Этюды об инварианте

Слайд 1

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 18 города Ярославля Секция «Математика. Информатика. Физика. Астрономия» Исследовательская работа Выполнена ученицей 11 «Б» класса Канцидал Екатериной Сергеевной Научный руководитель – учитель математики Власова Мария Диеговна

Слайд 2

В курсе математики, изучаемой в школе, не упоминается понятие инварианта. А при решении олимпиадных задач по информатике и математике используется метод решения задач с помощью инварианта.

Слайд 3

Создание комплектов задач, классифицированных по виду инварианта: четность (нечетность), остаток от деления, знак произведения.

Слайд 4

Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.

Слайд 5

Задача На доске написано десять плюсов и пятнадцать минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения двадцати четырёх таких операций?

Слайд 6

Решение 1. Заметим, что в результате каждой операции число минусов либо не изменяется, либо уменьшается на два. Поскольку в исходной позиции число минусов было нечетным, а в результате преобразования оно либо не изменяется, либо уменьшается на четное число, то после выполнения таких преобразований на доске останется минус.

Слайд 7

Решение 2 . Заменим все плюсы нулями, а минусы – единицами, и заметим, что сумма двух стираемых чисел имеет ту же четность, что и число, записываемое вместо них. Так как сначала сумма всех чисел была нечетной (она равнялась 15), то и последнее, оставшееся на доске число, будет нечётным, то есть единицей, и, значит, на доске останется минус.

Слайд 8

Решение 3. Заменим каждый плюс числом 1, а каждый минус - числом -1. Тогда условие задачи можно переформулировать так: стираются любые два числа, и записывается их произведение. Поэтому знак произведения всех написанных на доске чисел остается неизменным. Так как в начале это произведение равнялось -1, то и в конце останется число -1, то есть знак минус.

Слайд 9

Инвариант - чётность Инвариант – остаток от деления Инвариант – знак произведения

Слайд 10

Задача. На чудо - дереве садовник вырастил 45 груш и 50 яблок. Каждый день он срывает 2 плода и тут же на дереве вырастает новый. Причем, если он срывает 2 одинаковых плода, то вырастает яблоко, а если – 2 разных, то вырастает груша. Каким окажется последний плод на дереве? Решение: 1) Садовник сорвал 2 яблока, тогда вырастает 1 яблоко и на дереве будет 45 груш и 49 яблок. 2) Садовник сорвал 2 груши, в этом случае вырастает 1 яблоко и на дереве будет 43 груши и 51 яблоко. 3) Если же садовник срывает 2 разных плода: яблоко и грушу, то на дереве вырастает груша и всего плодов будет: 45 груш и 49 яблок .

Слайд 11

Задача. Мише учитель математики поставил в дневник отметку «2». Миша, желая скрыть от мамы данный факт, порвал свой дневник на 4 части. Этого ему показалось мало, поэтому некоторые из этих частей (может быть и не все) он порвал на 4 части и так далее. Мама нашла 20 «кусочков» дневника. Все ли куски нашла мама? Решение: Сначала Миша порвал дневник на 4 части. Если он порвал на 4 части один из четырех кусочков, то их станет 4+ 3 = 7. Если Миша и дальше будет рвать кусочки на 4 части, то их будет получаться 4 +6 = 10, 4 + 9 = 13, 4 + 12 = 16, 4 + 15 =19, 4 +18 =22 … Таким образом, кусочков может быть 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, … Значит, мама нашла не все кусочки.

Слайд 12

Задача. На столе стоят 7 стаканов - все вверх дном. Разрешается за один раз перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за несколько раз добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно, то есть вниз дном? Решение: Поставим в соответствии стакану, стоящему нормально +1, а стоящему вверх дном, - 1. Инвариантом здесь будет знак произведения чисел, соответствующих всем 7 стаканам, так как при изменении знака у 4 множителей произведение не меняется. Но в начальном положении это произведение равно -1, а значит, стать +1 оно никогда не сможет. Поэтому невозможно добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно.

Слайд 13

1. В ходе работы были изучены и поняты основные виды нестандартных задач. 2. Выявлены общие подходы к решению нестандартных задач. 3. Были наработаны навыки в решении таких задач.

Слайд 14

Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математические олимпиады Московской области. – М.: Изд-во МФТИ, 2003. – 224 с. Готовимся к олимпиадам по математике: учеб.-метод. пособие / А. В. Фарков – М.: Издательство «Экзамен», 2006. Математика. Занятие школьного кружка. 5-6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2002. – 208 с. – (Портфель учителя). Математический винегрет: 2-е изд., испр. и доп. – М.: Мир, 2002. – 221 с., ил. – (Математическая мозаика). Математические кружки в школе. 5-8 классы / А. В. Фарков. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 144 с. – (Школьные олимпиады). 2005 Московские математические олимпиады: Кн. Для учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., ил. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». 1976. Изд-во «Наука». Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». 1989. Изд-во «Наука». http://potential.org.ru/Info/ArtDt200509292052PH3C1J9 http://hijos.ru/2012/05/02/invariant/ http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/1040fa23-ac04-b94b-4a41-bd93fbf0d55a/25465/

Слайд 15

Спасибо за внимание !

Слайд 16

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 18 города Ярославля Секция «Математика. Информатика. Физика. Астрономия» Исследовательская работа Выполнена ученицей 11 «Б» класса Канцидал Екатериной Сергеевной Научный руководитель – учитель математики Власова Мария Диеговна