Метод разбиения и дополнения. Задачи на клетчатой бумаге.

НОУ Школа «Ника»

 г. Москвы

Проект по теме:

«Метод разбиения и дополнения. Задачи на клетчатой бумаге.»

Авторы проекта учащиеся 6 «Б» класса:

Богомолова Кристина,

Потёмкина Анна ,

Смирнова Елизавета

Научный руководитель:

учитель математики

Рахманкулова Е.Р.

учитель информатики

Пархоменко В.А

Москва 2016

Содержание

Введение

1. Основная часть

1.1. Определение площади многоугольника

1.2. Аксиомы площади

 1.3. Метод разбиения и дополнения

2. Исследовательская часть. Обзор литературы по математике

    2.1. Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание

    2.2. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия.

3. Электронное пособие (тренажёр)

Заключение

Вывод

  Список литературы

Введение

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Д. Пойя    

Актуальность

 При решении задач, в частности на олимпиадах по математике, в различных международных математических конкурсах часто приходится сталкиваться с заданиями на клетчатой бумаге, так же такие задачи входят в экзамены по математике ОГЭ и ЕГЭ. В прошлом году мы представляли электронное пособие задач на разрезание, в этом году мы продолжили работу и разработали тренажёр по выполнению задания номер 12 ОГЭ,  так как отсутствуют наглядные электронные пособия, по формированию практических навыков по данной теме.

Проблемный вопрос:

«В чём заключается особенность задач на клетчатой бумаге, существуют ли специальные методы и приёмы решения таких задач?»

Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель работы:

создать электронное пособие (электронный тренажер), знакомящего школьников с задачами и вариантами их решений по данной теме.

     Задачи:

1. Исследовать литературу по теме.
2. Разработать комплект задач с подсказками и ответами.
3. Изучить возможности программы PowerPoint.
4. Создание электронного пособия.        

     Гипотеза: задач на клетчатой бумаге востребованы, оригинальны и полезны.  

      Надеемся, что наша работа даст представление учащимся об увлекательной области математики, содержащей теоретические аспекты и задачи по рассмотренной теме.

1.1.Определение площади многоугольника

Вопрос об измерении геометрических величин является одним из наиболее трудных.

Остановимся на понятии площади многоугольника.

Определить площадь многоугольника – значит поставить в соответствие каждому плоскому многоугольнику величину («площадь»), обладающих следующими свойствами:

1. Два равных многоугольника имеют одну и ту же площадь.
2. Многоугольник, составленный из нескольких многоугольников, имеет площадь, равную сумме их площадей.
3. За единицу площади принимается площадь квадрата со стороной, равной единице длины.

Итак, число называется площадью многоугольника, если оно удовлетворяет этим трём требованиям.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.

1.2.Аксиомы площади

   Учение о площадях в геометрии основывается на следующих четырёх положениях:

1. Площадь фигуры Х является не отрицательным числом.

2. Если фигура Х разбита на две части Х1 и Х2 , то S(Х)=S(Х1)+S(Х2)

3. Равные фигуры имеют равные площади.

4. Площадь некоторого квадрата, сторона которого является единицей длины, равна единице.

1.3. Метод разбиения и дополнения

    После того как установлена формула для вычисления площади прямоугольника, дальнейшее вычисление площадей проводится при помощи весьма простого приема, называемого методом разложения и основывающегося на аксиомах 2 и 4.  

   Рассмотрим две фигуры, изображенные на рис. 1 (все отрезки, составляющие фигуру креста, равны между собой; сторона квадрата равна отрезку АВ). Пунктирные линии, проведенные на рисунке, разбивают эти фигуры на одинаковое число равных частей (равные части обеих фигур отмечены одинаковыми цифрами). Этот факт выражают следующими словами: фигуры, изображенные на рис. 1, равносоставлены. Иначе говоря, две фигуры называются равносоставленными, если, определенным образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру.

Из свойств 2 и 4 следует, что две равносоставленные фигуры равновелики, т. е. имеют одинаковую площадь. На этом и основан простой способ вычисления площадей, называемый методом разложения (или разбиения). Метод этот (известный еще Евклиду, жившему свыше 2000 лет назад) заключается в следующем: для вычисления площади пытаются разбить фигуру на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простую фигуру (площадь которой нам уже известна).

 На рис. 2 дан способ вычисления площади параллелограмма: параллелограмм и прямоугольник, имеющие одинаковые основания и одну и ту же высоту, равносоставлены и потому равновелики. Таким образом, площадь параллелограмма равна произведению длин его основания и высоты.

Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равносоставленных многоугольника равновелики. Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равносоставлены? Утвердительный ответ на этот вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832 г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833 г.): два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставлены.

2. Исследовательская часть. Обзор литературы по математике

   В своей работе мы решили проанализировать содержание теоретической и практической части некоторых учебников.  В учебниках по математике для начальной школы (Б.П. Гейдман и др.) и для 5-6 классов (Н.Я. Виленкин и др.) геометрический курс представлен небольшими вкраплениями в курс математики. Рассматриваются, в основном фигуры: точка, прямая, плоскость, угол, треугольник, квадрат, прямоугольник, окружность, круг.

2.1.Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание

  В книге «Задачи на разрезание» представлено множество различных логический заданий с ответами (задачи на клетчатой бумаге, пентамино, трудные задачи на разрезание, разбиение плоскости, танграм, задачи на раскраску,  ) , однако отсутствуют теоретические аспекты и исторические справки.

2.2.Шарыгин И.Ф. , Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия

   Книга И.В.Шарыгина и Л.Н.Ерганжиевой «Наглядная геометрия», учебное пособие для 5-6 классов. В ней авторы дают набор задач и головоломок, формирующих у детей 10-12 лет пространственное представление и воображение; в книге представлены яркие, рисунки.

     «Наглядная геометрия» знакомит ребят с основными понятиями геометрии (точка, прямая, плоскость, окружность, шар, куб, тетраэдр и др.).

Здесь представлена упорядоченная система геометрических знаний, но не представлен метод разбиения и дополнения.

3. Электронное пособие (тренажёр)

Заключение

Задачи являются неотъемлемой частью школьной программы, так как они показывают на сколько понятен изученный материал. При решении задач мы знакомимся с методами математических рассуждений, расширяем кругозор, развиваем инициативу и логическое мышление.

К сожалению школьные задачи не показывают свей красоты математики, а лишь некоторые элементы.

Вывод: проанализировав школьные учебники и дополнительную литературу мы пришли к выводу, что не в одном из изданий не освещены вместе с заданиями теоретические аспекты, нет электронного пособия. В своей работе мы постарались представить и теорию (аксиомы площади, метод разбиения и дополнения), и практику (электронный тренажёр). Предлагаемые нами задачи служат хорошей иллюстрацией данного материала.

Наше пособие можно использовать не только для самостоятельной подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, а также на факультативах, кружках и элективных курсах.

Надеемся, что наша работа даст представление учащимся об увлекательной области математики, содержащей теоретические аспекты и задачи по рассмотренной теме.

В дальнейшем мы собираемся продолжить работу и увеличить число задач в нашем электронном пособии.

Список литературы

1. Кордемский Б.А. Математические завлекалки. - М.: Издательский дом ОНИКС: Альянс-В, 2000.
2. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений/ И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. – М.: Дрофа, 2006.
3. Энциклопедический словарь словарь юного математика/ Сост. Э-68 А.П.Савин. – М.: Просвещение, 1989.
4. Н.Я. Виленкин и др. Математика. 5 класс. -М.: Мнемозина, 2014.
5.  Н.Я. Виленкин и др. Математика. 6 класс. -М.: Мнемозина, 2014.
6.  Камаев П. Древняя китайская головоломка. Семь хитроумных фигур.//Математика, .№16,2001.
7. Интернет – ресурсы.