Математический инстинкт пчел.

Управление образования Красносулинского района

Донская Академия наук юных исследователей

(Красносулинский филиал)

МБОУ ДОД ГЦВР «ДОСУГ»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 средняя общеобразовательная школа № 3

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИНКТ  ПЧЕЛ

Материалы исследовательской работы

Автор – Нагапетян Нагапет,

ученик 10 класса МБОУ СОШ №3,

воспитанник творческой мастерской

 «Математика» МБОУ ДОД ГЦВР «ДОСУГ»

Научный руководитель –

Чернышев Эдуард Николаевич,

учитель математики МБОУ СОШ №3

Красный Сулин

2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление …………………………………………………………………….стр.2

Введение……………………………………………………………………….стр.2

Математические модели пчелиных сот и задачи исследования……………стр.3

Проблема паркета из правильных многоугольников……………………….стр.5

Проблема рационального использования строительного материала………стр.7

Выводы…………………………………………………………………………стр.9

Литература…………………………………………………………………….стр.10

ВВЕДЕНИЕ

Пчелы - удивительные творения природы. Жизнь и деятельность пчел всегда привлекала внимание исследователей своей изумительной красотой, изяществом, трудолюбием, организованностью и дисциплиной. Ведь только пчелы на практике решили задачу строительства ячейки для размещения возможно большего количества меда и экономии воска в ограниченном пространстве.

Совершенство природы до сих пор не устает удивлять человека, а математика – это уникальное средство познания красоты и природы. Миллионы лет пчелы строят соты правильной шестиугольной формы. Были найдены окаменелые останки пчелиных ульев возрастом в 100 миллионов лет. (Термин «правильный» характеризует фигуру (тело), у которой все углы и все стороны (ребра) соответственно равны). Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья. При этом  пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, чтобы не было просвета. У нас возникли вопросы: "Почему пчелы строят соты именно так? Почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, гораздо проще сконструировать? Зачем пчелы строят донышки своих ячеек в форме части трехгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы? Нельзя ли было поступить проще, сделать дно сот плоским, т. е. обычным правильным шестиугольником? Какая же здесь выгода для пчел?» На все эти вопросы мы постараемся дать ответ в своей исследовательской работе.

Объект исследования: пчелиные соты, структурный элемент пчелиных сот – пчелиная ячейка.

Предмет исследования:  математические (геометрические) принципы построения и модели  пчелиных сот.

Гипотеза: пчелиная ячейка – это природный математический объект, в котором решены задача оптимизации и  проблема рационального использования строительного материала.

Цель работы: изучить форму пчелиной ячейки, геометрический принцип её построения и доказать с помощью математического анализа, что пчелы, создавая такую ячейку, должны быть отличными «математиками, инженерами, архитекторами, экономистами»

Задачи: 

1. Изучить литературу и интернет источники по данному вопросу.
2. Познакомиться с геометрическими принципами построения пчелиных сот.
3. Выявить закономерности построения пчелиной ячейки.
4. Провести математический анализ строения пчелиной ячейки.
5. Проанализировать экономическую выгоду построения соты.
6. Рассмотреть использование геометрических закономерностей построения пчелиных сот в различных областях и в жизни человека.
7. Сделать выводы о  математическом инстинкте  пчел.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЧЕЛИНЫХ СОТ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

В течение длительного времени я исследовал строение пчелиных сот: изучал соты и основной структурный элемент сот – пчелиную ячейку: в улье, в рамке, в гнездах пчел, ос, шмелей, расположенных в различных местах (на деревьях, на чердаке дома, в старом улье); проводил наблюдение целиком, в срезе, под увеличительным стеклом; выполнял чертежи разверток пчелиной ячейки, делал моделирование соты, сравнивал моделированную ячейку с ячейкой пчелиной соты. Изучил литературу по данной теме, провел математические расчеты.

Если разрезать  пчелиные соты плоскостью перпендикулярно их ребрам, то станет видна сеть равных  друг другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета [6] (Рис. 1). По мнению местных пчеловодов  пчелы «выбрали» оптимальную форму устройства сот:

1. В таких формах лучше сохраняется мед (не вытекает).
2. Удобнее для пчел, так как тело пчелы имеет форму конуса. И если посмотреть на поперечное сечение, то оно близко к кругу. А значит остается меньше щелей между телом пчелы и стенками ячейки сот. За счет этого происходит экономия воска.

В литературе указаны фактические размеры пчелиных сот, варьирующиеся в зависимости от вида  пчел и климатических особенностей региона: диаметр основания составляет примерно 5,4 мм,  глубина ячеек варьируется от 1, до 4,1 мм; длина стороны основания составляет примерно 3,8 мм; в одной доске помещается более 9800 ячеек, а весит такая доска, наполненная медом  от 3,4 до 3,9 кг. [1, 5, 10]

Как же устроены пчелиные соты?

Пчелиные соты представляют собой   сложный многогранник – шестиугольную призму,  одним из оснований которой является правильный шестиугольник, а   другое основание представляет собой составленный из трех ромбов трехгранный угол [1] (см. Рис. 2).

Рис. 1                                                    Рис. 2

        Развертку  поверхности этого многогранника  можно представить  в виде  фигуры, составленной из  шести равных  прямоугольных трапеций, трех равных ромбов и  правильного шестиугольника. На Рис. 3  показана  развертка поверхности пчелиной ячейки без  плоского шестиугольного основания.  

Рис. 3                                            Рис. 4

При этом следует обратить внимание на то, что  общей частью отдельных ячеек в улье является ромб (Рис. 4).

Пчелиная ячейка  разбивается на десятигранники, т.е. на шестигранные призмы, ограниченные с одной стороны шестиугольником (вход в ячейку), с другой - тремя ромбами под определенным углом (дно). Два слоя ячеек вплотную входят друг в друга острыми выступами своих доньев и обращены открытыми шестиугольниками в противоположные стороны. Каждая пара таких слоев и составляет сот [6].

Такая совершенная архитектура пчелиных сот, которая экономно расходует строительный материал - воск, и практично использует пространство улья, уже давно приводит в изумление наблюдателей. Дарвин пытался объяснить, что пчелы строят такую ячейку на основе сложного инстинкта и связал с теорией естественного отбора [10]. Но его теория далеко не объясняет всех особенностей структуры сот. Нет сомнения, что математический инстинкт пчел есть глубочайшая загадка природы,  наглядные проявления которой мы исследуем в настоящей работе.

В данной работе я решаю три важные математические задачи.

Задача №1. Какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т. е. уложить их в виде паркета.

Задача №2. Даны три равновеликие друг другу фигуры - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Какая из данных фигур имеет наименьший периметр?

Задача №3. Из двух данных  многогранников (правильная шестиугольная призма и пчелиная ячейка) с равными объемами найти тот, у которого наименьшая площадь поверхности. Сравнить площади поверхностей правильной шестиугольной призмы и пчелиной ячейки.

Содержание и результаты решения данных задач приведены ниже.

ПРОБЛЕМА  ПАРКЕТА ИЗ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Итак, какими же правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т.е. уложить в виде паркета?

Известно, что  сумма углов выпуклого  n-угольника равна

 Сумма углов правильных n-угольников, сходящихся в одной вершине паркета равна 3600. Тогда, если – число углов, сходящихся в одной вершине, то  ;

С учетом того, что    получаем  пары решений данного уравнения в натуральных числах:

Таким образом, заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, или квадраты, или правильные шестиугольники.  Пчелы остановили свой выбор на правильных шестиугольниках (Рис. 1).

Известно, что при строительстве торцовых мостовых шашкам придают шестиугольную форму, но делается это потому, что тупые углы меньше складываются, нежели прямые углы квадрата или острые углы треугольника [11. Пчелам особо с этим обстоятельством считаться не приходится, но им очень важно сэкономить воск для стенок ячеек. Так какой же из этих многоугольников, при равных площадях, имеет наименьший контур? Эта вторая математическая задача также верно решена пчелами, так как именно шестиугольник из трех упомянутых фигур имеет наименьший контур. Проверим  это, выполнив необходимые измерения и преобразования.

Задача состоит в следующем:  даны три равновеликие фигуры -  правильный треугольник, квадрат и правильный  шестиугольник. Какая из этих фигур имеет наименьший периметр?

Вывод: из трех правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник.

ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛЬНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ  СТРОИТЕЛЬНОГО МАТЕРИАЛА

Рис. 5

Решим следующую задачу: из двух данных  многогранников (правильная шестиугольная призма и пчелиная ячейка) с равными объемами найти тот, у которого наименьшая площадь поверхности; сравним площади поверхностей правильной шестиугольной призмы и пчелиной ячейки [3].

Дано: АВСКВ1М - призма, АВСА1В1С1-1/6 часть пчелиной соты. (См. Рис.5)

Найти: Vсоты

Решение:

1.Чтобы получить Vсоты, необходимо VАВСА1В1С1*6, а чтобы получить VАВСА1В1С1, нужно из Vпризмы-(VА1КМВ1 + VА1В1МС1).

2. Пусть АВ=а, ВС=а, АС=а (стороны равностороннего треугольника), АА1=m, А1К=n. КВ1=а, В1М=а, КМ=а (стороны равностороннего треугольника), А1В1=y, В1С1=y, A1C1=y, ВВ1=x, MC1=z, C1C=x-z (т.к. ВВ1=СС1).

3. Подставим конкретные числа, чтобы рассчитать объём соты.

     a=5, n=3, m=4, y=6, x=7, z=2.

4.Найдём VА1КМВ1 , с помощью формулы   , значит

  .

5. Найдём VА1В1МС1, с помощью формулы  , значит

.

6. Найдём сумму Vпирамид SV.

7.Найдём V АВСКВ1М, с помощью формулы ,

8. Найдём V1/6части соты, вычитая из V призмы SV, получаем

 .

9. Рассчитаем V соты, умножив V1/6части  на 6, получим

.

Таким образом, объем соты равен .

Теперь сравним площади поверхностей  соты и правильной шестиугольной призмы, имеющих равные объемы.

1. Найдём площадь поверхности соты:

Отсюда следует,  что площадь поверхности соты равна

, т.е. примерно 283,75.

2. Мы выяснили, что объём соты составляет
3. Т. к. основание 1/6 части соты является равносторонним треугольником, то в основании всей соты лежит правильный шестиугольник со стороной .
4. Найдём высоту призмы с помощью формулы .

Получаем:

5. Площадь поверхности призмы равняется сумме двух площадей шестиугольников и шести площадей прямоугольников.
6. Получаем площадь поверхности правильной шестиугольной  призмы:

Вывод: площадь поверхности правильной шестиугольной призмы  больше  площади поверхности соты при равенстве объемов этих многогранников.

ВЫВОДЫ

В результате всей проделанной работы я сделал следующие выводы: 1) Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку они заполняют пространство так, что не остается просветов. 2) Шестигранная форма соты – наиболее устойчивая форма в смысле распределения нагрузок, оптимальная природная форма. Доказано, что один килограмм сот выдерживает 25 кг меда. 3) При условии одинаковой площади многоугольников наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. 4) Пчелы строят донышки своих ячеек в форме части трехгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы. Общая часть соприкосновения ячеек в улье является ромбом.

5) Объемы пчелиной ячейки и правильной шестиугольной призмы в нашем исследовании были равны, но у «пчелиной ячейки-соты», - наименьшая (минимальная)  площадь поверхности, что выгодно с экономической точки зрения. Таким образом, только используя данную фигуру в построении сот, пчелы максимально сокращают расход воска. 6) Принцип «пчелиных сот» широко используется в архитектурных ансамблях всего мира в строительстве гигантских сооружений, в создании новых дизайн – проектов, эко и нано технологиях. В заключении мне бы хотелось сказать, что геометрический подход к природным явлениям позволяет увидеть внутренний мир, гармонию, структуру этого явления. А исследования, проведенные в ходе работы, знакомят и сближают нас с гармонией и целесообразностью природы. Так с помощью геометрии и математического анализа я прикоснулся к тайне математических шедевров из воска, еще раз убедившись во всесторонней эффективности математики и ее связью с природой. Таким образом, математический подход к природным явлениям позволяет увидеть внутренний мир природы.

Наше исследование  показывает, что можно использовать новый вид многогранника в качестве сосуда с наименьшей площадью поверхности и наибольшим объемом, а также использование геометрических закономерностей построения пчелиных сот в различных областях науки и жизни человека.  Актуальность работы в области архитектуры обусловлена увеличивающимся использованием формы пчелиных сот при строительстве зданий.Материал данной работы можно использовать на уроках математики и физики, биологии и экологии, экономики и технологии, а также на различных внеклассных мероприятиях.

Литература

1. Сергеев И.Н., Олехнин С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. М.:Наука, 1999.
2. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для вузов. М.:Наука, 1984.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.:Наука, 1986.
4. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ Семенов А.Л., Ященко И. В., Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И., Панферов В.С., Посицельский С.Е., Семенов А.В., Семенова М.А., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Шноль  Д.Э., Захаров П. И. – М.: Издательство «Экзамен», 2011.
5. http://pchela.org/bee/4849-Kak-pchyolam-udayotsya-postroit-matematicheski/
6. http://paseka.pp.ru/ustrojsvu-paseki/351-glava-xxii-um-i-instinkt-pchel.html
7. http://kipr-edu.ru/index.php?workid=1891
8. http://doroshenkoaa.ru/biologicheskie-osobennosti/povedenie-pchel-instinkt-opryatnosti
9. http://petrovalydmila1.ucoz.ru/publ/issledovatelskaja_rabota_quot_pchely_matematiki_quot/1-1-0-3
10. http://naceka-online.ru/scherbin/osnovi_ob5.html
11. http://www.resolventa.ru/demo/diaggia.htm