Проект "Проверка вычислений с помощью 9 и 11".

ОКРУЖНОЙ ЭТАП РЕГИОНАЛЬНОЙ

НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА»

ПРОВЕРКА ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ 9 И 11

                                                                             Автор:

                                                                             Яхункин Денис, учащийся 8 класса

                                                                             ГБОУ СОШ им. И.Ф.Самаркина

                                                                             с.Новая Кармала

                                                                             Руководитель:

                                                                             Самаркина Елена  Александровна,

                                                                              учитель математики

Красный Яр, 2016г.

Оглавление

Введение -------------------------------------------------------------------------------------стр. 3

Глава 1. Проверка вычислений с помощью 9-----------------------------------------стр. 5

1. Метод нахождения остатка от деления числа на 9--------------------стр. 5
2. Проверка с помощью 9 сложения и вычитания------------------------стр. 6
3. Проверка с помощью 9 умножения и деления-------------------------стр. 7
4. Проверка с помощью 9 возведения числа в степень и извлечение корня n-й степени------------------------------------------------------------стр. 9
5. Ошибки, которые нельзя выявить с помощью проверки 9---------стр. 12

Глава 2. Проверка вычислений с помощью 11-----------------------------------------стр. 14

1. Техника нахождения остатка от деления числа на 11------------------стр. 14
2. Проверка правильности вычислений с помощью 11-------------------------16

Заключение ---------------------------------------------------------------------------------стр. 19

Библиография-------------------------------------------------------------------------------стр. 20

Введение

Актуальность:  В наше время все чаще  при проверке домашних заданий на сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел родители используют калькуляторы. Наиболее полную проверку можно произвести, только вторично произведя полностью вычисление другим методом или же произведя проверку обратным действием (сложение можно проверить вычитанием, деление – умножением и т.д.) Но проверка повторным вычислением очень трудоёмка. При обычных расчетах можно рекомендовать другие способы проверки, дающие хорошие результаты и не требующие много времени.

В качестве гипотезы выступает предположение о том, что применение способов проверки правильности полученных результатов  позволяет сократить, упростить процесс проверки и сводит к устным вычислениям без использования калькулятора.

 Объект исследования: Проверка правильности выполненных вычислений.

Предмет исследования: Проверка вычислений с помощью 9 и 11.

Цель:  Изучить способы проверки правильности выполненных вычислений с помощью 9 и 11.

Задачи:

1. Повторить признак делимости на  9, изученный  в 6 классе.
2. Исследовать самостоятельно признак делимости  на 11.
3. Исследовать самостоятельно методы нахождения остатка от деления числа на 9  и на 11.
4. Изучить способы проверки, дающие хорошие результаты и не требующие много времени для их проверки.
5. Составить слайдовую презентацию на тему: «Проверка вычислений».

Новизна: В ходе выполнения работы я пополнил свои знания способами проверки вычислений.

Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.

Область практического применения: Работа может быть использована в качестве дополнительного материала  на уроках, на внеурочной деятельности по математике, родителями при проверке домашних заданий.

Глава 1. ПРОВЕРКА ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ 9.

1. МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ОСТАТКА ОТ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА НА 9.

Вспомним признак делимости числа на 9: для того, чтобы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 9.

Пример:  Число 12348 на 9 делится, т.к. сумма цифр числа 1+2+3+4+8=18 делится на 9.

                 Число 12345 на 9 не делится, т.к. сумма цифр числа 1+2+3+4+5=15 на 9 не             делится.

Можно сказать какой будет остаток при делении числа 12345 на 9. Для этого достаточно разделить сумму цифр 15 на 9; получаем 15:9=1 и 6 в остатке.  К полученной сумме цифр 15 мы можем опять применить признак делимости числа на 9, т.е. сложить цифры числа 15, и посмотреть,  будет ли эта сумма  делится на 9: 1+5=6 на 9 не делится. Таким образом, мы можем, складывая цифры произвольного числа, свести сумму цифр к однозначному числу. Если это число не будет равно 9, то число на 9 не делится и дает при делении на 9 остаток, равный полученному числу. При подсчете суммы можно не обращать внимание на встречающиеся в числе девятки или на группы цифр, дающие в сумме 9. Иногда можно воспользоваться, заменяя для упрощения вычислений 9 на 0 или наоборот.

Пример:  Найти остаток от деления числа 342 699 723 на 9.

3+4=7; 7+2=9 (отбрасываем); 0+6=6, две следующие цифры во внимание не принимаем, т.к. это девятки; последующие две цифры тоже во внимание не принимаем, т.к. они в сумме дают 9 (7+2); 6+3=9. В итоге получили 9 или 0 (отбросив 9). Это эквивалентно.

Ответ: число 342 699 723 делится на 9 без остатка.

2. ПРОВЕРКА С ПОМОЩЬЮ 9 СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ.

Мы можем представить число А в виде А=9а+в (число а остается неизвестным).

Рассмотрим, чему равна сумма двух чисел, представленных в таком виде

 А1+А2=(9а1+в1) + (9а2+в2) =9(а1+а2) + (в1+в2).

Если нам известны остатки слагаемых от деления их на 9, то остаток суммы от деления её на 9 будет равен сумме остатков слагаемых (приведенных к однозначному числу).

Используем это свойство для проверки правильности выполнения сложения.

Пример: 3834+2031+2959+3541=12355

Для проверки правильности нахождения суммы чисел находим сумму всех цифр слагаемых 3+8+2+4+2+3+1+2+9+5+9+3+5+4+1=61, и сводим её к однозначному  числу 6+1=7.

Находим сумму цифр суммы, тоже сведенную к однозначному числу 1+2+3+5+5=16, 1+6=7.

Если сумма цифр всех слагаемых, сведенная к однозначному числу, равна сумме цифр суммы, сведенной к однозначному числу, то сложение выполнено верно.

Аналогично проверяется и правильность выполнения вычитания.  

Находим остатки уменьшаемого, вычитаемого и разности.

 Далее выбираем один из двух вариантов:

1. Складываем остатки вычитаемого и разности и сравниваем остаток полученной суммы с остатком уменьшаемого. Равенство этих чисел говорит о правильности полученного результата

12 345         15                   1+5=6

-    278           8

12 076           7                   8+7=15   1+5=6                    6=6

Разность найдена правильно.  

35 415             0                    ( при подсчете суммы отброшены девятки)

- 1 360             1                    

34 055             8                    8+1=9, в уменьшаемом 0, что эквивалентно 9.

Результат верен.

2. Этот способ менее удобен: из остатка уменьшаемого вычитаем остаток вычитаемого. Остаток разности сравниваем с остатком разности.

Если при нахождении разности между остатками уменьшаемого и вычитаемого окажется, что остаток уменьшаемого меньше остатка вычитаемого, то предварительно прибавляем к нему 9.

123 431         5            1+2+3+4+3+1=14         1+4=5

- 27 681         6            2+7+6+8+1=24             2+4=6        6 > 5

  95 750          8           9+5+7+5=26                  2+6=8

                                      5+9=14                          14-6=8           8=8

Первый метод тем и удобен, что не приходится прибегать к вспомогательным операциям.      

3. ПРОВЕРКА С ПОМОЩЬЮ 9 УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

Необходимым требованием правильности выполнения умножения является равенство произведения остатков от деления сомножителей на 9 остатку произведения от деления на то же число:

Пример:

          5429                5+4+2+9=20                             2+0=2

        ×2435                2+4+3+5=14                             1+4=5

     13 219 615                1+3+2+1+9+6+1+5=28            2+8=10      1+0=1

        2×5=10      1+0=1          1=1 – вычисления верны

Пример:

           27 936            2+7+9+3+6=27                  2+7=9 (или 0)

        ×      723            7+2+3=12                          1+2=3

    20 197 728            2+1+9+7+7+2+8=36          3+6=9

Возможны два варианта:

1. 9×3=27,  2+7=9 (при умножении любого числа
   (кроме 0) на 9 получится число, сумма цифр которого
   будет равна после сведения ее к однозначному числу 9).
   Сравниваем 9=9. Умножение выполнено правильно.

2. 0×3=0, но 0 в признаке делимости числа на 9
   эквивалентен девятке. Поэтому делаем заключение, что
   умножение выполнено правильно. На этом примере   надо остановиться.  

 Внимательно просмотрев его, можно сделать следующий вывод: если
при проверке остаток   от деления первого сомножителя на 9 равен 0 (или 9), то нет смысла искать остаток от деления второго сомножителя на девять. Сразу приступаем к нахождению остатка от деления произведения на
9. При правильном выполнении умножения этот остаток должен быть равен 0 (или 9).

125 721                 1+2+5+7+2+1 = 18, 1+8 = 9;
×        459                 остаток не находим;

   5770 939                    5+7+7+5+9+3+9=45, 4+5=9 — произведение найдено верно.
Возникает вопрос — если мы не принимаем во внимание второй    сомножитель,    насколько применим  метод проверки 9 в данном случае? Ведь я могу поставить вместо второго сомножителя  (459) любое другое число (например, 365), и проверка    покажет,    что произведение найдено правильно. Проверка 9 не дает 100%-ной гарантии правильности    вычислений.

Проверка  правильности  выполнения  деления  аналогична. Для проверки находим остатки от деления делимого, делителя и частного на 9. Произведение остатков
делителя  и частного  должно равняться остатку делимого:

824 901 : 3571 =231,
2+3+1=6
3+5+7+1 = 16                1+6 = 7
8+2+4+9+1 =24             2+4 = 6
                                                          6×7 = 42                4+2 = 6;
6 = 6 — частное найдено правильно.

Рассмотрим проверку правильности вычисления частного в случае, когда число делится с остатком
14 937 381 : 3548 = 421, остаток 301.
случай не требует подробных объяснений, и можно ограничиться приведением соответствующих выкладок:
1+4+9+3+7+3+8+1=36            3+6 = 9
3 + 5+4+8 = 20                         2+0 = 2
4+2+1=7
3+0+1=4
                                                 2×7+4=18                 1+8 = 9
9 = 9 — вычисление проведено верно.

4. ПРОВЕРКА С ПОМОЩЬЮ 9 ВОЗВЕДЕНИЯ ЧИСЛА В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ n-Й СТЕПЕНИ.

Возведение числа в степень проверяется по тому же правилу, что и произведение. Различие здесь только в том, что сомножители одинаковые. Это позволяет   несколько упростить проверку.
Проверка вычислений в общем случае:

Пример:
3592  = 128 881
3+5+9=17                                         1+7=8
1+2+8 + 8+8+1=28      2+8=10        1+0=1
8×8 = 64                       6+4=10        1+0=1
1 = 1 — вычисление выполнено правильно.

Учитывая, что нам приходится    возводить в квадрат остаток, который может быть равен от 1 до 8 (если остаток равен 9, то мы ищем остаток результата, который при правильном вычислении должен быть равен 9), найдем квадраты возможных остатков и сведем их к однозначному числу.

12=1

 22=4

 32=9

 42=16                                    1+6 = 4

52 = 25                                    2+5 =7
62 = 36                                    3+6 = 9

72=49              4+9=13           1+3 = 4

 82=64             6+4 = 10        1+0=1.
Нетрудно заметить, что остаток от деления квадрата любого числа на 9 может быть равен только одному из четырех чисел: 1, 4, 7 и 9. Поэтому проверку целесообразно начинать с результата: если остаток результата равен 2, 3, 5, 6 или 8, то сразу можно сделать заключение об ошибочности вычислений.

6792 = 461 051
4+6+1+5+1 = 17             1+7 = 8.
Находить остаток от деления основания на 9 нет необходимости: вычисления выполнены неверно.

5382=289 744
2+8+9+7+4+4 = 34                    3 + 4 = 7 — число возможное.
Продолжаем проверку:

5+3+8=16                                      1+6=7
7×7 = 49                  4 + 9=13        1+3 = 4
4≠7 — вычисления выполнены неверно.
На проверке вычисления корня п-й степени останавливаться специально нет смысла, так как проверка производится аналогично проверке возведения в степень, что будет показано на примерах.

Рассмотрим примеры проверки возведения в степень и извлечения корня:

384  = 2 085 136

2+8+5+1+3+6 = 25,          2+5 = 7;

3+8=1,       1 + 1=2;

24=16,        1+6 = 7;

7 = 7 — вычисление выполнено верно.

3\/110 592 = 48

1 + 1+5+9 + 2=18,        1+8 = 9;

4+8=12,               1+2 = 3;

33=27,             2+7 = 9;

9=9 — вычисление выполнено верно.

6662  =  443 556

4+4+3+5+5+6 = 27,        2+7 = 9;

6+6+6=18,               1+8 = 9.

Нет необходимости   возводить 9 в квадрат,    мы все равно получим в итоге 9:

9 = 9 — вычисления выполнены верно.

78 = 5 764 801
5+7+6+4+8+1=31,     3+1=4.
Как быть с 78?

 Вычислять восьмую степень 7 — значит повторить вычисления. Но выход есть:

72=49,     4+9=13,    1+3 = 4
для 74       4×4=16,            1+6 = 7;   (используем результат предыдущих    вычислений и оперируем   с остатками);  

для 78
7×7 = 49,              4+9=13,     1+3 = 4; здесь также используем результат предыдущих вычислений.

Приводя разбор примеров, я везде нахожу полную
сумму цифр числа с учетом всех девяток. Это делается
 только для наглядности, чтобы не было сомнений, цифры какого числа складываются.  

5. ОШИБКИ, КОТОРЫЕ НЕЛЬЗЯ ВЫЯВИТЬ С ПОМОЩЬЮ ПРОВЕРКИ 9.

Проверка с помощью 9 проста и выявляет большую часть ошибок, допускаемых при вычислениях. К сожалению, способ не позволяет выявить ошибки в вычислениях, если в результате ошибки получилась величина ,отличающаяся от правильной на число, кратное 9. Какие ошибки пропускает, не обнаруживает метод?

1. Прежде всего ошибки, к сожалению, возникающие
   относительно часто при использовании малых вычислительных машин и т. д., — перемену цифр местами.
2.  Поясню на примере:

оператору необходимо было найти произведение чисел

25784 × 425 =?

При наборе множимого по ошибке было набрано число 25 874. Фактически было найдено произведение 25 874×425= 10 996 450, но оператор считает, вполне естественно, что найдено произведение

25 784×425=10 996 450.
Проверка не обнаруживает ошибку:

2+5+7+8+4 = 26,                    2+6=8;
4+2 + 5=11,                            1 + 1=2;
1+9+9+6+4+5 = 34,                3+4 = 7;
                                                2×8=16,     1+6 = 7;
                                                                                      7=7.
Такого же типа ошибки    (обмен    местами двух цифр) иногда допускают и машинистки при перепечатке числовых данных. Поэтому вычисления, проводимые на каких- либо клавишных вычислительных машинах, нецелесообразно проверить с помощью девятки.

2. Если произошла ошибка в 10 раз, с помощью описанного метода найти ошибку не удается: числа 135, 1350, 13 500 и т. д. с точки зрения проверки девяткой одни и те же. Кстати, неотличимы от них и числа 1305, 100 305 и т. д. Но чаще встречаются ошибки, когда «забывают» о нулях на конце числа.

3. Метод не позволяет обнаружить ошибки, если они допущены в двух цифрах так, что сумма ошибок в цифрах равна нулю: если вместо числа 272 931 получено число 472 731 (+2—2=0 — первая цифра увеличена на 2 единицы, но настолько же уменьшена четвертая цифра), то проверка с помощью девятки бессильна выявить
   ошибку. Но такого рода ошибки бывают достаточно редко, и ими можно пренебречь.

При вычислениях, выполняемых вручную, данный метод проверки правильности результатов является одним из наиболее простых и эффективных. Конкурировать с ним может только метод проверки результатов с помощью 11, который описан в следующем пункте.

Глава 2. ПРОВЕРКА С ПОМОЩЬЮ 11.

Прием проверки результатов вычислений с помощью остатков от деления чисел, участвующих в вычислительном процессе, на 11 очень похож на принцип проверки вычислений с помощью остатков от деления, используемых при вычислении чисел на 9. Незначительно сложнее предыдущего приема проверки, метод позволяет, выявлять ошибки, связанные с перестановкой цифр. Это делает его более ценным, чем метод проверки с помощью 9. Если вы не сталкивались ни с тем ни с другим методом проверки, то стоит осваивать проверку с помощью способа, описываемого в данном пункте.

1. ТЕХНИКА НАХОЖДЕНИЯ ОСТАТКА ОТ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА НА 11.
   Признаки делимости на 11:

1.  число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, равно 0 или делится на 11.

Число 1 462 032 делится на 11, так как разность 1- 4+6 - 2 + 0 - 3+2 между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих  на нечетных местах, равна 0.

 Число 9 213 831 также делится на 11, ибо разность между суммой цифр, стоящих на нечетных и четных местах 3 - 1+9 - 0+9 - 2+1 - 3+8 - 3+1=22, равна числу, делящемуся на 11 (к числу 22 мы можем опять применить признак делимости чисел на 11, т. е. найти разность цифр, стоящих на нечетных и четных местах, 2—2 = 0 и получить в итоге 0).  Разность может быть и отрицательная,   это не имеет значения:

     48 392 817
4 - 8+3 - 9+2 - 8+1 - 7= -22               число делится на 11.

2. число делится на 11, если сумма двуцифирных граней числа делится на 11: число 311 475 901 делится на 11, так как сумма 3+11+47+59+01 = 121 делится на 11. Если вы затрудняетесь сказать, делится ли число 121 на 11, то примените признак еще раз: 1+21=22 — число делится на 11. Этот признак делимости можно применить по-другому. При этом вычисления упростятся. Разбив справа число на грани, складывать остатки от делении числа каждой грани на 11. В приведенном примере последовательность вычислений будет следующая:

3+0(11 —11=0)+3(47—44 = 3)+4(59—55 = 4) +1==11. Для обладающих элементарными навыками вычислений данный вариант проверки делимости числа на 11
является наиболее простым.

Несколько примеров на нахождение остатка от деления числа на 11:

1)        35 412 539 784 — разбиваем на грани по 2   цифры с правой стороны                                        3.54.12.53.97.84.

3+10+1+9+9+7=,  находя сумму,    отбрасываем числа,  кратные 11:

3+10=13,

13—11=2;

2+1+9=12,

12—11 = 1;

1 +9+7= 17,

17—11=6;

остаток равен 6;

2)        489 376 645

а)        4+1+4+0+1 = 10 — остаток равен 10,

б)        4—8+9—3+7—6 + 6—4+5=10   —    результат тот же;

3)        678 354 193
6+1+2+8+5 = 22,  22 делится на 11, следовательно, число делится на 11 без остатка.

2. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ 11.

Принципы проверки результатов с помощью остатков деления чисел, используемых в вычислениях, на 11 совершенно аналогичны принципам проверки результатов с помощью 9. При сложении    складываем    остатки    слагаемых и сравниваем с остатком суммы

37.92.95

15.43.21

+     45.97.68

35.41.69

1.34.75.53

1)

14(37—33 = 4)+

4(92—88 = 4) +

7(95—88 = 7)+

4(15—11=4)  +

10(43—33=10)  +

10(21 — 11 = 10)+

1(45—44)   +

9(97—88 = 9)   +

 2(68—66 = 2) +

2(35—33 = 2)+

8(41—33 = 8)+

3(69—66 = 3) =64,                       64—55=9

3. 1,34, 75, 53.
   1 +

1(34—33)+

9(75—66 = 9)+

9(53—44 = 9) =20,              20—11=9,

4. 9 = 9 — вычисления выполнены правильно.

Проверить правильность вычислений:

4.93.54                    
       -12.42               
     1.81.12                

 4+5(93—88 = 5) + 10(54—44 = 10) = 19,   19—11=8,
     1 (12—11 = 1) +9(42—33 = 9) = 10,

      1+4(81—77 = 4) +  1 (12—11 = 1) =6,

      10 + 6=16,     16—11=5,

8 = 5 — вычисления ошибочны.

Проверить результат: 694×375=26 025

1. 6+6(94—88 = 6) = 12,    12—11 = 1,
2. 3+9(75—66 = 9) = 12,     12—11 = 1,
3. 2+5(60—55 = 5)+3(25—22 = 3) = 10,
4. 1×1=1,
5. 10≠1 —вычисления ошибочны.

Проверить результат: 694×375 = 260 250

1)        6+6(94—88=6) = 12, 12—11 = 1.
2)3+9(75—66 = 9) = 12, 12—11 = 1.

3. 4(26—22 = 4)+2 + 6(50—44 = 6) = 12, 12—11 = 1
4. 1×1 = 1,
5. 1 = 1 — вычисления выполнены правильно.

Проверить результат: 312 074:674 = 463, остаток 12.

1) 31.20.74,    9(31— 22 = 9) +9(20—11 =9) +8(74—66) =26,    26--22 = 4,

2) 6.74,        6+8(74—66 = 8) = 14,            14—11=3,
3) 4.63,        4+8(63—55 = 8) = 12,            12—11 = 1,
4) 12—11 = 1,
5) 3×1 + 1=4,

6) 4 = 4 — вычисления выполнены верно.

Проверить результат: 6782 = 459 684

1) 45.96.84,                1(45—44=1)+8(96—88 = 8) +7(84—77 = 7) = 16, 16—11=5,

2) 6.78,                           6+1(78—77=1) =7,
3) 7×7=49,                     49—44 = 5,  

4) 5 = 5 — вычисления правильны.

   Проверьте результат: \/546 121=739

1) 54.61.21,              10+6+10 = 26,    26—22 = 4,
2) 7.39,                   7+6=13,       13—11=2,

3) 2×2 = 4,
4) 4 = 4 — результат верен.

Метод проверки с помощью остатков от деления используемых в вычислениях чисел на 11 выявляет все ошибки, кроме ошибок, при которых происходит изменение числа на число, кратное 11, или изменение числа в102п раз. Ошибку в 10 раз и вообще в 102п+1 раз метод обнаруживает. Сравнивая возможности данного способа проверки с проверкой девяткой, ясно видно его преимущество.

Заключение.

В процессе работы  я познакомился с приёмами проверки вычислений.

При  просмотре материала у меня возникал вопрос: неужели все написанное здесь можно запомнить? Неужели все это надо запомнить? Принципы применения основных методов проверки я освоил. Некоторые способы настолько просты, что запоминаются непроизвольно. Таким образом, гипотеза, предполагаемая в начале исследования полностью нашла своё подтверждение. Но, безусловно, работа может чему-то научить только заинтересованного человека, читающего ее с карандашом и бумагой в руках.

Данный материал можно использовать учителями  на занятиях математического кружка.  Применение нетрадиционных способов проверки способствует улучшению развитию навыков самостоятельного мышления, повышает самооценку учащегося, раскрывается интерес к научной деятельности.

Также рекомендую ознакомиться со своей работой всем желающим. Всем, кому интересны способы проверки, надо только тренироваться – и тогда приёмы быстро запомнятся.

Библиография :

1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 кл.- М.: Просвещение, 1982

2. Сорокин А.С. Техника счета (Методы рациональных вычислений). -М., «Знание», 1976

3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. -М.: «Наука», 1970