперь положим β = 0, то есть уничтожим колебательный множитель. От колебаний останется только затухающая по экспоненте интенсивность – «бывшая амплитуда». Для иллюстрации обоих случаев представим себе маятник. В пустом пространстве он колеблется без затухания. В пространстве с сопротивляющейся средой колебания происходят с амплитудой, убывающей по экспоненте. Если отклонить маятник в достаточно вязкой среде, то он будет плавно, без колебаний двигаться к положению равновесия, все более замедляясь. То же произойдет с грузом, прикрепленным к стенке достаточно слабой пружиной в весьма вязкой среде. После отклонения груз будет плавно двигаться к положению равновесия.

а) Незатухающая гармоническая волна с амплитудой А, частотой β и фазой φ0, иллюстрирующая закон сохранения энергии, связанный с однородностью времени. Перенос системы координат вдоль оси t, не изменяющий энергетических характеристик волны (ее амплитуды и частоты), возможен в силу однородности времени. При переносе изменяется только фаза (не энергетическая характеристика). Закон сохранения импульса, связанный с однородностью пространства, иллюстрируется такой же волной, если в ней временную координату (t) заменить на пространственную (х).

б) Затухающая волна в среде, в которой энергия волны рассеивается. Амплитуда волны убывает по экспоненте. В очень вязкой среде колебания прекращаются, остается только плавно убывающая амплитуда α (< 0) –коэффициент затухания.

Рассмотренный предельный частный случай «волны» с нулевой частотой, но с плавно изменяющейся (убывающей или возрастающей) по экспоненте «амплитудой», характеризует множество процессов в самых различных сферах неживой и живой природы: рост снежного кома, моллюска, финансовой пирамиды, остывание чайника, убывание памяти со временем, увеличение числа бактерий в организме, физиологическая зависимость ощущения от силы раздражения и т.д. Всеми этими разнородными явлениями «управляет» экспонента, или, иначе говоря число е, стоящее в основании показательной функции. Ибо все эти процессы подчиняются одному и тому же фундаментальному принципу: прирост величины пропорционален самой величине.

2.5 Универсальный психофизический закон

Остановимся подробнее на универсальном психофизическом законе Вебера-Фехнера, чрезвычайно важном для всего живого на Земле. (Густав Теодор Фехнер (1801-1887), немецкий физик; Эрнст Генрих Вебер (1795-1878), немецкий физиолог.) Закон гласит: «Сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения». Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естественно, пока физиологические процессы не переходят резко в патологические, то есть пока рецепторы не подверглись видоизменению или разрушению). Из закона Вебера-Фехнера следует, что, во-первых, малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает почти линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения и, во-вторых, в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов.

Логарифмическая зависимость силы ощущения от силы раздражения (универсальный психофизический закон Вебера-Фехнера). За порог обнаружения сигнала принято давление звука р0, едва ощущаемое человеком. На пороге слышимости (р = р0) натуральный логарифм единицы

(ln 1) = 0.

Приведем такой пример. Чай с двумя кусками сахара воспринимается как в два раза более сладкий, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с десятью. Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться в ~ 1010, а ухом – даже в 1011 раз. Живая природа вынуждена была приспособиться к таким диапазонам. В процессе эволюции она защищалась, учась логарифмировать поступающие раздражители. Это делалось путем различных биологических способов демпфирования и диафрагмирования сигналов, иначе рецепторы сразу погибли бы.

Раковина моллюска растет по закону натуральной логарифмической спирали, который оптимален для организма. Она описывается уравнением r = аеφ. В основании степени стоит число е. Здесь r есть радиус-вектор? φ  - угол между ним и горизонтальным направлением вправо. Спираль пересекает радиусы-векторы под одним и тем же углом μ, почему и называется равноугольной. По аналогичной спирали расположены семечки в подсолнухе и чешуйки в шишках.

На законе Вебера-Фехнера основана широко применяемая логарифмическая шкала силы звука в децибелах (дБ), в соответствии с которой изготовляют регуляторы громкости аудио аппаратуры: в них смещение рычага пропорционально ощущаемой громкости, но не силе звука! Ощущение пропорционально lgp/p0. За порог слышимости принято давление звука р0 = 10-12 Дж/м2с. На пороге имеем lg1= 0. Увеличение силы (давления) звука в 10 раз соответствует примерно ощущению шепота, которое выше порога на 1 бел (Б) по логарифмической шкале. Усиление звука в миллион раз (от шепота до крика), до ~ 10-5 Дж/м2с, по логарифмической шкале есть увеличение на 6 порядков, то есть на 6 Б.

Барабанная перепонка легко переносит подобный перепад давления именно благодаря тому, что ощущение реагирует на него гораздо слабее, чем при прямой пропорциональной зависимости. Логарифмическая зависимость быстро ослабевает и потому менее опасна для рецепторов. Их разрушает лишь усиление звука в 10 млрд. раз.

Другой, не менее яркий пример. Шкала звездных величин определена так, что блеск звезды Е связан со звездной величиной m формулой

m = –2.5 lgE + const.

Эта формула – прямое следствие закона Вебера-Фехнера. Ощущение (звездная величина) пропорционально логарифму раздражения (в данном случае, лучевой энергии звезды). Поэтому разность в пять звездных величин соответствует различию в блеске звезды ровно в 100 раз. Экспоненциальный (по прямой функции) и логарифмический (по обратной функции) законы прироста величин оптимальны для развития многих организмов. Их действие можно наглядно проследить по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семечек в подсолнухе, чешуек в шишках.

2.6 Применение мировых констант в науке и технике

С применением числа π можно вычислить любую другую константу, например, постоянную тонкой структуры, постоянную золотой пропорции. Область использования π широка:

• Геометрия.
• Ядерная физика.
• Теория относительности.
• Физика космоса.
• Квантовая механика.

Ученые выяснили, что в расшифрованном ДНК человека число π определяет структуру макромолекулы. Это произвело фурор. Руководитель исследования, доктор Чарльз Кэнтор, отметил: «Это феноменально, число πвстречается повсюду, и при этом является неизменной величиной».

Число е , приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно loge 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Nekt. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I0e–kt, где k = R/L, I0 – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации. В статистике величина e–kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Setr/100.

Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log10 x равна (1/x)log10 e, тогда как производная от logex равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2x равна 2xloge 2, тогда как производная от eх равна просто ex. Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = logbx имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = bx имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются lnx. Иногда их также называют «не перовыми», что неверно, так как в действительности Дж.Непер (1550–1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 107log1/e(x/107)

Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

График функции y = chx называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i2 = –1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = p приводит к знаменитому соотношению eip + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел.

При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).

Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и p, – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным.

Число e играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):

• Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой),
• Формула Эйлера,
• Закон охлаждения тел,
• Колебания маятника в воздухе,
• Формула Циолковского для скорости ракеты,
• Рост клеток.

3. Заключение (уникальность чисел)

Пи - поистине уникальное число.
Ученые считают, что количество знаков в числе π бесконечно. Их последовательность не повторяется. Более того, найти повторения не удастся никому и никогда. Так как число бесконечно, оно может заключать в себе абсолютно все, даже симфонию Рахманинова, Ветхий Завет, ваш номер телефона и год, в котором наступит Апокалипсис.
π связано с теорией хаоса. К такому выводу пришли ученые после создания вычислительной программы Бэйли. Она показала, что последовательность чисел в π абсолютно случайна, что соответствует теории.
Вычислить число до конца практически невозможно – это заняло бы слишком много времени.
π – иррациональное число, то есть его значение нельзя выразить дробью.
π – трансцедентное число. Его нельзя получить, произведя какие-либо алгебраические действия над целыми числами.
Тридцать девять знаков после запятой в числе π достаточно для того, что вычислить длину окружности, опоясывающей известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью в радиус атома водорода.
Число π связано с понятием «золотого сечения». В процессе измерений Великой пирамиды в Гизе археологи выяснили, что ее высота относится к длине ее основания, так же как радиус окружности - к ее длине.
4 Рекорды, связанные с π
В 2010 году сотрудник компании «Yahoo» математик Николас Чже смог вычислить в числе π два квадрильона знаков после запятой (2x10). На это ушло 23 дня, и математику понадобилось множество помощников, которые работали на тысячах компьютеров, объединенных по технологии рассеянных вычислений. Метод позволил произвести расчеты с

Такой феноменальной скоростью. Чтобы вычислить то же самое на одном компьютере, потребовалось бы больше 500 лет.
Для того, чтобы просто записать все это на бумаге, потребуется бумажная лента больше двух миллиардов километров длиной. Если развернуть такую запись, ее конец выйдет за пределы Солнечной системы. Китаец Лю Чао установил рекорд по запоминанию последовательности цифр числа π. В течение 24 часов 4 минут Лю Чао назвал 67 890 знаков после запятой, не допустив ни одной ошибки.
5 Клуб π
У π много поклонников. Его воспроизводят на музыкальных инструментах, и оказывается, что «звучит» оно превосходно. Его запоминают и придумывают для этого различные приемы. Его ради забавы скачивают себе на компьютер и хвастаются друг перед другом, кто больше скачал. Ему ставят памятники. Например, такой памятник есть в Сиэтле. Он находится на ступенях перед зданием Музея искусств.
Пи используют в украшениях и в интерьере. Ему посвящают стихи, его ищут в святых книгах и на раскопках. Есть даже «Клуб π». В лучших традициях π, числу посвящен не один, а целых два дня в году! В первый раз День πпразднуют 14 марта. Поздравлять друг друга надо ровно в 1час, 59 минут, 26 секунд. Таким образом, дата и время соответствуют первым знакам числа - 3,1415926.
Во второй раз праздник π отмечают 22 июля. Этот день связывают с так называемым «приближенным π», который Архимед записывал дробью. Обычно в этот день π студенты, школьники и ученые устраивают забавные флэш-мобы и акции. Математики, забавляясь, с помощью π вычисляют законы падающего бутерброда и дарят друг другу шуточные награды.
И, между прочим, π в самом деле можно найти в святых книгах. Например, в Библии. И там число π равно… трем.

Число  ℮ , являющееся основанием экспоненциальной функции (экспоненты), отражает еще и эволюцию живой природы во Вселенной, то есть законы развития и деятельности организмов на Земле. Но сначала – о роли экспоненты в эволюции неживой материи, которая касается таких явлений, как распад радиоактивных элементов, износ и разрушение материалов, волновые процессы.

Вывод:

В ходе проделанной нами работы можно сказать, что константа е связанна с однородностью пространства и времени, а Пи – с изотропностью пространства. Тем самым они отражают законы сохранения: Е- энергии и импульса , Пи- вращательного момента . Глубинный смысл этих мировых констант остаётся спрятанным для школьников, студентов и , по-видимому , даже для большинства преподавателей математики и общей физики , не говоря уже о других областях естествознания и экономики.

4. Список литературы

1)https://7iskusstv.com/2009/Nomer1/Gorobec1.php

2)https://ru.m.wikipedia.org/wiki/E_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)
3)https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)

4)Число e— статья из энциклопедии «Кругосвет»

5)Горобец Б. С.Мировые константы в основных законах физики и физиологии // Наука и жизнь. — 2004. — № 2. (статья с примерами физического смысла констант)

6)https://sfztn.com/number-generator/chislo-pi-unikalnost-neobychnye-fakty-primenenie-chisla-pi

7)http://www.psciences.net/main/sciences/mathematics/articles/chislopi.html