Проект "Правильные многогранники"
Может быть использована на уроках геометрии в 9-10 классах.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 proekt_mnogogranniki_1_-_kopiya.pptx | 2.23 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1. Платоновы тела. Числовые характеристики Платоновых тел. ( Олубовале Э., Каюмова И., Ломашук . А ) 2. Космология Платона( Многогранники - символы стихий).(Лопаткина Е., Васильева Е., Вознюк Н., Кириченко А .) 3. Многогранники в природе. Многогранники в устройстве мира. (Подольская К., Бондаренко Е., Шаронова Д., Шипилов Д., Серников Е .) 4. Многогранники в искусстве, архитектуре. (Лебедева В., Михайлова А .) 5. Построение сечений многогранников. Метод следов . (Попова Е., Бондаренко Е., Гришина Ю., Ломашук Д.) Содержание:
Платоновы числа . Числовая характеристика платоновых тел .
Правильные многоугольники. Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.
Существует 5 типов правильных многогранников: Тетраэдр Гексаэдр (куб ) Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр
Платон (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, ученик Сократа Главная заслуга Платона в истории математики заключается в том, что он признавал, что знание математики необходимо каждому образованному человеку. Он ввел традицию давать безукоризненные определения и определять, какие положения в математических соображениях можно принимать без доказательства. Платон первым обосновал метод доказательства от противного, который теперь широко применяется в геометрии. Выпуклые правильные многогранники - тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр - принято называть Платоновыми телами.
Тетраэдр. Составлен из четырех равносторонних треугольников Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180º. Вершин 4 Ребер 6 Граней 4
Гексаэдр или куб. Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 º Вершин 8 Граней 6 Ребер 12
Октаэдр. Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 º 8 граней 6 вершин 12 ребер.
Икосаэдр. Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. 20 граней 12 вершин 30 ребер.
Додекаэдр. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градуса 12 граней 30 рёбер 20 вершин .
Теорема Эйлера для многогранников : Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство В + Г – Р = 2
Задача. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12 ? Определите многогранник .
Решение. 3В=2Р По условию Р=12 3В=2*12 3В=24 В=8 По формуле Эйлера: В-Р+Г=2 Г=2-(-4) Г=6 => Г=6;В=8;Р=12
Космология Платона Многогранники – символы стихий
Иоганн Кеплер (1571-1630) Куб Октаэдр
Платон также учитывал чувственно-воспринимаемые свойства соответствующих стихий: Огонь – наиболее подвижная стихия. Земля – неподвижная и устойчивая. Икосаэдр , как самый обтекаемый, представляет частичку воды. О ктаэдр – частицу воздуха. Д одекаэдр – Вселенную.
Многогранники в природе. Многогранники в устройстве мира.
Египетские пирамиды. Египетские пирамиды имеют все одну геометрическую форму- это треугольник. Они словно вырастают из песков пустыни - колоссальные, величественные, подавляющие человека необычайными размерами и строгостью очертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей .
Здание Пентагона. Он имеет форму пятиугольника. Но почему здание Пятиугольную форму здания подсказал план местности, когда создавались эскизы проекта. В том месте проходило несколько дорог, которые пересекались под углом 108 градусов, а это и есть угол построения пятиугольника. Поэтому такая форма органично вписывалась в транспортную инфраструктуру, и проект был утвержден.
Пчелиные соты. Самым распространённым представителем многогранников в природе являются пчелиные соты. Пчёлы – удивительные творения природы. Они проявляют геометрические способности при построении своих сот. Строя шестиугольные ячейки пчёлы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья. Пчелиные соты заполняют пространство так, что не остаётся никаких просветов.
Геометрия в природе. В самой природе очень много замечательных фигур. Необыкновенно красивые и разнообразные многогранники, созданные природой. Возьмем в пример остроугольные камни. Они могу иметь самую разнообразную форму, как треугольную так и шестиугольную.
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Многогранники в химии.
Углерод имеет 2 основных агрегатных состояния: алмаз - ромбический додекаэдр графит - шестигранная призма:
Простейшее животное. Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.
Природные кристаллы. Природные кристаллы — это твёрдые вещества, имеющие естественную внешнюю форму правильных симметричных многогранников 1.Пирит - Куб 2.Флюорит – Тетраэдр 3.Магнетит – Октаэдр 4.Гранат – Додекаэдр
Многогранники и вирусы. Головка вируса-бактериофага имеет форму икосаэдра.
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра.
Вирусы имеют разнообразные формы: форму додекаэдра, форму икосаэдра и особые, причудливые формы: так называемые звездчатые многогранники.
Многогранники в устройстве мира. По теории Кеплера в сферу орбиты Сатурна вписывается куб, в куб – сфера Юпитера, в сферу Юпитера – тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса – додекаэдр, сфера Земли – икосаэдр, сфера Венеры – октаэдр, сфера Меркурия. Теория Кеплера.
Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник .
Многогранники в искусстве и архитектуре.
« Математика владеет не только истиной , но и высшей красотой-красотой отточенной и строгой , возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству , которое свойственно лишь величайшим образцам искусства » Бертран Рассел
Портрет Монны Лизы Леонардо да Винчи (1452-1519) "Божественная пропорция" Многогранники в искусстве.
Альбрехт Дюрер - гравюра «Меланхолия» Сальвадор Дали – «Тайная Вечеря».
Мауриц Корнилис Эшер (1898-1972) "Четыре тела" " Рептилии "
Пирамида Луны. Конец 1 тыс до н. э. — начало н. э. Высота 42 м.Теотиуакан Пирамида Кукулькана (« Кастильо ») в Чичен-Ица. Культура майя. 8-12 вв. Мексика. Многогранники в архитектуре Древнего Мира.
"Первое чудо света Пирамида Хеопса" Год постройки (~2560 до ~2540 до н. э.)
Многогранники в архитектуре современного мира Национальная библиотека в Минске (Беларусь) Современный стеклянный вход в Лувр"в виде пирамиды
Музей архитектуры Тойо Ито на острове Омишима ( Япония )
Построение сечений многогранников. Метод следов.
Секущей плоскостью параллелепипеда ( тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).
Построить сечение многогранники плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – сечение тетраэдра. Сечение
Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.
треугольники четырехугольники В сечениях тетраэдра могут получиться: Тетраэдр имеет 4 грани:
Параллелепипед имеет 6 граней: В сечениях параллелепипеда могут получиться: треугольники четырехугольники пятиугольники шестиугольники
Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .
Построение сечения тетраэдра.
B C A D N O S T M Дано: тетраэдр ABCD , т. M, N, O Построить сечение тетраэдра 1 ) MN - прямая 2) DC ∩ MN = S 3) SO – прямая; SO ∩ AC = T; NT - прямая 4) ОМ - прямая TNM О – искомое сечение
Построение сечения параллелепипеда.
D1 C1 B1 A1 C D B A M N O S P R K T Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед; точки M, N, O Построить сечение, проходящее через точки M, N и O NO- прямая; А 1 А ∩ NO = S ; MS – прямая; MS ∩ AB = P 2) О P - прямая 3) MS ∩ BB 1 = R 4) A 1 D 1 ∩ NO = K ; MT ∩ A 1 D 1 = Т 5) TN - прямая OPMTN – искомое сечение
Спасибо за внимание!
Весенняя сказка
Рисуем белые грибы пастелью
Снеговик
Сочинение
Мороз Иванович