ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СОФИЗМЫ В МАТЕМАТИКЕ

Городская научно-практическая конференция

«МАЛЫЕ ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2016»

Секция: Математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СОФИЗМЫ В МАТЕМАТИКЕ»

ХХХ

6а класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 119» Авиастроительного района г.Казани

Научный руководитель:

учитель математики

Мустафина Эльвира Маликовна

Казань – 2016г.

Введение        

1. Основные понятия математических софизмов        

2. Задачи на математические софизмы        

3. Практическое доказательство математического софизма 2+2=5        

Заключение        

Список литературы        

ВВЕДЕНИЕ

«– На что мне безумцы? - сказала Алиса.

– Ничего не поделаешь, – возразил Кот. – Мы все здесь не в своём уме – и ты, и я.» (Л.Кэрролл)

В любой области математики – от простой арифметики до современных, более сложных областей, есть свои софизмы. В лучших из них рассуждение с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям.

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.

Развитие критического мышления позволит не только успешно освоить точные науки, но и не оказаться жертвой мошенников в жизни. Например, при оформлении кредита в банке не оказаться пожизненным его должником.

Цель исследования: изучить математические софизмы и использовать с целью развития логического мышления. Предметом исследования является математические софизмы.

Задачи:

1)Изучить основные понятия математических софизмов.

2)Проанализировать существующие задачи на математические софизмы.

3)Проанализировать практическое доказательство математического софизма 2+2=5.

В исследовании использованы логические и математические методы анализа. В процессе проведения исследования применялись также такие приемы, как наблюдение, сравнение и другие, которые в целом позволили обеспечить достоверность и обоснованность выводов.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СОФИЗМОВ

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений.

Софизмы – это умышленные ложные умозаключения, которые имеют вид правильных. Они обязательно содержат одну или несколько замаскированных логических ошибок. Например, в математических софизмах часто выполняются «запрещенные» действия, такие как деление на ноль, не учитываются условия применимости формул и правил.

Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н.э. в Греции и стало очень популярным в Афинах. Софистами называли платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова, приемам ведения спора, красноречию. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа.

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой – семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах. Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста – представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде.

Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознавая ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математики. В любой области математики – от простой арифметики до современной теоретико-множественной топологии – есть свои псевдодоказательства, свои софизмы. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям.  Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению изучаемого материала, воспитывать вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм- это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

При разборе математических софизмах выделяются основные ошибки, «прячущиеся» в математических софизмах:

1. деление на 0;
2. нарушения правил действия с именованными величинами;
3. неравносильный переход от одного равенства (неравенства) к другому;
4. неправильные выводы из равенства дробей;
5. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
6. проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
7. выводы и вычисления по неверно построенным чертежам.

Математические софизмы делятся на арифметические, алгебраические и геометрические.

Арифметика – (греч. arithmetika, от arithmys – число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. Например: «2∙2 = 5»

Алгебра – один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Например: «Все числа равны между собой»

Геометрические софизмы основаны на ошибках связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними. Например: «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра».

2. ЗАДАЧИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Рассмотрим некоторые примеры математических софизмов. Например:

Дважды два равно пять.

Доказательство:

Пусть исходное соотношение - очевидное равенство:

4:4= 5:5 (1) .

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (1) равенства, и мы получим:

4*(1:1)=5*(1:1) (2)

Разложим число 4 на произведение 2 *2

(2*2)* (1:1)=5*(1:1) (3)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.

Ошибка:

Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в уравнение №2. Такая ошибка разрешается достаточно легко – нужно лишь произвести вычитание одного из другого, что выявит неравенство двух этих числовых значений. Также опровержение возможно записью через дробь.

Также можно рассмотреть следующее доказательство софизма

Дважды два равно пять.

А именно, имеем равенство:

16 - 36 = 25 – 45 (1)

Прибавим к левой и правой части 81/4:

16 - 36 + 81/4 = 25 - 45 + 81/4  (2)

Преобразуем выражение:

4*4 - 2*4*9/2 + (9/2)*(9/2) = 5*5 - 2*5*9/2 + (9/2)*(9/2) (3)

Теперь можно заметить, что в левой и правой части выражения (3) записаны произведения вида:

a2-2ab+b2, то есть, квадрат разности: (a-b)2. В нашем случае слева a=4, b=9/2, а справа a=5, b=9/2. Поэтому перепишем выражение (3) в виде квадратов разности:

(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2 (4)

А следовательно,

4 - 9/2 = 5 - 9/2 (5)

И наконец, получаем долгожданное равенство:

4 = 5

или, если угодно,

2*2 = 5

Ошибка

В преобразования, разумеется, закралась ошибка. А именно, при переходе из (4) в (5) совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведенных в квадрат: они могут быть противоположны друг другу, как в нашем случае: 4-9/2 равно -1/2, а 5-9/2 равно 1/2. А квадраты этих значений одинаковы.

Следующий пример математического софизма:

Два плюс два равно пять

Доказательство:

Пусть 2+2=5.

2*1 + 2*1 = 5*1

Распишем 1, как частное равных чисел:

1 = (5-5)/(5-5)

Тогда:

2*(5-5)/(5-5) + 2*(5-5)/(5-5) = 5*(5-5)/(5-5)

Умножим левую и правую части на (5-5), тогда:

2*(5-5) + 2*(5-5) = 5*(5-5)

Отсюда:

0 + 0 = 0

Большинство математиков знакомы с тождеством 2+2=4, или, по крайней мере, видели на него ссылки в литературе. Однако менее известное равенство 2+2=5 также имеет богатую, сложную историю. Как и любые другие комплексные, сложные количества, эта история имеет реальную и мнимую части. Здесь мы будем иметь дело исключительно с последней.

Последние данные показывают, что в Братстве пифагорейцев доказали, что 2+2=5, но доказательство это никогда не было написано. Вопреки тому, что можно было бы ожидать, отсутствие письменного доказательства не было вызвано умышленным сокрытием (таким же, как в случае доказательства иррациональности квадратного корня из двух). Скорее всего, они просто не имели возможности заплатить писцу за его услуги. Они потеряли спонсорскую поддержку в связи с протестами правозащитника, защищавшего права быков, возражавшего против способа, которым пифагорейцы отмечали доказательство теорем. Таким образом, только равенство 2+2=4 было использовано в “Началах” Евклида, и ничего больше не было слышно о равенстве 2+2=5 в течение нескольких столетий.

Около 1200 лет н.э. Леонардо из Пизы (Фибоначчи) обнаружил, что через несколько недель после помещения 2 кроликов-самцов и 2 кроликов-самок в одну клетку он получил значительно больше 4 кроликов. Опасаясь, что слишком сильное отличие от значения 4, приведенного у Евклида встретит возражения, Леонардо осторожно заявил: “2 + 2 больше похоже на 5, чем 4”. Даже это сдержанное замечание было резко осуждено, и Леонардо получил прозвище “Blockhead” (“дубина”). Кстати, преуменьшение им числа кроликов сохранялось и дальше, в его знаменитой модели роста числа кроликов каждый помет состоит всего из двух малышей, эта самая низкая оценка из всех существующих.

Примерно 400 лет спустя идея возникла снова, на этот раз благодаря французским математикам. Декарт заявил: “Я думаю, что 2+2=5, поэтому это так и есть”. Однако другие возражали, указывая на то, что его аргументация была не абсолютно строгой. По-видимому, у Ферма было более строгое доказательство, которое должно было появиться в его книге, однако его и другие материалы вырезал редактор для того, чтобы напечатанная книга имела более широкие поля.

Поскольку не было доступного доказательства того, что 2+2=5 и в связи с шумихой, связанной с развитием дифференциального исчисления, к 1700 году математики снова потеряли интерес к данному тождеству. В самом деле, известна только ссылка 18 века на него, связанная с именем философа епископа Беркли, который, обнаружив его в старой рукописи, сухо прокомментировал: “Ну, теперь я знаю, куда уходят все умершие – в правую часть этого уравнения”. Это острота настолько впечатлила интеллектуалов Калифорнии, что они назвали в честь Беркли университетский город.

Примерно в середине 19 века 2+2 начало иметь большое значение. Риман разработал арифметику, в которой 2+2=5 параллельно с евклидовой арифметикой, в которой 2+2=4. Кроме того, в это же время Гаусс занимается арифметикой, в которой 2+2=3. Естественно, последовали десятилетия большой путаницы относительно фактического значения 2+2. Поскольку мнения на эту тему менялись, доказательство Кемпе (1880 год) теоремы о четырех цветах было признано через 11 лет, дав вместо этого теорему о пяти цветах. Дедекинд принял участие в споре со статьей под названием “Was ist und was soll 2 + 2?”.

Фреге думал, что он решил вопрос при подготовке сокращенной версии своего “Begriffsschrift”. Эта выжимка, озаглавленная “Die Kleine Begriffsschrift (Краткое сочинение)”, содержало, по его мнению, окончательное доказательство того, что 2+2=5. Но затем Фреге получил письмо от Бертрана Рассела, в котором ему напоминали, что в “Grundbeefen der Mathematik” Фреге доказал, что 2+2=4. Это противоречие так обескуражило Фреге, что он вообще отказался от математики и ушел в администрацию университета.

Столкнувшись с таким глубоким и вызывающим недоумение основополагающим вопросом о значении 2+2, математики поступают разумно: они просто игнорируют его. И таким образом, все вернулось к тому, что 2+2=4, и в 20-м веке ничего больше не делалось с равенством, соперничающим с данным. Ходили слухи, что Бурбаки планирует посвятить том тождеству 2+2=5 (первые сорок страниц посвящены символическому выражению для числа пять), но эти слухи остались неподтвержденными. Недавно, однако, были зарегистрированы доказательства того, что 2+2=5, как правило, полученные с помощью компьютера, принадлежащих муниципальным предприятиям. Может быть, 21-й век увидит еще одно возрождение этого исторического уравнения.

Еще один пример математического софизма. Это исчезающий квадрат.

Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится. При следующем развороте маленький квадрат появится снова.

Решение

Этот парадокс объясняется тем, что сторона нового большого квадрата немного отличается от стороны того, который был в начале. Если в качестве первой фигуры принять тот квадрат, в середине которого нет маленького ромба, дальнейший анализ заметно упростится.

Сторона начального квадрата пусть будет α, и стороны составляющих его 4-угольников делят эту сторону в отношении κ. Сведущий в геометрии легко сможет доказать, что построенные таким образом 4-угольники равны друг другу, имеют прямые углы в противолежащих вершинах и равные стороны, смежные в центре квадрата). Становится также понятно, что ромб в центре второй фигуры является квадратом. Сторона маленького квадрата на второй фигуре будет равна α . Угол между парой противоположных сторон любого из составляющих 4-угольников пусть будет обозначен θ. Его точное значение можно рассчитать методом координат, или методами классической геометрии. Если каждый из 4-угольников, составляющих первый квадрат, повернуть на угол π вокруг центра описанной около него окружности, то получится вторая фигура, с незакрашенной квадратной областью в центре. При следующем повороте опять составится первый квадрат. Площадь второго квадрата оказывается в + 2) раза больше площади первого. При κ ≈ 1/2 это отличие практически незаметно. Например, на поясняющих рисунках использован угол θ = 10 / 2 ≈ 0,5882). При этом разность между площадями больших квадратов составляет ≈ 3,11 %. Уже такое отличие сложно заметить, хотя значение κ здесь используется отнюдь не маленькое.

Таким образом, можно заключить, что ошибка, замаскированная в условии, состоит в том, что центры вращения составляющих 4-угольников находятся не там, где это представляется при визуальном осмотре картинки. Они находятся в вершинах квадрата, повёрнутого на угол -θ относительно первого квадрата, хотя его стороны параллельны сторонам второго.

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОФИЗМА 2+2=5

Многие культуры во время своего раннего математического развития открыли равенство 2+2=5. Например, племя болб, произошедшее от инков Южной Америки. Люди этого племени считали, завязывая узлы на веревке. Они быстро поняли, что если связать веревку с двумя узлами с другой веревкой с двумя узлами, то в результате получится веревка с пятью узлами.

Было принято решение применить на практике данное доказательство и продемонстрировать его ученикам 5-6-х классов.

Прежде чем показать математический опыт, автором бы задан вопрос: Верите ли вы в равенство 2+2=5?

Всего было опрошено 42 обучающихся. Опрос показал следующее: верили в равенство – 7 (17%), не верили 27 (64%), затруднились ответить – 8 (19%) (Рисунок 1).

Рис.1. Верите ли вы в равенство 2+2=5?

После проведенного опроса, автором был показан практический математический опыт. Для этого, сначала было показано две веревки с двумя узлами, где акцентировалось внимание на то, что это две отдельные веревки. После этого, автор связал эти две веревки одним узлом. В итоге получилась одна веревка с пятью узлами. Отсюда следует доказательство, что 2+2=5.

После показанного математического опыта, автором повторно был задан вопрос: Верите ли вы в равенство 2+2=5? Результаты опроса приведены на рисунке 2.

Рис.2. Верите ли вы в равенство 2+2=5?

Опрос показал, что в равенство поверили 23 ученика (54%), не верили 12 (29%), затруднились ответить 7 (17%). Следует отметить, наглядное доказательство заставило поверить в данное равенство 54% обучающихся из общего количества.

Построим сравнительный анализ ответов на вопросы до и после. Результаты представлены на рисунке 3.

Рис.3. Сравнительный анализ ответов до и после практического опыта

По итогам практического математического опыта, мы можем сделать вывод, что на 37% увеличилось число учеников, которые поверили в равенство 2+2=5.

«Мнимое доказательство» данного равенства, в котором обоснованность заключения кажется верной, обязана чисто субъективному впечатлению учеников, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд данного софизма, его «логичность» связана с хорошо замаскированной ошибкой, нарушающей однозначность мысли. Подмена основной мысли доказательства – это принятие ложных посылок за истинные и несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Софизмы – это умышленные ложные умозаключения, которые имеют вид правильных. Они обязательно содержат одну или несколько замаскированных логических ошибок.

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой – семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознавая ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. 

Многие культуры во время своего раннего математического развития открыли равенство 2+2=5. Было принято решение применить на практике доказательство и продемонстрировать его ученикам 5а и 5б класса.

Автором был показан практический математический опыт. Для этого, сначала было показано две веревки с двумя узлами, где акцентировалось внимание на то, что это две отдельные веревки. После этого, автор связал эти две веревки одним узлом. В итоге получилась одна веревка с пятью узлами. Отсюда следует доказательство, что 2+2=5.

«Мнимое доказательство» данного равенства, в котором обоснованность заключения кажется верной, обязана чисто субъективному впечатлению учеников, вызванному недостаточностью логического анализа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Быльцов С.Ф. Занимательная математика для всех – Питер, 2005 г.
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения – М., Мир, 1971 г.
3. Перельман Я.И. Занимательная геометрия – М., Римис, 2014.
4. http://www.smekalka.pp.ru/ - логические загадки и головоломки.
5. http://www.koob.ru/science/ - математика и физика.