Творческая работа"Математика без формул"

Содержание.

Введение………………………………………………………………………….2        

Глава 1                                                                                                 
     1.1.Математика без формул. Что остается?....................................................3

      1.2.Решение логических задач ……………………………………………….5

      1.2.1Метод рассуждения……………………………………………………...5

      1.2.2.Метод таблиц……………………………………………………………6

      1.2.3.Метод графов……………………………………………………………7        

      1.2.4.Круги Эйлера……………………………………………………………7          

      1.2.5.Метод блок-схем………………………………………………………...8    

 Глава 2                                                                                                                          

      2.1Железная логика или абсурд? Что выберем?.............................................9                                                      

      2.2.Софизмы………………………………………………………………….10                                                                            

      2.2.1.Способы нахождения ошибок в софизмах…………………………...11          

      2.2.2.Парадокс………………………………………………………………..12        

      2.2.3.Математический юмор………………………………………………...13        

      2.2.4.Общие выводы…………………………………………………………14       Заключение……………………………………………………………………….15

Литература……………………………………………………………………….15      

Введение

«В математических работах… главное - содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык – это формулы».

С. Ковалевская.

Математика – это особый мир, в котором ведущую роль играют формулы, символы и геометрические объекты. В настоящем проекте мы решили представить, что произойдет, если из математики убрать формулы, уравнения и неравенства.

Актуальность данного исследования состоит в том, что  с каждым годом ученики все более теряют интерес к математике. Не любят математику, прежде всего из-за формул. Передо мной стоит нелегкая задача – не только показать красоту математики, но и преодолеть в сознании обучающихся возникающие представления о «сухости», формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики.

Цель работы: доказать, что математика останется полноценной наукой, при этом интересной и многогранной, если из нее убрать формулы, уравнения и неравенства.

Гипотеза: хотя большинство считает, что математика – это только формулы, уравнения и неравенства, мы решили предположить, что: «Математика не исчерпывается только формулами, уравнениями, неравенствами».

Задачи работы:

* Показать, что останется в математике без формул, уравнений и неравенств.

* Показать, как решаются логические задачи.

* Познакомится с основными способами решения логических задач

* Сформулировать выводы и рекомендации.

ГЛАВА 1. Математика без формул. Что остается?

Дальнейшее исследование опирается на еще один социальный опрос среди учащихся. Всем был задан вопрос: «Что станет с математикой, если из нее убрать формулы, уравнения и неравенства?» Диаграмма представлена ниже.

Исходя из данных диаграммы можно сказать, что большинство проголосовавших не имеет представления о том, что математика, потеряв из списка своих достоинств всего лишь формулы, уравнения и неравенства, останется весьма интересной и многогранной наукой. Хотя формулы в математике были придуманы, как это ни странно, чтобы облегчить занятия этой самой математикой. Школьники не могут в это поверить до сих пор.

Более чем сотне участников разных возрастных категорий был задан ещё вопрос: «Нравится ли Вам математика?» Из результатов, приведенных в данной выше диаграмме, следует, что менее половины участников ответили, что математика им нравится. Большая же половина дала отрицательный ответ. В основном математика не популярна за счет формул и объема изучаемого материала, уже из этих факторов выливается еще один популярный ответ: «не пригодится в жизни». А ведь математика весьма важна. Мы решили посмотреть, что же будет, если из математики убрать те ненавистные формулы, которые отнимают у данной науки аудиторию? Станет ли математика интереснее?

Решение логических задач

Так как мы коснулись темы логики,  то сразу возникает вопрос: «К чему применима

логика в математике и каковы её задачи?»

Математика была очень популярна еще до появления в ней различного рода формул, и многие интеллектуалы любили головоломки. При этом решение головоломок есть развитие логического мышления. Мы сталкиваемся с различного рода головоломками с самого детства: самый простой тому пример – загадки и шарады, которые родители задают детям, которые в свою очередь всегда рады решать такие задачки.

В «Кентерберийских рассказах» Джефри Чосера содержится огромное количество головоломок, которые многие дети начинают решать уже в школе на уроках информатики (в Российских учебных заведениях). Такие задачи известны в кругах учеников как             « Переливашка», «Пэйнт», «Лого». Также в произведении Чосера содержатся и более трудные головоломки.

При рассмотрении данной темы мы не зря затронули предмет информатики, и вскоре вы узнаете, почему.

Для решения самих головоломок используются различные методы и способы, которые мы сейчас рассмотрим.

Я взяла 6 способов решения логических задач:

1. Метод рассуждения
2. Метод таблиц
3. Метод графов
4. Круги Эйлера
5. Метод блок-схем

Мы рассмотрим  идеи некоторых видов решения логических задач.

Виды решения логических задач.

1. Метод рассуждения

Идея данного метода в последовательных рассуждениях и выводах, которые строятся из утверждений, содержащихся в условии задачи.

Задача: Виктор, Дмитрий и Андрей изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один из них ответил: «Виктор изучает китайский, Дмитрий не изучает китайский, а Андрей не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе лишь одно утверждение верно, а остальные два других – ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение:  Имеется три утверждения. Если первое верное, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение неверно. Если второе утверждение верно, то первое и третье – ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается лишь третье утверждение, которое является верным. Следовательно, Виктор не изучает китайский, его изучает Дмитрий.

Ответ: Виктор изучает арабский, Дмитрий изучает китайский, Андрей изучает японский.

2. Метод таблиц

Идея этого метода в оформлении результатов логических рассуждений в виде таблицы.

Задача: Беседуют трое: Белов, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из беседовавших?

Решение:

Ответ: Белов – рыжий, Чернов – беловолосый, Рыжов – черноволосый.

Преимущества этого способа - наглядность, возможность контролировать процесс рассуждений; возможность формализовать некоторые логические рассуждения.

3. Метод графов

Оформление логических рассуждений также можно записывать в графы.

Пример из предыдущей задачи.

Решение:

 Рыжов                                                                                                            Рыжий

 Белов                                                                                                            Белый

Чернов                                                                                                          Черный

Ответ: Чернов – Беловолосый, Белов – Рыжий, Рыжов – черноволосый.

4. Круги Эйлера

Данным способом мы изображаем геометрическую схему, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Некоторые ученики любят ходить в кино. Известно, что из некоторого класса, в кино на фильм «Обитаемый Остров» сходило 15 учеников, 11 учеников ходили на «Стиляги», из них шестеро смотрели и тот, и другой фильм. Сколько учеников смотрело только фильм «Стиляги».

Решение:

6 учеников, смотревших оба фильма, помещаем в пересечение множеств.

15-6=9 – учеников, смотревших только «Обитаемый остров»

11-6=5 – учеников, смотревших только «Стиляги»

Получаем:

Ответ: 5 учеников смотрели только «Стиляги».

5. Метод блок-схем

 Данный метод описывает последовательно выполненные операции, определяет порядок их выполнения и фиксирует состояния. Этот  вид решения логических задач входит в курс обучения учеников общеобразовательных учреждений по курсу информатики. Программирование на языке Pascal. Что еще раз доказывает, что математика всеобъемлюща и затрагивает многие науки.

Пример: Имеются два сосуда – трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1,2,3,4,5,6,7 и 8 литров воды. В распоряжении имеется водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение:

 Исследуя данные методы решения логических задач, я пришла к выводу, что для решения задач нужно использовать различные методы, более подходящие к решаемой задаче. Использование конкретного метода для определенной задачи упрощает нам ту работу, которую мы могли бы делать, решая её другим способом.

ГЛАВА 2. Железная логика или абсурд? Что выберем?

Железная логика или абсурд? Этот вопрос в кругах логики является таким же вечным, как вопрос Гамлета у В. Шекспира: «Быть или не быть? Вот в чем вопрос».

Но почему же мы сравниваем два вроде бы столь разных понятия - науку о правильном мышлении и нечто алогичное, нелепое?

Если посмотреть на определение «абсурда» в математическом толковом словаре, то мы найдем следующее: « Абсурд – в математике и логике, обозначает, что какой-то элемент не имеет никакого смысла в рамках данной теории, системы или поля, принципиально несовместимый с ними…», - есть важное уточнение – «…Хотя элемент, который является абсурдом в данной системе, может иметь смысл в другой».

Действительно, если внимательно рассмотреть данную тему, то можно найти примеры:

Если мы будем извлекать  квадратный корень из отрицательного числа, то в поле действительных чисел это будет абсурдом, но если мы начнем извлекать корень квадратный из отрицательных чисел в комплексных числах, то такое действие отнюдь не будет считаться абсурдом.

Порой решение задач настолько неординарно, что грань между абсурдом и логикой стирается, и возникает вопрос, что нам выбрать.

Порой для решения простых задач приходится совершать абсурдные вещи, выходящие за рамки нашей логики, нашего мышления.

– Скажите, с какой скоростью должна бежать кошка, чтобы не слышать звона консервной банки, привязанной к ее хвосту?

            – Со скоростью звука, 330 метров в секунду – тут же отвечает абитуриент.

            – Идите, четыре, – выносит свой вердикт преподаватель. Взглянув на удивленное лицо абитуриента, он поясняет свое решение:

              – В нашем институте готовят инженеров, а не физиков-теоретиков. Нужно реально смотреть на вещи – не может кошка бегать со скоростью звука. Нулю должна равняться скорость кошки. Стоять кошка должна.

Софизмы

Цепочки рассуждений, проводимые нами, могут содержать неточности, недостаток информации или, еще более банально, мы при рассуждении допустили ошибку. И, как следствие, из этого мы можем столкнуться с таким понятием, как  паралогизм и софизм. Что же такое софизм?

Софизм (мастерство, умение) - сложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Софизмы (греч. sophisma — измышление, хитрость), представляют собой внешне правильные доказательства ложных мыслей. От софизмов следует отличать паралогизмы (греч. paralogismus — неправильное рассуждение) — логические ошибки, допускаемые непроизвольно, в силу незнания, невнимательности или иных причин. Софизмы строятся на том, что в рассуждении незаметно подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, — различаются тождественные объекты.

Являясь интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы,  в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.

Какие бывают софизмы?

Приведем пример несложного софизма:

3 и 4 — это два разных числа, 3 и 4 — это 7, следовательно, 7 — это два разных числа.

В данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т.е. нарушен закона тождества.

Много неприятностей подстерегает того, кто неосторожно обращается с мнимой единицей i (квадратным корнем из -1). Об этом свидетельствует хотя бы следующее удивительное «доказательство» равенства 1 = -1:

=,

=,

=,

=,

1= - 1

3. Еще одним известным софизмом является утверждение 0=1. У него есть множество доказательств, тем не менее, неверных.

• Метод упрощенного умножения

Докажем, что 0=1.

Дано: 0*0=0*1 .

Доказательство: 0*0=0*1, так как 0=0, то 0=1, что и требовалось доказать.

Способ нахождения ошибки в софизме

1. Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи. Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат, получается, из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки. Все привыкли, что задания, предполагаемые в различной литературе, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
2.  Установите области знаний (темы), которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них.
3. Выясните, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил,     формул, соблюдена ли логичность. Некоторые софизмы построены на  неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».
4. Проверяйте результаты преобразования обратным действием.
5. Часто следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.
6. Таким образом, можно сделать вывод, что софизм – ложь, похожая на истину. Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
7.  Если есть ложь, похожая на истину, то есть и истина, похожая на ложь.

И с этого момента мы вводим понятие парадокса и попытаемся рассмотреть, что такое парадокс, и чем он отличается от софизмов?

Парадокс

Парадокс (неожиданный, странный) — ситуация, которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.

Чем софизмы отличаются от парадоксов?

Парадоксы отличаются от софизмов тем, что они возникают не в результате намеренных логических ошибок, а из-за неясности, неопределенности и даже противоречивости некоторых исходных принципов и понятий той или иной науки или же общепринятых норм, приемов и методов познания в целом. На первый взгляд такие парадоксы кажутся простыми курьезами и служат для логических упражнений. Нельзя, однако, забывать, что парадоксы периодически возникают в развитии каждой науки и служат симптомом неблагополучия в обосновании ее теоретических построений. Так парадоксы теории множеств привели к кризису в основаниях математики, т.е. в том фундаменте, на котором держится вся остальная часть здания математики. Никакого окончательного решения вопроса о парадоксах теории множеств до сих пор не найдено, хотя были предложены многие методы и программы избавления от них. Одна из программ предлагает отказаться от канторовского уподобления бесконечного множества конечному, т.е. от актуальной бесконечности, и рассматривать бесконечность как процесс. Другие программы пытаются аксиоматизировать теорию множеств, осуществить формализацию математики и доказать непротиворечивость ее систем и т.д. Все эти исследования значительно обогатили наши знания, дали мощный толчок развитию математической логики, теории алгоритмов, программированию и компьютеризации научного знания и практических действий. Но они не решили основную проблему.

Все это свидетельствует о том, что возникновение парадоксов не является чем-то незакономерным, неожиданным, случайным в истории развития научного мышления. Их появление сигнализирует о необходимости пересмотра прежних теоретических представлений, выдвижения более адекватных понятий, принципов и методов исследования. Не зря же великий Пушкин восклицал: "И гений, парадоксов друг!".

Рассмотрим один из парадоксов нашей современности на примере парадокса лжеца.

Парадокс лжеца — высказывание, для которого нельзя однозначно сказать, истинное оно или ложное. Является типичным случаем самореференции (аргумент функции является самой функцией). Обычно рассматривается на примере фразы: «я лгу», или на приписываемом Эпимениду Критскому высказывании: «все критяне — лжецы»

Классический пример — высказывание доктора Хауса «Все лгут». Строгое условие, подчёркиваемое самим Хаусом, позволяет сделать вывод, что Хаус лжёт и говорит правду одновременно. Психологическое построение приводит к результату «каждый иногда лжёт, в том числе и Хаус».

Математический юмор

Мы провели очень большую работу по сбору и квалификации множества информационных источников. Некоторое время ушло на верстку самого реферата. И, как в награду, мы перейдем к самой интересной части нашего реферата – математическому юмору, анекдотам и байкам.

Почему же мы занимаемся столь отвлеченными вещами в исследовательской работе? Хотелось бы сказать, что мир такой науки, как математика, не исчерпывается только лишь решением особого вида задач. Помимо всех трудностей, в ней есть прекрасное и интересное, порой даже смешное.

А ведь действительно, как-то так сложилось, что в массовом сознании математиков традиционно представляют либо «занудными сухарями», либо рассеянными чудаками, далекими от реальности. В обоих (на самом деле, достаточно частных) случаях сама мысль о каком бы то ни было юморе кажется абсурдной. Да и вообще, само сочетание «математика и юмор» выглядит нонсенсом. Однако, это далеко не так, и в действительности математических шуток даже больше, чем, скажем, физических. Более того, именно математический юмор кажется лично мне наиболее утонченным и разнообразным.

Тем более обидно, что математические шутки наименее известны широким массам, пусть даже и освоившим азы математического анализа.

Поэтому предлагаю рассмотреть наиболее интересные и веселые математические истории.

Надо сказать, что сами математики, великие и известные, любили пошутить на своем особом языке.

 Вот высказывание  Дон-Аминадо: «Когда некто, тебе противный, что-то тебе доказывает, то это и есть доказательство от противного»

Также есть занятный юмор из раздела софизмов:

Один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Рассела, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил:

— Вы всерьез считаете, что из утверждения «два плюс два — пять» следует, что вы — папа римский?

Рассел ответил утвердительно.

— И вы можете доказать это? — продолжал сомневаться философ.

— Конечно! — последовал уверенный ответ, и Рассел тотчас же предложил такое доказательство.

1. Предположим, что 2 + 2 = 5.

2. Вычтем из обеих частей по два: 2 = 3.

3. Переставим левую и правую части: 3 = 2.

4. Вычтем из обеих частей по единице: 2 = 1.

Папа Римский и я — нас двое. Так как 2 = 1, то папа римский и я — одно лицо. Следовательно, я — папа римский.

Математический юмор, также как и математический мир, утонченный и особый.

Общие выводы:

Если убрать из математики формулы, уравнения и неравенства, то останутся:

• цепочки логических рассуждений и выводы из них
•  забавные головоломки и софизмы
• «нестандартные» (олимпиадные) задачи
• специфический математический юмор
• математические байки и анекдоты  

Заключение

Я решила коснуться данной темы, потому что при написании различного рода математических олимпиад, встречаются задания другого плана, нежели показываемые на уроках в школе – нестандартные задачи, решение которых сводится не к применению формул. Эти задачи опираются на опыт, наблюдательность и порой интуицию. Возник вопрос, что же еще может остаться без формул.

Проведя достаточно много времени над книгами и  другими источниками информации, я смогла найти лишь малую часть того наследия без формул и пришел к выводу, что мир математики широк и безграничен. Об этом говорили многие великие люди, и об этом говорят до сих пор. Рассмотрев только некоторые аспекты «царицы наук», мы пришли к выводу и доказали на практике, что границы математики не исчерпываются лишь формулами, уравнениями и неравенствами. Она более необъятна: можно рассказать о связи математики с другими науками, можно говорить о её присутствии в искусстве: хореографии и музыке. Математика давно проникла во все крайности нашей с вами жизни. Она является неотъемлемой частью всего нашего мировоззрения, как бы мы к ней не относились. Нельзя забывать, что математика, как наука была создана в пользу человечеству, а формулы и исходящие из них уравнения и неравенства, созданы для того чтобы еще более облегчить наши труды и старания.

Поэтому можно сказать, что математика – неисчерпаема, она крепко вошла во все, что существует в нашем мире. Мое доказательство рассказывает лишь о некоторых сторонах математики, из которой убрали формулы. Но она более просторна, чем мы можем себе вообразить.

Список литературы

1. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул 1995 г.
2. Генри Э. Дьюдени Кентерберийские головоломки 1979 г.
3. Сергей Федин Математики тоже шутят 2009 г.