В жизни мы встречаем так много очень красивых кривых линий, что порой невозможно оторвать от них глаз. Они так часто встречаем нами, что мы уже настолько привыкли к ним, что не замечаем их. Также все эти замечательные кривые можно построить в различных системах координат, которые мы и рассмотрим в данной работе.
Вложение | Размер |
---|---|
nauchno_prakt_rabota.docx | 553.52 КБ |
"Особенности основных систем
координат, применяемых
в аналитической геометрии
на плоскости"
Тип проекта: информационный
Автор:
Метлицкая Лидия
9 «А» класс
Научный руководитель:
Марчик Светлана Артуровна
учитель математики
г.Саяногорск 2016-2017 уч.г.
Содержание
1. Теоретические основы построения объектов в основных системах координат на плоскости
1.1 Понятия и виды систем координат на плоскости
1.2 Декартова система координат
1.3 Полярная система координат
2. Анализ особенностей основных систем координат на плоскости
2.1 Организация и методы анализа особенностей основных систем координат на плоскости
2.2 Построение различных линий в основных системах координат
2.3 Некоторые замечательные кривые
3. Применение основных систем координат в жизни человека
3.1 Применение декартовой системы координат в жизни человека
3.2 Применение полярной системы координат в жизни человека
В жизни мы встречаем так много очень красивых кривых линий, что порой невозможно оторвать от них глаз. Они так часто встречаем нами, что мы уже настолько привыкли к ним, что не замечаем их. Также все эти замечательные кривые можно построить в различных системах координат, которые мы и рассмотрим в данной работе. В этом и заключается актуальность данной темы.
Цель: охарактеризовать особенности основных систем координат, применяемых в аналитической геометрии на плоскости.
Гипотеза: Если рассмотреть особенности построения в основных системах координат, то можно выявить определенные закономерности построения красивых кривых линий.
Нами были выдвинуты задачи исследования:
Теоретическая значимость: в работе представлена теоретическое обоснование построения зависимостей замечательных кривых на плоскости в основных системах координат.
Практическая значимость: в работе представлена практическое применение построения линий в основных системах координат на плоскости в форме плана дома и график использования электроэнергии.
1. Теоретические основы построения объектов в основных системах координат на плоскости
Аналитическая геометрия – область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами. Основным понятием в аналитической геометрии является понятие системы координат [6, с. 34].
Прежде чем вводить определение системы координат, необходимо рассмотреть понятия «координаты точки» и «система».
Координаты точки – это величины, которые определяют положение этой точки (в пространстве, на плоскости или на кривой поверхности, на прямой или кривой линии) [1, с. 18].
В словаре С. И. Ожегова дано много определений слова «система». Наиболее подходящим, является следующее: «Система – это нечто целое, представляющее собой закономерно расположенных и находящихся во взаимной связи частей» [4, с. 719].
Система координат – это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов [8].
Классифицировать различные системы координат можно по разным признакам. Однако, в самом общем виде, все системы координат условно можно разделить на две группы:
К прямолинейным системам координат относятся системы, в которых координатными линиями являются прямые. Примером таких систем могут служить декартовы прямоугольные координаты.
Если в системах координат координатные линии не прямые, а кривые, то они относятся к криволинейным. Примером таких систем координат могут служить полярные системы координат сферы и эллипсоида [5, с. 51 – 52].
Классификация систем координат приведена на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – Классификация систем координат
Аффинная система координат (косоугольная система координат) – прямолинейная система координат в аффинном пространстве. В n-мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа xi, что (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 – Афинная система координат
Биангулярные координаты – система координат на плоскости с двумя фиксированными точками С1 и С2, в которой положение точки Р, лежащей не на прямой С1С2, задаётся двумя углами: РС1С2 и РС2С1 (рисунок 1.3).
Рисунок 1.3 – Биангулярная система координат
Параболические координаты – криволинейная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами (рисунок 1.4).
Рисунок 1.4 – Параболическая система координат
Биполярные координаты – криволинейная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония (рисунок 1.5).
Рисунок 1.5 – Биполярная система координат
Далее необходимо рассмотреть две основные системы координат: прямоугольную (декартову) и полярную.
Еще в XVII в. французским математиком Р. Декартом был разработан метод координат, являющийся аппаратом аналитической геометрии, поэтому она и называется декартова [6, с. 34].
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами. Простейший способ таков.
Проводятся две взаимно перпендикулярные прямые Х’Х и Y’Y (рисунок 1.6). Они называются осями координат.
Рисунок 1.6 – Прямоугольная система координат
Одна из этих прямых Х’Х (обычно ее проводят горизонтально) называется осью абсцисс, другая Y’Y – осью ординат. Точка О их пересечение называется началом координат. Для измерения отрезков на осях координат выбирается некоторая единица масштаба, произвольная, но одна и та же для обеих осей.
На каждой оси выбирается положительное направление, которое обозначается стрелкой. На рисунке 1.2 луч ОХ дает положительное направление на оси абсцисс, а луч ОY на оси ординат.
Принято выбирать положительные направления так, чтобы положительный луч ОХ после поворота на 90о против часовой стрелки совмещался с положительным лучом ОY.
Оси координат Х’Х и Y’Y с установленными положительными направлениями и выбранным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат [1, с. 18 – 19].
Возьмем на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведем луч ОХ (полярная ось). примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:
1) положительным числом ρ, выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус);
2) числом φ, выражающим величину угла ХОМ (полярный угол).
Числа φ и ρ называются полярными координатами точки М (рисунок 1.7) [1, с. 108].
Рисунок 1.7 – Полярная система координат
Таким образом, существует много различных систем координат, но основными являются две: декартова и полярная системы координат.
В следующей главе будет проведен анализ особенностей основных систем координат на плоскости.
2. Анализ особенностей основных систем координат на плоскости
Приступая к работе было выявлено, что существуют различные линии на плоскости, построение которых в декартовой системе координат выполнить сложно. Поэтому можно выдвинуть предположение, что существуют другие системы координат, в которых построение данных линий упрощаются.
Работа состояла из двух этапов:
С целью исследования различных кривых были применины аналитические и графические методы. Также рассмотрен перевод аналитических выражений из одной системы координат в другую.
Положение точки М на плоскости в прямоугольной системе координат определяется следующем образом. Проводим от точки М перпендикуляр к оси Х (точка х1) и к оси Y (точка у1) (рисунок 2.1). Числа х1 и у1, измеряющие отрезки от осей до точки М в избранном масштабе, называются прямоугольными координатами или просто координатами точки М, Эти числа берем положительными или отрицательными в зависимости от расположения точки М на плоскости. Число х1 называется абсциссой точки М, число у1 – ее ординатой.
Рисунок 2.1– Прямоугольная система координат
На рисунке 2.1 тоска М имеет абсциссу х1 = 2, и ординату у1 = 3. Это записывается так: М(2;3). Вообще запись М(а;b) означает, что точка М имеет абсциссу х1 = а и ординату у1 = b [1, с. 19].
Для того, чтобы построить прямую линию в декартовой системе координат, нужно отметить две точки и соединить их прямой линией (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 – Графики функций в прямоугольной системе координат
Для того, чтобы построить график функции у = f(х), составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией (рисунок 2.2). При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции [3, с. 67].
В полярной системе координат каждой паре значений ρ и φ отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное значение полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Если же точка М совпадает с полюсом, то значение полярного угла остается совершенно произвольным.
Условлено выделять только одно из значений полярного угла, например брать φ в пределах:
Такое значение полярного угла называют главным.
Например, точке N (рисунок 2.3) соответствуют полярные координаты ρ = 3, ; главное значение полярного угла есть .
Рисунок 2.3 – Полярная система координат
Точке L соответствуют полярные координаты ρ = 2, ; главное значение полярного угла есть π [1, с. 109].
Точка М имеет полярные координаты ρ = 5, ; главное значение полярного угла есть .
Существует связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. При этом можно предположить, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная ось абсцисс совпадает с полярной осью. Как было показано выше, точка М имеет прямоугольные координаты х и у, и полярные координаты ρ и φ, тогда
х = ρ соs φ, у = ρ sin φ.
В этих формулах прямоугольные координаты выражают через полярные. Полярные координаты можно выразить через прямоугольные следующим образом:
.
Можно видеть, что формула определяет два значения полярного угла φ, т. к. φ изменяется от 0 до 2π. Из этих двух значений угла φ выбирают то, при котором удовлетворяются равенства, выражающие прямоугольные координаты через полярные [6, с. 38].
Существует множество замечательных кривых, трем из них будет дана характеристика в данной работе.
Строфоида – это алгебраическая кривая 3-го порядка, площадь которой ограниченна петлей (Рисунок 2.4).
Рисунок 2.3 – Строфоида
Параметрическое уравнение строфоиды:
.
Следующей замечательной кривой будет лемниската Бернулли. Лемниската Бернулли – это плоская алгебраическая кривая, показанная на рисунке 2.4.
Рисунок 2.4 – Лемниската Бернулли
Параметрическое уравнение лемнискаты Бернулли:
.
Эвольвента или развертка круга – это траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения (Рисунок 2.5).
Рисунок 2.5 – Эвольвента круга
Параметрические уравнения эвольвенты круга:
.
Также к замечательным кривым относятся: циклоида, эпициклоида и гипоциклоида.
3. Применение основных систем координат в жизни человека
Системы координат используются во многих областях науки, например, в математике координаты являются совокупностью чисел, которые сопоставлены точкам в некоторой карте заранее определенного атласа. В геометрии координаты – это величины, которые определяют расположение точки в пространстве и на плоскости. В географии координаты обозначают широту, долготу и высоту над общим уровнем моря, океана или другой заранее известной величины. В астрономии координаты являются величинами, которые дают возможность определить положение звезды, например, склонение и прямое восхождение [8].
Основное применение декартовой системы координат – в математике. Одна из важнейших сфер, где математика демонстрирует себя во всей своей силе, – это описание законов, решение задач. Применяя чертежи от самых простых до самых сложных, нельзя обойтись без декартовой системы координат.
В информатике Рисунки, схемы, чертежи, графики – графические формы представления информации. Метод кодирования – это один из удобных способов представления числовой информации с помощью графиков.
В медицине с помощью графиков выполняется: проведение медицинских исследований в области хирургии; флюорография; разнообразные снимки органов; кардиология – кардиограммы.
В экономике прямоугольная системы координат применяется для построения графика спроса и предложения. При графическом изображении разнообразных зависимых величин.
В физике координатная система нужна, чтобы определить взаимное расположение – координацию – тел в пространстве. Примером системы отсчета, естественной для городского человека, тут служит искусственное образование – сам город. Город – это одно большое тело, внутри и относительно которого можно определить место любого малого тела, установив его, так сказать, внутренний «адрес».
В химии – периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева построена по принципу декартовой прямоугольной системы координат, т. к. изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости.
Также прямоугольная система координат используется в инженерной графике для моделирования эскизов промышленных машин, оборудования, объектов на местности [7].
Я начертила планы первого и цокольного этажей нашего дома в декартовой системе координат в программе Microsoft Visio Drawing 2003 (Приложение А). Первый этаж состоит из трех комнат, кухни и коридора, а на цокольном этаже находятся туалет, ванная комната, котельная и две кладовые.
Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы – такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра – гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.
В биологии полярные координаты применяются при построении схем молекул ДНК.
Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу.
Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны .
Мы взяли данные расхода электроэнергии нашего дома за 12 месяцев 2015 года, по этим данным мы построили график изменения в полярной системе координат в программе Microsoft Excel 2003 (Приложение Б). По графику видно, что расход электроэнергии в нашем доме зимой больше чем летом почти в три раза, это связано с тем, что отопление в нашем доме электрическое.
Ниже представлены основные выводы по данной работе, соответствующие поставленным задачам.
В первой задаче необходимо было рассмотреть теоретические основы построения объектов в основных системах координат на плоскости. Система координат – это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов. Существуют два основных вида систем координат: прямолинейные и криволинейные. Декартова система координат относится к прямолинейным, а полярная – к криволинейным. В этих системах координат положение точек на плоскости определяется двумя координатами (в декартовой – х и у, в полярной – ρ и φ).
Второй задачей было провести анализ особенностей основных систем координат на плоскости. Для решения данной задачи были рассмотрены организация и методы анализа особенностей основных систем координат на плоскости, выполнено построение различных линий в основных системах координат и построены некоторые замечательные кривые.
Третьей задачей необходимо было выявить применение основных систем координат в жизни человека. Декартова система координат применяется в математике, в геометрии, а географии, в астрономии, в информатике, в медицине, в экономике, в физике, в химии, в инженерной графике. Полярная система координат – в физике, в биологии, в навигации. Также был начерчен план первого и цокольного этажей нашего дома в декартовой системе координат и график использования электроэнергии нашего дома в полярной системе координат.
Таким образом, с помощью решения поставленных задач была достигнута цель исследования, то есть, охарактеризованы особенности основных систем координат, применяемых в аналитической геометрии на плоскости.
План дома (1 этаж)
План дома (цокольный этаж)
Марши для детей в классической музыке
Как нарисовать зайчика
А теперь — мультфильм
Огонь фламенко
Самый главный и трудный вопрос