Исследовательская работа по математике: "Историческая ретроспектива формирования понятий "случайные события" и "вероятность"
Зарождение методологических основ теории вероятности относят к средним векам, когда часто возникала необходимость решения задачи обоснования возможного выигрыша в азартных играх в карты, рулетку и прочие, а также в деле страхования. Математики, проводившие исследования по теории вероятности, неоднократно пытались сформировать аксиоматику этой науки, но определения объектов часто претерпевали изменения ввиду определенной эндогенности изучаемых объектов. В современных условиях на территории Российской Федерации в школьную программу по математике снова включены главы по основам теории вероятности и сопряженной с ней науки – комбинаторики, а также статистики. Это обусловлено возрастающей потребностью в знаниях вероятностного анализа при решении задач естественнонаучного цикла. В работе представлен аналитический обзор развития теории вероятностей и изменения определений «случайное событие» и «вероятность», а также прослежена ретроспектива введения основ теории вероятности в школьную программу.
Работа очно представлена авторами на Научно-практической конференции обучающихся Красногвардейского района Санкт-Петербурга "Мир науки" 16 апреля 2016г., но опубликована не была.
Скачать:
Предварительный просмотр:
ГБОУ средняя общеобразовательная школа № 134
Красногвардейского района Санкт-Петербурга имени Сергея Дудко
Исследовательская работа
Историческая ретроспектива формирования понятий «случайные события» и «вероятность»
по математике
Авторы:
ученицы 9А класса
Пройдисвет Ксения
Морочко Ольга
Руководитель:
Нечаева Анна Евгеньевна
Учитель математики
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Исторические аспекты развития теории вероятностей
Глава 2. Эволюция преподавания теории вероятностей
Глава 3. Историческая ретроспектива формирования понятий «случайные события» и «вероятность» 9
Список литературы и информационных источников 3
Введение
«Почему-то все верят в чудеса,
а не в теорию вероятности…»[1]
Вероятность относится к числу понятий, которыми мы очень часто пользуемся в повседневной жизни, даже не задумываясь об этом. Например, на вопрос: «Мы пойдем завтра на футбол?» ‒ мы отвечаем: «Вероятно, пойдем». В этом коротком ответе имеется попытка оценить возможность появления данного события. Каждый день мы сталкиваемся с «вероятностью», когда пытаемся оценить возможность того или иного события и построить план на будущее. Например, когда мы одеваемся, мы оцениваем возможность того, что вечером похолодает, или берем зонт, предполагая, что возможно, пойдет дождь. Из этих всех примеров видно, что данная тема очень важна и актуальна в жизни людей. Но, когда же люди начали связывать понятие «вероятность» с математикой? Кто из ученых начал изучать эту тему? Какие понятия она в себя включает?
Актуальность выбранной темы также обусловлена возможностью знакомства с накопленным опытом в области исследования основных понятий теории вероятности.
Выдвигаемая гипотеза: теория вероятности, первоначально формируемая на интуитивных представлениях о событиях и явлениях, на современном этапе имеет строгие и лаконичные понятия «случайные события» и «вероятность», точно определяющие природу рассматриваемых явлений.
Целями нашей работы является:
- представить аналитический обзор истории зарождения теории вероятностей;
- представить ретроспективу изменения понятий «случайные события» и «вероятность»;
- подтвердить значимость современных понятий «случайные события» и «вероятность» для целей школьного образования.
Задачи:
- найти и систематизировать источники по теме;
- распространить знания о теории вероятностей и ее истории.
Методы исследования. В качестве методов исследования использовались такие общенаучные методы, как эмпирический метод, метод сравнения, обобщения.
Глава 1. Исторические аспекты развития теории вероятностей
в XV-XIX веках
Теория вероятностей[2], как наука, возникла в средние века, в связи с изучением азартных игр, таких как орлянка, кости, рулетка и т.д. Уже в конце XVII века, элементы теории вероятностей использовали в страховании, например, при страховании кораблей, подсчитывали шансы того, что корабль не будет захвачен пиратами, не будет потоплен и т.д.
Л. Пачоли[3] в математической энциклопедии «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций»[4] 1494 года, разбирает решение некоторых вероятностных задач, среди них задача о том, как разделить выигрыш между двумя игроками, если серия игр прервана досрочно. Например, игра продолжается до 60 очков, и победитель получает весь выигрыш в 22 дукатов, но, в ходе игры первый игрок набирает 50 очков, второй - 30, и тут игру приходится остановить. Задача состоит в том, что необходимо справедливо разделить исходный выигрыш. Предложенное Пачоли решение зависит от того, что понимать под «справедливым» разделом. Непосредственно, для этой задачи Пачоли предложил делить выигрыш пропорционально набранным очкам – 55/4 и 33/4, что дальнейшими исследователями признано неверным решением.
Изучением вопросов вероятности выигрыша в азартных играх занимались такие выдающие математики, как французы Б. Паскаль[5], П. Ферма[6] и голландец Х. Гюйгенс[7]. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, они первые сформулировали вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.
Член-корреспондент Российской Академии наук, швейцарец Я. Бернулли[8], в первой половине XVIII века, внес большой вклад в развитие теории вероятностей. По преданиям, первое знакомство Бернулли с теорией вероятности состоялось с трактата Гюйгенса «О расчетах при азартной игре», написанной в 1657 году [7, с. 295]. В ней ещё не было понятия «вероятность», в рассуждениях использовался термин «благоприятные возможности». Введение значительной части современных понятий теории вероятностей, и формулировку первого варианта закона больших чисел приписывают именно Я. Бернулли [10].
Среди ученых, внесших весомый вклад в развитие теории вероятностей, следует также назвать имена французских академиков С. Лапласа[9], С.Д. Пуассона[10], немецкого математика К. Ф. Гаусса[11], а также российских ученых, поддержавших эстафету развития теории вероятностей в XIX веке, М.В. Остроградского[12], Н.Д. Брашмана[13], Н.И. Лобачевского[14], П.Л. Чебышева[15] и его учеников - А.А. Маркова[16] и А.М. Ляпунова[17]
Глава 2. Эволюция преподавания теории вероятностей
в Российской школе
В России уже в первой половине XIX века рассматривался вопрос о включении основ теории вероятности в школьный курс математики, что связано с большим интересом российских математиков того времени к исследованиям в теории вероятностей. Благодаря их достижениям, теорию вероятностей в XIX веке именовали «российской наукой».
Н.Т. Щеглов[18], преподаватель алгебры Царскосельского лицея в своем учебнике предлагает к изучению некоторые вопросы теории вероятностей: «Простая или абсолютная вероятность. Относительная вероятность. Вероятности сложные. Вероятности для явлений одно другим заменяемых. Вероятности явлений в повторяемых опытах».
В одном из известнейших учебников России по алгебре середины XIX К.Д. Краевича[19] включены главы «Математическая выгода. О лотереях. О вероятности человеческой жизни. О страховании». К.Д. Краевич на интуитивном уровне, без строгих утверждений и доказательств, опираясь на примеры и задачи, рассказывает об основах теории вероятности.
Вопрос об изучении основ теории вероятностей в средних учебных заведениях активно обсуждался в России в начале XX века разными представителями общественности. Необходимость реформирования школьного математического образования с включением вероятностно-статистического материала признавалась как учеными-математиками, так и учеными естественнонаучного цикла. В 1902 году в «Дневнике XI съезда русских естествоиспытателей и врачей» [11] был опубликован план учебного предмета «теория вероятностей» для средних учебных заведений, на XIII съезде уже предложены две программы введения теории вероятностей и статистики в школу: программа-минимум и программа-максимум [12]. В этих программах было предложено изучать следующие вопросы теории вероятностей (табл. 1):
Таблица 1. Проект программных вопросов изучения теории вероятностей, предложенные на XIII съезде русских естествоиспытателей и врачей [3]
№ пп | По плану П.С. Фролова, директора Урюпинского реального училища | По плану П.А. Некрасова, профессора, члена комиссии министерства народного просвещения |
Обязательная программа (программа – минимум) | ||
1 | Теория вероятностей | Теория соединений |
2 | Понятие о вероятности | Понятие о вероятности |
3 | Бином Ньютона | Бином Ньютона |
4 | Теорема Я. Бернулли | Теорема Я. Бернулли |
5 | Статистические взаимоотношения | Видоизменения Я. Бернулли |
Дополнительные вопросы по программе - максимум | ||
6 | Перемножение вероятностей | Перемножение вероятностей |
7 | Сложение вероятностей | Сложение вероятностей |
8 | Задача Гюйгенса | Задача Гюйгенса |
9 | Теорема Байеса | Сличение статистических арифметических средин и математических ожиданий. Теорема Чебышева о средних величинах. Статистические взаимоотношения. |
10 | Свидетельские показания | Теорема Байеса |
11 | Задача Бюффона | Свидетельские показания |
12 | Задача о разорении игроков | Задача Бюффона |
13 | Математическое ожидание | Задача о разорении игроков |
14 | Страхование жизни | Некоторые приложения понятия математического ожидания. Цены. |
15 | Страхование жизни | |
Очевидна общность взглядов ученых на основные вопросы, необходимые для изучения в теории вероятностей, однако, включению этих тем в образовательные школьные программы Российской империи помешали Первая Мировая Война и Великая Октябрьская социалистическая революция.
О попытках включения изучения основ теории вероятности в школьное образование в советское время можно судить по объяснительной записке 1919 года к программе второй ступени Единой трудовой школы-коммуны для физико-технических групп, где говорится, что «теория вероятностей должна войти в курс математики» в связи с активным использованием статистического метода в современной физике. В 1925 году некоторые вопросы теории вероятности были включенные в программу по математике школ второй ступени. Шли публичные обсуждения массового внедрения в школы изучения основ теории вероятности, но только в 60-е годы XX века, в период нового этапа реформы математического образования, известные российские математики А.Н. Колмогоров[20], Б.В. Гнеденко[21], А.И. Маркушевич[22], А.Я. Хинчин[23], И.М. Яглом[24] подняли вопрос о включении элементов теории вероятностей в обязательный курс математики[3].
В этот период стали появляться многочисленные учебные материалы, в том числе написанные А.И. Маркушевичем, И.Г. Журбенко, в которых они пытались основные идеи и приложения теории вероятностей изложить в форме, доступной для понимания школьников. Одновременно, Н.Я. Виленкин[25] опубликовал несколько пособий по комбинаторному анализу с большим числом примеров и задач.
Однако, вопросы изучения теории вероятностей, были исключены из школьной программы по математике, о чем выразил свое сожаление основоположник отечественной школы теории вероятностей и математической статистики А.Н. Колмогоров. Основы теории вероятностей, тем не менее, преподавались в математических кружках, экспериментально в отдельных школах с углубленным изучением математики.
В первом десятилетии XXI века снова остро встал вопрос о включении изучения основ теории вероятностей в школьную программу по математике для всех российских регионов, так как, научным сообществом было показано, что эти знания необходимы для развития наук естественнонаучного цикла. В 2004-2005 годах инициатива была подхвачена учеными-математиками, педагогами и методистами в вопросах разработки учебных пособий, написании программ и соответствующих глав учебников, и сегодня российские школьники 9, 10, 11 классов в рамках обязательной программы по математике знакомятся с основами теории вероятностей, комбинаторики, статистики, в том числе, на примерах и задачах (Приложение 1).
Глава 3. Историческая ретроспектива формирования понятий «случайные события» и «вероятность»
Понятия «случайные события» и «вероятность», используемые сегодня в научной литературе и школьных учебниках, были предложены А.Н. Колмогоровым, сформировавшим в 30-е годы XX века аксиоматику теории вероятности российской математической школы.
Как же определяли эти понятия раньше?
Например, А.А. Марков в своей книге «Исчисление вероятностей» 1900 года дает следующее определение вероятности (рис. 1):
Рисунок 1. Выдержка из книги А.А. Маркова «Исчисление вероятностей» [4,с.1]
А.К. Миропольский в своей книге «Теория моментов», 1933 года издания, дает схожее определение «вероятности»: «Вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятных этому событию, к числу всех равновозможных случаев, соответствующих вопросу» [6].
Сегодня в школьных учебниках «вероятность» определяют как: «вероятность – степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события» [13], или: «вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N» [1].
Видно, что на интуитивном уровне приведенные термины «вероятности» схожи, но при этом сопутствующие термины могут требовать дополнительных объяснений и уточнений.
Понятие «случайное событие», которое используется сегодня в школьных учебниках, также было предложено А.Н. Колмогоровым. На рубеже XIX-XX столетий аналогичные рассматриваемые объекты называли просто случаем, событием, или явлением. Например, в лекциях В.П. Ермакова[26] «Теория вероятностей: лекции читанные в Императорском университете Св. Владимира» 1879 года говорится: «Все, что совершается в природе называется явлением. Каждое явление приводит ко многим случаям, в некоторых из этих случаев появляется одно событие, в других другое. Положим, например, мы вынимаем шар из сосуда, заключающего десять белых и два черных шара; при этом явления могут быть двенадцать случаев – это выход каждого шара; в десяти из этих случаев мы наблюдаем одно и тоже событие – это выход белого шара, в двух других случаях мы наблюдаем выход черного шара. Как число случаев, так и число событий в различных явлениях могут быть какие угодно числа, как конечные, так и бесконечно великие» [4].
А.А. Марков также не дает точного определения случая или события [4], а вводит их как интуитивные понятия (рис. 2)
Рисунок 2 Выдержка из книги А.А. Маркова «Исчисление вероятностей» [4, с 4]
Сегодня, в наших школьных учебниках для объяснения вероятностных закономерностей вводится следующее понятие: «Событие — любой факт, который может произойти или не произойти в результате опыта со случайным исходом».[27]
События могут быть достоверными или случайными. Если в результате каких-то действий событие в любом случае происходит, то это достоверное событие. Например, мы точно может утверждать, что завтра взойдет солнце, при подбрасывании стандартного игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7, учебный год когда-нибудь закончится. Случайным называется событие, если в результате какого-то действия событие может произойти или не произойти. Например, мы не может с уверенностью утверждать, что кошка родит именно троих котят, что завтра будет дождь или бутерброд упадет маслом вниз. Также, существует еще один тип событий. Невозможные события – это события, которые в результате любых действий произойти не может. Примерами невозможных событий являются такие утверждения: пингвины, летающие птицы, лето никогда не наступит.
Понятия «случайное событие» и «вероятность», используемые в современных учебниках, были сформулированы боле полувека назад и выдержали проверку временем. Примеры и задачи школьных учебников используют эту терминологию (Приложение 1), это стало обычным и привычным для многих поколений школьников.
Заключение
Проведенное исследование позволило:
- сделать аналитический обзор истории зарождения теории вероятностей,
- представить ретроспективу изменения понятий «случайные события» и «вероятность»
- подтвердить значимость современных понятий «случайные события» и «вероятность» для целей школьного образования
- и подтвердить тот факт, что теория вероятности, первоначально формируемая на интуитивных представлениях о событиях и явлениях, на современном этапе имеет строгие и лаконичные понятия «случайные события» и «вероятность», точно определяющие природу рассматриваемых явлений.
Результаты исследования могут быть использованы для дополнительных занятий по математике в форме факультативов, как дополнительный материал к урокам по теме «Числовые последовательности» для обучающихся школ.
Список литературы и информационных источников
- Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и другие, Алгебра. 9 класс: учеб. Для общеобразовательных учреждений /17-е изд. — М.: Просвещение, 2012.
- Барау И.Я.. Загадки мира цифр/Д.: Сталкер, 1997.
- Бунимович Е., Теория и практика преподавания вероятности и статистики в российской школе / URL: http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200901401 (дата обращения 01.04.2016)
- Ермаков В.П., Теория вероятностей: лекции читанные в Императорском университете Св. Владимира./ Тип. Императ. ун-та св. Владимира. 1879 г., сс.147.
- Марков А.А. Исчисление вероятностей/1900 г., сс. 283.
Митропольский А.К., Теория моментов/ Главная редакция общ. технической литературы.1933 г., cc. 222
- Прохоров А. В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г.. «Задачи по теории вероятностей»/ Наука. М.: 1986.
- Франкфурт У.М., Христиан Гюйгенс/ М., 1962, сс. 330
- Штейнгауз Г.. Сто задач/М.: «Наука», 1976.
- Большая советская энциклопедия, Бернулли/ М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
Дневник XI-го съезда русских естествоиспытателей и врачей в С.-Петербурге (20-30 декабря 1901 года) [в 11 вып.] /Ред. Б.К. Поленов. Изд. Распорядительным комитет съезда под ред. Б. К. Поленова.
- Дневник Тринадцатого съезда русских естествоиспытателей и врачей/ Тифлис. 1913. Ред. А. А. Мухаринский. Изд. Распорядительный комитет Съезда.
- Образовательный ресурс «Я Класс»/ URL:http://www.yaklass.ru/, (дата обращения 01.04.2016)
- Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона, URL:https://ru.wikisource.org/wiki (Дата обращения 01.04.2016)
Приложение 1
Покажем применение современных понятий «случайные события» и «вероятность» в практических примерах и задачах[2, 8, 6]:
Задача 1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12
Число благоприятных для события А исходов: 3
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Задача 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?
В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=0,4
Ответ: 0,4
Задача 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.
Количество элементарных исходов: 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Задача 4. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро)
Благоприятный исход –1 (решка)
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Задача 5. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?
Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятные исходы: 3 (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Ответ: 0,5
[1] Неизвестный автор
[2] Теория вероятности – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними
[3] Лука Бартоломео де Пачоли (около 1445 – 19 июня 1517) – итальянский математик [14]
[4] «Summa de Arithmetica. Geometria. Proportioni et Proportionalita»
[6] Пьер де Ферма ( 1601 - 1665) - французский математик, много работ посвящено разделам аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел [14].
[7] Христиан Гюйгенс ван Зёйлихем (1629 - 1695) - нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель. Один из основоположников теоретической механики и теории вероятностей [14].
[8] Якоб Бернулли (1655 - 1705) - швейцарский математик, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа [14].
[9] Лаплас с Пьер-Симон, маркиз де Лаплас (1749 - 1827) - французский математик, механик, физик и астроном, один из основоположников теории вероятностей [14].
[11] Иоганн Карл Фридрих Гаусс ( 1777 - 1855) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист [14].
[12] Остроградский Михаил Васильевич (1801 - 1861) — российский математик и механик, родившийся на Украине, один из известных математиков Российской империи в 1830—1860-е годы [14].
[13] Брашман Николай Дмитриевич (1796 - 1866) — российско-чешский математик и механик, преподаватель. Работал в России: с 1924 года - в Санкт-Петербурге, Казани; с 1834 года - в Москве, в Императорском Московском университете и до конца жизни[14].
[14] Лобачевский Николай Иванович (1792 - 1856) - русский математик, деятель университетского образования и народного просвещения [14].
[15] Чебышёв Пафнутий Львович (1821 - 1894)— русский математик, механик, основоположник петербургской математической школы, с 1859 года академик Петербургской академии наук и ещё 24 академий мира [14].
[16] Марков Андрей Андреевич (1856 - 1922) — русский математик, академик, внес большой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел [14].
[17]Ляпунов Александр Михайлович (1857 - 1918) — русский математик, механик, академик Петербургской Академии наук с 1901 года, член-корреспондент Парижской академии наук, член Национальной академии деи Линчеи в Италии и некоторых других академий наук и научных обществ [14].
[18] Щеглов Николай Тихонович (1800—1870) — педагог, автор учебников по арифметике, физике и пр.; 1823 г. - назначен преподавателем физики, начертательной геометрии и химии при Санкт-Петербургском университете, с 1829 г. – адъюнктом там же; с 1836 г. - профессор в Александровском лицее. Издал 12 изданий «Арифметики», СПб, 1932 - 1966; 3 издания «Начальных оснований физики», СПб., 1834-1845 и продолжение второй части «Метеорология» в 1846; «Начальные основания алгебры», СПб, 1853—57; проч. [14].
[19]Краевич Константин Дмитриевич (1833—1892), преподаватель физики в Санкт-Петербургских средних учебных заведениях, в горном институте, автор учебников алгебры и физики для средних и для низших школ, выдержавших много изданий [14].
[20] Колмогоров Андрей Николаевич (урождённый Катаев, 1903 -1987) — советский математик, один из крупнейших математиков ХХ века, основоположник современной теории вероятностей [14]
[21] Гнеденко Борис Владимирович (1912 - 1995) - советский математик, специалист по теории вероятностей, математической статистике, вероятностным и статистическим методам [14]
[22] Маркушевич Алексей Иванович (1908 - 1979) — советский математик и педагог, книговед; доктор физико-математических наук (1944), профессор(1946), действительный член (1950), вице-президент (1950—1958, 1964—1967) Академии педагогических наук РСФСР, действительный член (1967), вице-президент (1967—1975) Академии педагогических наук СССР; заместитель министра просвещения РСФСР (1958—1964) [14]
[23] Хинчин Александр Яковлевич (1894 - 1959) - советский математик, известный своими исследованиями в советской школе теории вероятностей. Член-корреспондент АН СССР (1939), профессор МГУ с 1927 [14]
[24] Яглом Исаа́к Моисе́евич (1921 - 1988) - советский геометр, автор популярных книг по математике; доктор физико-математических наук, профессор [14].
[26] Ермаков Василий Петрович, (1845-1922) - математик, член-корреспондент Петербургской академии наук, профессор [14]
[27] http://www.bymath.net/
Акварельный мастер-класс "Прощание с детством"
Серебряное копытце
В.А. Сухомлинский. Самое красивое и самое уродливое
Учимся рисовать горный пейзаж акварелью
Горка