Магические квадраты

МАГИЧЕСКИЕ  КВАДРАТЫ

Проектная работа

Ученицы 5А класса АОУ школа №6

Новоселецкой Екатерины

Руководитель проекта:

Потехина Т.В.

Долгопрудный, 2016

Содержание

1. Вступление
2. Что такое магические квадраты?
3. Классификация магических квадратов
4. Магические квадраты от древности до наших дней
5. Правила составления магических квадратов
6. Заключение
7. Список литературы

ВСТУПЛЕНИЕ

Сказки с самых малых лет пленяли мое воображение. Особенно сказки народов Востока. В них всегда много всяких превращений, волшебства и магии. Увидев «магическую» тему проекта, я, не задумываясь, остановила свой выбор на ней.

ЧТО ТАКОЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ?

Магический квадрат – это квадратная таблица с числами, которые подобраны так, что их сумма по диагоналям, по вертикалям и по горизонталям одинакова. Количество чисел зависит от размера квадрата. Например, если квадрат 3х3, то для его заполнения потребуется 9 чисел.

КЛАССИФИКАЦИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до n2. Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n ≥ 1, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан на рисунке 1 (слева), он имеет порядок 3. Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный (рисунок 1 справа). 

Рисунок 1. Магические квадраты 3х3 – традиционный (слева) и нетрадиционный (справа).

Методы построения магических квадратов зависят от их четности, в соответствии с которой квадраты делятся на нечетные, четно-нечетные и четно-четные (см. раздел 4).

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ОТ ДРЕВНОСТИ ДО НАШИХ ДНЕЙ

При археологических раскопках в Китае и  Индии были найдены различные квадратные амулеты.

Полагают, что первый китайский магический квадрат Ло Шу был создан мифическим основателем китайской цивилизации Фу Си, который правил с 2852 по 2737 год до н. э.

Рисунок 2. Магический квадрат Ло Шу и его современное представление.

Еще один пример магического квадрата (6-то порядка) изображен с помощью арабских цифр на китайской железной табличке, датируемой династией Юань (1271–1368).

Знаменитым магическим квадратом Индии является квадрат 4х4, датируемый 10 в. н.э. и изображенный на джайнистском храме в Кхаджурахо.

Рисунок 4. Магический квадрат из храма в Кхаджурахо и его современное представление.

В средние века магические квадраты были не менее популярны. На своей гравюре «Меланхолия» Альбрехт Дюрер младший (1471-1528) запечатлел один из них. Любопытно, что числа в середине нижней строки указывают на дату написания гравюры – 1514 г.

Составление магических квадратов было интересным развлечением среди математиков того времени. Соревнуясь между собой, они находили квадраты все большего и большего размера. Есть сведения, что одним из таких квадратов стал квадрат 43х43, содержащий числа от 1 до 1849.

Рисунок 6. Магический квадрат 12х12.

ПРАВИЛА СОСТАВЛЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Всего существует несколько десятков методов построения магических квадратов.

Метод террас

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним ее диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до n2.

После этого для получения классической матрицы n-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером n x n, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

Метод четырех квадратов

Как мы знаем, магическим квадратом чётно-нечётного порядка называется квадрат порядка n=4k+2 (k=1,2,3…), то есть порядок таких квадратов делится на 2 (чётный), но не делится на 4. Первый квадрат чётно-нечётного порядка имеет порядок n=6.

Разобьём квадрат 6х6 на четыре квадрата 3х3 (см. рисунок 8 слева). В каждом из этих квадратов построим магические квадраты третьего порядка, но из разных чисел. Квадрат в левом верхнем углу заполним числами от 1 до 9, это обычный магический квадрат третьего порядка. Остальные три квадрата будут нетрадиционными магическими; квадрат в правом верхнем углу заполним числами от 19 до 27, в левом нижнем углу – числами от 28 до 36, в правом нижнем – числами от 10 до 18. Три нетрадиционных магических квадрата строятся автоматически; так например, квадрат в правом верхнем углу получается из основного магического квадрата третьего порядка прибавлением к числам во всех ячейках числа 18. Аналогично в двух других квадратах, только число прибавляется другое (в одном случае – 27, в другом – 9). Заполнив таким образом все четыре квадрата 3х3, внимательно посмотрим на результат. Оказывается, мы получили почти готовый магический квадрат шестого порядка. Надо только поменять местами три пары чисел: 2-29, 5-32, 4-31. На рисунке 8 (справа) получился готовый магический квадрат шестого порядка.

Рисунок 8. Метод четырех квадратов при построении четно-нечетных магических квадратов.

Метод квадратных рамок

Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n=4*k (k=1,2,3…), то есть порядок такого квадрата делится на 4. Простейший квадрат чётно-чётного порядка – это квадрат четвёртого порядка. Один из методов построения магических квадратов чётно-чётного порядка называется методом квадратных рамок. Рассмотрим его на примере магического квадрата восьмого порядка. На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис. 9) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам). Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до n2 по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата.  При этом первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа клетки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д. Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис. 9.

Рисунок 9. Построение и итоговый вид четно-четного магического квадрата 8х8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Магические квадраты с новой стороны открывают нам увлекательный мир натуральных чисел. Еще древние мыслители и жрецы обнаружили их замечательные свойства и использовали их в своих ритуалах. Во все времена людей привлекала красота математических построений, и магические квадраты являются ярким тому примером.

При работе над проектом я узнала, насколько древними и сложными могут быть, казалось бы, обыкновенные таблички с числами.

Список литературы

1. «Я познаю мир. Математика». Савин А.П., Станцо В.В., Котова А.Ю. под ред. Хинн О.Г. Москва, 1997
2.   https://ru.wikipedia.org/wiki/Магический_квадрат
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
4. http://www.taliscope.com/Collection_en.html
5. http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm
6. http://www.klassikpoez.narod.ru/metody.htm