Исследовательская работа «Почему мы не пользуемся формулами Кардано?»

Слайд 1
Проект «Почему мы не пользуемся формулами Кардано?»
Авторы: Воронина Елена,9 класс Кучков Кирилл, 11 классРуководители: Парфенова Елена Витальевна, Топчиева Ольга Николаевна, учителя математики.

Слайд 2
Актуальность
Поиск алгоритма решения кубических уравнений

Слайд 3
Предмет исследования
Кубическое уравнение
ax3 + bx2 + cx + d =0
x = y - (b / 3a)
y3 + py + q = 0

Слайд 4
Историческая справка
Кардано
Тарталья

Слайд 5
Кардано
Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного уравнения вида x3 + ax + b = 0. Он же первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений. В действительности Кардано не открывал этот алгоритм и даже не пытался приписать его себе. В своём трактате «Великое искусство» («Ars magna») он признаётся, что узнал формулу от Никколо Тартальи, пообещав сохранить его в тайне, однако обещание не сдержал и спустя 6 лет (1545) опубликовал упомянутый трактат. Из него учёный мир впервые узнал о деталях замечательного открытия. Кардано также включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени. Кардано также обнаружил, что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при  с противоположным знаком (одна из формул Виета).[3]Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико, так как к этому моменту математики уже разработали численные методы для вычисления корней уравнений любой степени с хорошей точностью; один из таких расчётных алгоритмов («метод двойного ложного положения») разработал и подробно изложил в «Великом искусстве» сам Кардано. Однако открытие нового теоретического метода, неизвестного ни грекам, ни арабам, воодушевило математиков Европы. Оно также стало основой для введения одного из важнейших математических объектов — комплексных чисел. Продолжателем исследований итальянской школы алгебраистов стал Рафаэль Бомбелли.В историю криптографии Кардано вошёл как изобретатель несложного шифровального устройства, получившего название «решётка Кардано» (квадрат с вырезанными клетками). Опубликована также (посмертно) его «Книга об игре в кости» — исследование по математической теории азартных игр. Это один из первых серьёзных трудов по комбинаторике и теории

Слайд 6
Таталья
В оставленных Тартальей сочинениях он рассматривает не только вопросы математики, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики и топографии. Так, в первом из его сочинений, «Nuova scienza» (1537), он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда, причём утверждает, что траектория эта на всём её протяжении есть кривая линия, между тем как до него учили, что траектория снаряда состоит из двух прямых, соединённых кривой линией. Вместе с вопросами артиллерии Тарталья занимался также и вопросами укрепления городов и фортификацией вообще и в сочинении «Quesiti et invenzioni diverse» (1546) он предлагает даже особую систему фронта, он трактует также о топографической съёмке с помощью буссоли и излагает историю открытия им решения кубических уравнений. В сочинениях «La travagliata invenzione» и «Ragionamenti sopra la Travagliata invenzione» (оба 1551 г.) говорится о разных изобретениях автора, которые он приписывает себе, но все они уже изложены в 1550 г. в книге Кардано «De subtilitate» и принадлежат последнему.Наиболее обширное сочинение автора называется «Generale trattato de numeri e misure» (1556—1560); в нём подробно рассматриваются многие вопросы арифметики, алгебры и геометрии.По словам Тартальи, он самостоятельно открыл общий алгоритм решения кубических уравнений, несколько ранее найденный Сципионом дель Ферро. В 1539 году Тарталья передал описание этого метода Дж. Кардано, который поклялся не публиковать его без разрешения Тартальи. Несмотря на обещание, в 1545 году Кардано опубликовал этот алгоритм в работе «Великое искусство», и по этой причине он вошёл в историю математики как «формула Кардано».Вопрос о том, действительно ли Тарталья независимо открыл метод дель Ферро, неоднократно обсуждался [1]. Высказывалось предположение, что на самом деле Тарталья каким-то образом получил доступ к записям дель Ферро. В качестве косвенных доказательств этой гипотезы историки ссылались на то, что других серьёзных математических достижений у Тартальи не было. Однако прямых свидетельств в пользу указанного предположения найти не удалось.

Слайд 7
Формула Кардано

Слайд 8
Проблема
Годится ли формула для решения кубического уравнения к практическому применению ?

Слайд 9
Гипотеза
Можно предположить, что формулы громоздки, неудобны для запоминания, а вычисления по ним занимают много времени.Также можно предположить, что можно предложить иные универсальные пути для решения кубических уравнений.

Слайд 10
Проверка гипотезы
Попробуем применить эту формулу к решению конкретных уравнений:Пример 1Пример 2Пример 3

Слайд 11
Пример 1
x3 +6x – 2 = 0
p = 6; q = -2

Слайд 12
Пример 2
x3+3x – 4 = 0

Слайд 13
Пример 3
(x + 1)(x + 2)(x-3)=0
x3-7x-6=0

Слайд 14
Исследование функции
f(x)=x3+px+qf’(x)=3x2+pp>0p<0

Слайд 15
Схематическое изображение графика функции:
x
x
x
Y
Y
Y

Слайд 16
Сколько решений имеет уравнение:
-одно решение
-три решения

Слайд 17
Сколько решений имеет уравнение:
-одно решение
-три решения

Слайд 18
Вывод
Формула Кардано неприспособленна для практического решения кубических уравнений.Формула дает ответ на классический вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах».

Слайд 19
Спасибо за внимание!