Исследовательская работа по математике на тему "Магические квадраты"

муниципальное общеобразовательное учреждение

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №49

(МОУ СОШ №49)

Исследовательская работа

Секция: «Математика и информатика»

Название работы:

«Магические квадраты».

Автор: Гладкий Руслан Максимович

ученик 6 «А» класса МОУ СОШ №49

Руководитель: Гладкая Наталья

 Викторовна

2014-2015 г.

Содержание

 Введение……………….3

Ι. Основное содержание

1.1. История появления магических квадратов…………5

1.2.  Исторически  значимые магические квадраты…………7

 2. Понятие  магических квадратов………………8

2.1. Виды магических квадратов…………8

2.2. Латинские квадраты ………..10

3. Методы построения магических квадратов…………10

4. Магические квадраты 2-го и 3-го порядков………11

5. Применение магических и латинских квадратов……..12

ΙΙ. Практическая часть

2.1. Магический квадрат Пифагора………………………15

2.2.Построение магического квадрата 7-го и 9-го порядка универсальным способом………17

Заключение……………20

Литература и источники Интернет………………………..22

Приложение………………………………………………..23

Введение

 Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Так, до сих пор многие не любят число 13, число 666 называют “дьявольским числом”, приносящим несчастье. Однако людей очень привлекает бессмертная красота числовых сочетаний, и они продолжают заниматься исследованием новых математических фактов.

   В моей семье также проявляется интерес к числам. Вечерами в свободное от  работы время родители разгадывают кроссворды, сканворды, различные головоломки. Мама пристрастилась к заполнению цифрами непонятных для меня таблиц. Как выяснилось это не таблицы, а магические или ещё их называют «волшебные» квадраты. На мой вопрос «Для чего тебе это нужно?» она ответила: «Это очень интересно, да и в работе пригодится». Однажды мне тоже это стало интересно, и я решил попробовать заполнить пустые клеточки и,  оказалось, что это не просто, т.к.  здесь есть свои определённые правила.  Попробовав заполнить самый простой квадрат, я задумался о том, какие же ещё существуют квадраты, в какой области они применяются, узнать историю их появления и кто из выдающихся людей посвятил свои работы магическим квадратам. Это побудило меня заняться исследовательской работой.

Актуальность:  Я  посещаю математические олимпиады в школе, участвую в предметных конкурсах и заметил, что подобные задания там регулярно встречаются, поэтому думаю полезно узнать, что такое магический квадрат и научиться их заполнению способом достраивания до ромба.

Тема: «Магический квадрат»

Объект исследования: особенности магических квадратов.

Предмет исследования: история магических квадратов, их разновидности, особенности построения и область применения

Цель работы: изучить область применения магических квадратов в жизни людей, научиться строить магические квадраты 5×5 и 7×7.

Задачи исследования:

1. Познакомиться с историей появления  магических квадратов.
2. Изучить наиболее значимые магические квадраты.
3. Рассмотреть  несколько разновидностей  и способы заполнения магических квадратов.
4. Изучить область применения магических и латинских квадратов, их значение.
5. Провести исследование  и  подтвердить или опровергнуть утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения.

Методы исследования:

• Поисковый метод с использованием учебной литературы и информацией в сети Интернет;
• Исследовательский и практический методы при работе с магическим квадратом Пифагора;
• Анализ полученных в ходе исследования данных.

Практическая значимость заключается в возможности применения данной работы на уроках в рубрике «Это интересно» или «За страницами учебника математики» в роли докладчика; для составления характеристики личности.

Ι. Основное содержание

История появления магических квадратов

            Приступая к исследовательской работе, я решил сначала изучить историю появления Магических квадратов и, используя литературный материал из Википедии – свободной энциклопедии  выяснил, что:

«При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Такие квадраты стали называть магическими»  

     Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде  существует предание, согласно которому китайский император Ию, живший примерно четыре тысячи лет назад, увидел на берегу реки Хуанхэ (Жёлтая река) священную черепаху с узором из чёрных и белых кружков на панцире.

Сообразительный император сразу понял смысл этих рисунков. Заменив каждую фигуру числом соответствующим количеству кружков на панцире, он получил  магический квадрат 3*3.

Символ, изображённый на панцире черепахи, китайцы назвали «ло-шу» и считали магическим – он использовался при заклинаниях.

После открытия этих символов, в Китае зародилась наука правильного планирования -  фэн-шуй. Традиционно  храмы и города там строились на квадратном участке земли, разделенном на девять одинаковых частей. Подобная планировка помещений, участков связана с магическим квадратом «ло шу». Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством, с тех пор и называют магическими квадратами.

         В древности магические квадраты очень уважали. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве рецепта от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.

 В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература.  

Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил немецкий художник Мосхопулос.

Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1.

Это квадрат 4-го порядка.

Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. С глубокой древности  сохранилось учение о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием разных планет. Сангвиникам покровительствуют планеты Юпитер и Венера, холерики находятся под влиянием Марса, флегматики направляются Луной, а  меланхолики - Сатурном. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты которые были связаны с астрологией 7 планет.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

Исторически значимые магические квадраты

Квадрат,  найденный в Кхаджурахо (Индия) 11 век

 Сумма его чисел   равна 34.  

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности  "дьявольских" квадратов. 

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)   13 век

                                         Ян Хуэй  рассматривал магические квадраты не только 3-го, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить  магический квадрат  6-го порядка сумма чисел которого равна 111. 

Квадрат Альбрехта Дюрера                                       

    Квадрат Дюрера имеет размер 4-го порядка  и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых  равна 34. Это же число получается и при нахождении  суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата, а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат . 

Квадрат Джона Манси

Был примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Понятие и разновидности магических квадратов

Магический квадрат (МК) - это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же. Это значение называется постоянной квадрата.

      Постоянная (константа)  квадрата обозначим  S и она равна    S =

Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить помощью таблицы.

Каждый элемент МК называется клеткой.

 Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края.

Порядок квадрата определяется количеством строк или столбцов.

  Используя вышеуказанные понятия  и условия магические квадраты бывают совершенными и симметрическими.

Так, у изображенного на рисунке магического квадрата 5-го порядка суммы  чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным или дьявольским.

Оказывается, существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство. Квадрат останется совершенным даже если его верхнюю строку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец - слева).

Хочется отметить ещё одно следующее отсюда свойство: если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, получится своеобразный паркет, в котором числа, оказавшиеся в любой группе клеток размером 5x5, образуют совершенный квадрат.

Некоторые магические квадраты отличаются симметричным рисунком.  В расстановке его чисел можно заметить следующее: четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из его осей симметрии. 

  Квадрат, в котором любые два числа, расположенные симметрично относительно его центра, дают в сумме одно и то же число, называется симметрическим.

Симметрия чаще используется при построении магических квадратов. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Латинские квадраты

Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.

          Латинским квадратом называется квадрат n*n  клеток, в которых написаны числа  1, 2, 3, ..  n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рисунке изображены два таких квадрата 3*3. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

Методы построения магических квадратов

Существует много разных способов построения магических квадратов, но мне хотелось бы  рассмотреть самый  универсальный метод – это метод достраивания квадрата до ромба. 

Построим магический квадрат  5х5.

1) Достроив квадрат до ромба, вписываем в него числа по диагонали сверху слева на право (или наоборот).

2)  Каждое число, оказавшееся вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата на число позиций, равное порядку квадрата. В нашем примере 16, 21 и 22 оказались слева от квадрата, поэтому они переносятся на 5 позиций вправо. 24, 25 и 20 оказались под квадратом, поэтому переносятся на 5 позиций вверх

Магический квадрат 5х5 готов!

Более того, для больших квадратов с нечетным количеством клеток этот способ тоже подходит, только надстройку надо делать побольше и числа перемещать на число клеток, равное стороне квадрата.

Магические квадраты 2*2 и 3*3 порядка.

  Магических квадратов 2*2 не существует. Возникают самые разные вопросы, связанные с магическими квадратами. На одни из них ответы давно найдены, на другие только предстоит найти.

Ранее отмечалось, что квадрат 3-го порядка является самым простым. Ну а меня заинтересовало,  почему же  не существует магический квадрат 2-го порядка?

Оказывается, квадрат размером 2x2 должен был бы состоять из чисел 1, 2, 3, 4, а его постоянная - равняться 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Итого шесть. А  комбинаций всего две: 1+4 и 2 + 3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5  ( в  строках,  столбцах, по диагоналям) но  не одновременно.      

  Не менее удивительно то, что существует всего один магический квадрат 3-го порядка,  так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него путём перестановкой строк (а) или столбцов (б), либо путем поворота исходного квадрата  на 900(в) или на 1800(г). Общее число квадратов, которые можно составить из девяти чисел, равно 362 880.

Исходный квадрат

   а                                    б                                           в                                      г

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера.

 Например:  существует 880 магических квадратов порядка 4 и  275 000 000 магических квадратов порядка 5.

Применение магических и латинских квадратов.

Область применения магических квадратов как оказалось до конца не изучена. Если опираться на просматриваемые передачи, документальные фильмы и научную литературу, то можно с уверенность сказать, что магические квадраты особой популярностью пользуются в астрологии,  у прорицателей  и врачевателей. Арабы  принимали квадраты за  талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий и от злых духов.

Традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны (число 9) обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, отгоняет злых духов, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны,  когда Солнце или Луна находится в созвездии Рака.

Однако, существуют и магические квадраты для стихий и знаков Зодиака.

Квадрат с символикой «ло – шу» относится к Сатурну. В качестве талисмана он должен придавать уверенность и силу. «Ло-шу»  в  фэн-шуй — основная структура для многих расчетов.  Применяются как символ защиты: над или рядом с входной дверью как  амулет.

Кроме этого есть ещё несколько сфер применения магических квадратов в жизни людей.

1. Шифрование текстов

        Шифруемый текст вписывали в магические квадраты нужного размера в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения.

Пример магического квадрата и его заполнения сообщением показан на рисунке.

1 АПРЕЛЯ  

ДЕНЬ СМЕХА

Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по строкам, имеет  вид: АПАМ ЕНЬД ЕЛЯС РХЕ1.

2. Агротехника

         Пусть требуется испытать 3 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем нужно учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 9 делянок. Первый сорт пшеницы посадили на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на делянках, соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рис. сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка (на рис. этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры, стоящие в клетках рисунка, пусть означают : первая - количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на участок, а вторая - количество вносимого удобрения второго вида.  Здесь реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

3) Работая с источниками сети Интернет, я нашёл информацию о том, что алгоритм магического квадрата является  главной новинкой для изготовления платформы ЖК-телевизоров Toshiba.   

Магический квадрат образует группа из 16 пикселей (квадрат 4 на 4), в котором в каждый момент времени с определённым интервалом зажигается одно и то же число разных пикселей по горизонтали, вертикали и диагонали. Это обеспечивает плавные цветовые переходы не заметные человеческому глазу и даёт  изображение на экране.

  4) Математические задачи и развивающие головоломки.

     Существует ещё одна область применения магических квадратов – это развивающие головоломки – судоку (что с японского дословно означает «числа – рядом»). Судоку был изобретён известным математиком Леонардом Эйлером в 18 веке, но в газетах и журналах эта головоломка появилась в конце 70-х годов в Америке. Решение судоку стало самым популярным видом досуга наряду с кроссвордами и математическими задачами.
   Сегодня существуют клубы судоку, книги по стратегиям игры, видео, соревнования, игровые шоу. Сборники судоку издаются огромными тиражами. Выпускаются судоку для мобильных телефонов. Можно встретить карманные электронные судоку. Журналы рекомендуют детям и взрослым играть в эту игру для совершенствования логики мышления, считается, что игра замедляет развитие умственных расстройств у людей, страдающих болезнью Альцгеймера. Судоку называют кубиком Рубика 21 века, а также самой захватывающей головоломкой в мире.

ΙΙ. Практическая часть

Магический квадрат Пифагора

   Людей всегда привлекает что-то мистическое. Нам всегда интересно, что нас ожидает в ближайшее время и, поэтому мы прибегаем к гаданиям, магическим расчётам пытаясь тем самым оценить качества  натуры, которыми нас наделила матушка – природа.

Великий ученый Пифагор,  считал, что всем на свете управляют числа, и сущность человека заключается в числе – дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень  здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

  Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере и примере моих родителей.

 Итак, моя дата рождения 16.08.1998:

1) Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 1+6+8+1+9+9+8=42.

2) Складываем цифры результата: 4+2=6.

3) Из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 42-2=40.

4)  Складываем цифры последнего числа:  4+0=4.

5) Складываем – 1-ю и 3-ю, и 2-ю и 4-ю суммы: 42+40=82, 6+4=10.

Получили числа 16.08.1998,42,6,40, 4, 82,10.

Составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются.

Мой квадрат будет выглядеть следующим образом. Каждая ячейка квадрата характеризуется отдельно ( см. Приложение).

В результате исследования своих качеств личности, получается: у меня спокойный, покладистый характер(яч. 1); большой запас биоэнергетики (яч 2); обладаю крепким здоровьем (яч 4);  я охотно тянусь к физическому труду и искусству (яч 6); ответственен (яч 8),  учусь всегда неохотно, потому что знания даются мне легко (яч 9).

     Квадрат мамы                                                     Квадрат папы

Я провёл подобные подсчёты для родителей и озвучил им результаты, а затем  попросил их подумать  о том, совпадают ли эти качества с их представлением о себе.

   Получились следующие результаты: Да – психологический портрет соответствует диагностики магических квадратов Пифагора, Нет – не соответствует.

 1. Целеустремлённость

 2. Биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувствительность к атмосферным изменениям.

3.Точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

4. Здоровье.

5. Интуиция, ясновидение.

6. Отношение к труду.

7. Определение меры таланта.

8. Долг, обязанность, ответственность.

9. Ум, мудрость.

Анализируя данные таблицы, следует отметить:

1. Мама: Согласна, что она целеустремлённа, чувствительна, пунктуальна, организована, трудолюбива, однако она не считает себя диктатором, ясновидящей, обладательницей крепкого здоровья и безответственной, как показали подсчёты по Магическому квадрату Пифагора.
2. Папа: Согласен с тем, что он очень эмоционален, любит свою работу, особыми талантами не обладает, ответственен и помогает всем советами, однако Магический квадрат Пифагора не показал его целеустремлённость, пунктуальность, ответственность (хотя этими качествами он  обладает). Он не является эгоистом, но характер у него сильный и волевой.

Та же ситуация получилась и с остальными. На основании этого я сделал вывод, что не следует слепо верить всему магическому. Может быть некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.

Построение квадрата 7 – го и 9 – го порядка универсальным методом

По принципу, описанному выше я, вместе с мамой построил магический квадрат 7-го порядка:

1. Достраиваем квадрат до ромба и вносим числа по диагоналям.

2. Оставшиеся за квадратом числа переносим вниз, вверх, вправо и влево на число клеток равных порядку квадрата.

В получившемся магическом квадрате суммы чисел по всем вертикалям, горизонталям и диагоналям равны 175.

Квадрат 9 – го порядка

В магическом квадрате 9-го порядка  суммы чисел по всем вертикалям, горизонталям и диагоналям равны 369.

Заключение

В моей работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество  людей и способствовали развитию других разделов математики.

Ближайшие родственники магических квадратов – латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов в агротехнике, при шифровании текстов.

Проводя исследовательскую работу, я научился строить магические квадраты универсальным способом и построил квадраты 7-го и 9-го порядка.

          Изучая магические квадраты, мною был обнаружен еще один занимательный квадрат - квадрат Пифагора, представляющий исторический интерес и, возможно, полезный  для составления психологического портрета личности. Я провел исследование, насколько магический квадрат Пифагора  соответствует реальным качествам человека. В эксперименте участвовали мои родные и близкие. При анализе результатов выяснилось, что его магические свойства совпадают частично. На основе этого я сделал вывод: не следует всегда верить всему магическому. Может быть некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.

Тем не менее, магические квадраты существуют, и каково бы ни было их значение, или назначение, каким бы ни было отношение к ним со стороны математиков, или мистиков, одного у них не отнять — бессмертной красоты числовых сочетаний!

Выполняя эту работу я много узнал о Магических квадратах, однако так же многое мною осталось не изучено.  

Выполняя свою исследовательскую работу, я получил огромное удовольствие и считаю, что «точку» в моей работе ещё ставить рано, и  буду стремиться к  дальнейшему исследованию способов заполнения магических квадратов.

Используемые источники

1. Материал из Википедии — свободной энциклопедии.

2. М.М. Постников «Магические квадраты». – М.: Наука, 1964

3.  Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.

4.И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.

5.  Газета «Оракул» -  Числа судьбы ., издательский дом  «ЛОГОС – МЕДИА».,2003г

6. krugosvet.ru Большая Советская  Энциклопедия «Кругосвет».

7. http://ru.wikipedia.org/wiki 

8.  http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/print.htm 

9.  http://www.kspu.ru/magazine/no4/pub/pr3-4.htm 

10.http://bspu.ab.ru/Department/WMiP/Metod_material/comb/dictonary/magic_ ….. square.html 

11.http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html 

Приложение

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных, а женщины держат свою семью в кулаке.

11111 – диктатор.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное.

Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 –  большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары.  

222 – знак экстрасенса.

Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. 

Ячейка 4 – здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира.

Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди  тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко.  

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний.