Параллелограмм Вариньона

Опубликовано Шамраева Оксана Викторовна вкл 23.10.2016 - 7:43

Автор:

Сабитов Тимур

Данная работа была представлена на научно-практической конференции "Юность науки" и заняла 1 место.

Скачать:

Вложение	Размер
sabitov_t._mou_sosh_no24_geometriya.doc	682.5 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №24»

Параллелограмм Вариньона

Выполнил: Сабитов Тимур Ильясович

ученик 8 Б кл. МОУ «СОШ № 24»

Руководитель: Шамраева Оксана Викторовна

учитель математики

г.Абакан 2011 год

Содержание

Содержание……………………………………………………………………… ..2

1. Введение………………………………………………………………………. .3

2. Историческая справка………………………………………………………….. 4

3. Теорема Вариньона

3.1. Параллелограмм Вариньона................................................................. 5

3.2. Следствие 1........................................................................................... 6

3.3 Следствие 2............................................................................................. 8

3.4 Следствие 3............................................................................................. 9

3.5 Следствие4....................................... .....................................................10

4. Сравнительный анализ двух решений одной задачи.......................................11

5. Разбор задач......................................................................................................... 12

Заключение.............................................................................................................. 16

Список литературы................................................................................................. 17

1. Введение.

Крупное научное открытие дает

решение крупной проблемы,

но и в решении любой задачи

присутствует крупица открытия.

Д. Пойа (венгерский математик)

В математике самыми трудными считаются геометрические задачи. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении.

Цель работы: показать, что теорема Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач.

Актуальность и новизна работы состоит в том, что область применения теоремы Вариньона не раскрыта в школьных учебниках и не показана её роль в решении задач.

Задачи работы:

1. Рассмотреть доказательство теоремы Вариньона для выпуклого четырехугольника.

2. Продемонстрировать применение теоремы Вариньона для решения важных планиметрических задач.

Методы исследования:

1. Анализ, систематизация и обобщение данных из различных источников информации

2. Самостоятельное решение задач.

2. Историческая справка

3. Теорема Вариньона

3.1. Параллелограмм Вариньона

Теорема Вариньона вытекает из теоремы о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны и гласит: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим доказательство теоремы.

Доказательство:

К и L – середины сторон АD и AB, значит КL – средняя линия треугольника

АВD, поэтому отрезок КL параллелен

диагонали BD и равен её половине.

M и N – середины сторон BC и CD, значит MN – средняя линия треугольника BDС, поэтому отрезок MN параллелен диагонали BD и равен её половине.
Таким образом, MN || KL и KL = MN , значит четырехугольник KLMN –

параллелограмм по признаку. Теорема доказана.

Рис. 1

Свойства параллелограмма Вариньона:

1. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.

2. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

3. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон

3.2. Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны (см. рис. 2,а);

б) бимедианы (отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) перпендикулярны (см. рис. 2,б).

Рис. 2 а) Рис. 2 б)

Доказательство:

а) Так как диагонали исходного четырехугольника равны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны (по свойству средней линии треугольника). Параллелограмм Вариньона является ромбом (по признаку ромба).

б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны (см. рис. 3,а);

б) бимедианы равны (см. рис. 3,б).

Рис. 3 а) Рис. 3 б)

Доказательство:

а) Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то

стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

3. Параллелограмм Вариньона является квадратом, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны(см. рис. 4,а);

б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4,б).

Рис. 4 а) Рис. 4 б)

Доказательство:

а) Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата).

б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

3.3 Следствие 2.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Рис 5

Доказательство:

Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

1) Т.к. KM и LN являются диагоналями параллелограмма Вариньона ⇒ KM и LN

точкой пересечения делятся пополам. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис.5).

2) Рассмотрим ∆DBC и ∆ ACD, у них

CD – общее основание, LQ║CD и PN║CD (по теореме о средней линии треугольника)LQ║PN.

Рассмотрим ∆ABC и ∆ABD, у них

AB – общее основание, PL║AB и NQ║AB (по теореме о средней линии треугольника) PL║NQ

3) LQ║PN, PL║NQ PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

3.4 Следствие 3.

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть.

Доказательство.

Рис.6

Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм (см. доказательство след. 2)

Поэтому по свойству параллелограмма Вариньона

1) ;

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQ имеем:

Кроме того, по свойству параллелограмма Вариньона

Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера:

│∙2

3.5 Следствие 4.

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны. Доказательство.

1) ∆KBL ~ ∆ABC (по двум сторонам и углу между ними) ⇒

2) Аналогично:

∆DNM ~ ∆DAC

4) ∙, ∙ , т.к. KO=OM

5) Аналогично:

6) Сложим получившиеся равенства, получаем:

Что и требовалось доказать.

4. Сравнительный анализ двух решений одной задачи.

Задача:

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

B L

F M

I решение (по школьной программе)

1) Т.к. AF =FB и AN =ND, FN – средняя линия ∆ABD

2) Т.к. BL=LC и DM =MC, LM – средняя линия ∆CBD

3) Т.к. AF =FB и BL=LC, FL – средняя линия ∆ABC

4) Т.к. DM =MC и AN =ND, MN – средняя линия ∆ADC

5) PFNML = FN + LM + FL +MN =

II решение (с помощью параллелограмма Вариньона)

1) По теореме Вариньона FNML – параллелограмм.

2)FN= , FL=

3)PFNML= (FN + FL) ∙ 2 =

Ответ: a + b.

Видим, что параллелограмм Вариньона помогает решать задачи значительно быстрее.

5. Разбор задач.

Задача №1.

а) Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

A N B

M K

C L D

1)Т.к. ABCD – прямоугольник, тоAD=CD MNKL – ромб (по следствию 1.1а)

б) Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

K L

A C

M N

1)Т.к.ACBD(по свойству ромба)MKLN–прямоугольник (по следствию 1.2а)

Задача №2.

При последовательном соединении середин сторон трапеции получился квадрат со стороной а.

Найдите площадь трапеции.

B L C

K M

A N D 12

Решение

1) KLMN – параллелограмм Вариньона

Ответ:

Задача №3.

Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза

больше суммы квадратов его средних линий.

L C

K M

N D

1)Т.к. KLMN – параллелограмм (по свойству параллелограмма).

2) KL=AC и LM= BD (по свойству средней линии треугольника) KM2+LN2= AC2+BD2=2(KM2+LN2).

Задача №4.

Докажите, что бимедианы четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

M B

O N

D C

1) По теореме Вариньона LMNK – параллелограмм MK∩LN = т.O пополам (по свойству параллелограмма)

Задача №5.

Все стороны выпуклого четырехугольника разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток».

Решение.

Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части. Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

Задача №6.

Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников, тем самым их равновеликость доказана.

Задача №7.

Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

2) (т.к. как соответственные и как соответственные), KL=, 14

Задача №8.

Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними, т.е.

1) ∆KLN =KLMN ()

2) KL=

Задача №9

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD,перпендикулярны. Известно, что.

Найдите площадь четырехугольника ABCD и сравните её с числом .

K M

Решение.

1) По теореме о средней линии треугольника KN=

2) (и , т.к. соответственные углы при ║ прямых)

4) (по свойству параллелограмма Вариньона)

Ответ: ; .

Задача №10.

Вершины четырехугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом . Определите вид четырехугольника и найдите его площадь.

K L

A C

N M

Решение.

1)ABCD – ромб KLMN – прямоугольник (по следствию 1.2.а)

2)∙

3) ∙

Ответ: прямоугольник с площадью

Заключение

В процессе исследования я узнал о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрел доказательство его теоремы выпуклых четырёхугольников; продемонстрировал применение теоремы; убедился в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнал много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Таким образом, можно считать, что цель работы достигнута.

Данное исследование поможет мне при решении конкурсных и олимпиадных задач. Работа перспективна, т.к. геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё большую роль в познании мира. В дальнейшем я планирую поработать над утверждениями, обратными теореме Вариньона для различных видов четырёхугольников, в том числе для невыпуклых.