" Исследование некоторых кривых в полярной системе координат."
Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Хочется рассказать о таком случае: на одном из внутренних рейсов по РФ в лайнере отказали все навигационные приборы, и экипаж успешно посадил борт при помощи обычного стакана с водой, который показывал угол наклона самолёта относительно земли. А лётная полоса – вот она, из лобового стекла видна. Можно вспомнить, что в повести Р.Л.Стивенсона «Остров сокровищ» описано, как старый пират Флинт определил местоположение закопанного клада: «Десять футов к северу от высокого дерева на склоне Подзорной Трубы». А как составить карту местности, как прочитать координаты цели, выдаваемой радиолокационной станцией или как интерпретировать томографию сердца? Значит, обычной школьной прямоугольной системой координат недостаточно, для описания некоторых процессов и предметов из окружающего пространства. Думаю, что некоторые элементарные преобразования кривых в ПСК будут соответствовать элементарным преобразованиям в ДСК. Для проведения исследования использовал следующие методы:
- обзор литературы по теме;
- анализ различных систем координат;
- анкетирование одноклассников;
- эксперимент.
Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые я проиллюстрирую на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 dlya_konferentsii.ppt | 1.49 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель работы: Изучение принципов построения графиков в полярной системе координат. Задачи: - организовать поиск и отбор материала по теме; - научиться строить графики в полярной системе координат, - сравнить полярную и декартовую прямоугольную системы координат; - научиться переводить график кривой из одной системы в другую; провести собственное исследование
Объект исследования: полярная система координат. Предмет исследования: элементарные преобразования кривых, заданных в ПСК на примере кардиоиды. Методы исследования: - обзор литературы по теме; - анализ различных систем координат; - анкетирование одноклассников; - эксперимент. Гипотеза: Некоторые элементарные преобразования кривых в ПСК будут соответствовать элементарным преобразованиям в ДСК.
При изучении уравнений с двумя переменными, графического способа решения систем уравнений возникла необходимость построения графиков уравнений с двумя переменными типа 2х+3 y =5, x 2 + y 2 =9, x y =4 и т.п. Особый интерес вызвали графики уравнений ( x 2 + y 2 ) 2 =2( x 2 - y 2 ). В декартовой системе координат это построение будет весьма сложным. В полярной же системе координат эта процедура намного упрощается. Кроме непосредственного интереса эта тема привлекает внимание ещё и тем, что найдёт свое приложение в «Интегральном исчислении». Актуальность:
Существуют разные версии о том, как и когда формально ввели полярную систему координат. Ещё в древности намёки на полярные координаты появлялись у греческого астронома Гиппарха, у Архимеда. Динострат использовал их в неявном виде при исследовании квадратрисы в IV веке до н.э . Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. Чёткое представление об определении точки на плоскости при помощи полярных координат имеется у Л. Эйлера и С.Е. Гурьева.
Система координат Системой координат называется совокупность одной, двух, трёх или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, - начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат.
Любая отличная от начала координат точка М однозначно определяется своим расстоянием ОМ = r от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком ОМ. Кроме того, задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков. Полярная система координат – двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом.
Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Установим связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Рассмотрим АОМ
Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Пример 1. Требуется построить точку М ( 2 ; ) в полярной системе координат. Проведем луч ОР под углом к полярной оси ОЕ и отложим от полюса отрезок ОМ, равный двум единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будут искомой точкой . Пример 2. Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой М ( ; ). Решение: По формулам получаем Ответ: М( 3; )
Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Пример 3. Прямоугольные координаты точки А (1; ). Требуется найти ее полярные координаты. Решение: По формуле получаем . Зная получим откуда Ответ: А( 2 ; )
Некоторые кривые в полярных координатах. Окружность. Уравнение вида r = K = const определяет окружность с центром в полюсе радиуса K .
2) Спираль Архимеда
3) Кардиоида
Преобразования кардиоиды.
Преобразования кардиоиды.
Прямоугольная СК Полярная СК Наиболее простая, часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению. Уравнения некоторых кривых (окружности) в ПСК записываются проще. Распределяются на пространство путем добавления еще одного угла. Сравнение полярной и прямоугольной системы координат.
Прямоугольная СК Полярная СК Прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом. Началом координат служит точка пересечения координатных осей. В ПСК фиксируется точка, являющаяся началом координат, и координатная ось, - прямая, проходящая через это начало.
Прямоугольная СК Полярная СК Прямоугольная система координат может быть двухмерной или трехмерной. Полярная система координат может быть только двухмерной. В прямоугольной системе координат отношения между точками можно установить только путем применения тригонометрических преобразований. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов.
Полярная система координат в жизни Полярную систему координат часто применяют в навигации , поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. В авиации , для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. Графики в полярной системе координат помогут нам лучше понять смысл квадратурной модуляции . Полярные координаты нередко возникают при решении различных задач в электротехнике , акустике , гидростатике и механике .
Материал, представленный в работе, расширяет кругозор, пополняет теоретические знания и практические навыки. Мы рассмотрели некоторые примеры, показывающие необходимость и актуальность изученной темы, и пришли к выводу: В ряде случаев при указании места расположения какого-нибудь объекта удобнее определять не его декартовы координаты, а направление и расстояние до объекта, то есть полярные координаты. Я убедился, что все они играют важнейшую роль в различных средах деятельности человека. Построение некоторых линий в полярной системе координат намного проще, а элементарные преобразования уравнений кривых схожи, чем в декартовой СК. Заключение:
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Рисуем домики зимой
Рисуем белые грибы пастелью
Лесная сказка о том, как согреться холодной осенью
Неньютоновская жидкость
Пчёлы и муха