Теоремы тригонометрии

Слайд 1

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа № 20» города Дзержинска Нижегородской области Городская научно-практическая конференция «Старт в науку» Знаменитые теоремы Теоремы синусов и косинусов Секция «Созидательная сила великих открытий в математике» Автор : Шилов Антон 9 класс, МБОУ СШ № 20

Слайд 3

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

Слайд 4

Таблица числовых значений хорд Таблица для определения соотношений между элементами треугольников Гиппарх Никейский ( 180 – 125 г. до н.э.) Первая таблица синусов, высчитанная по хордам в окружности «Альмагест» – самая значимая тригонометрическая работа всей античности Клавдий Птолемей (90 – 168 г н.э)

Слайд 5

Построил таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов Присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов Установил основные соотношения между этими линиями Дал определения функциям Установил формулу двойного угла Ал-Батани ( ок. 900 г. н.э) Абу-ль-Вефа ( 940 – 997 г. н.э)

Слайд 6

Автор трактата о полном четырехстороннике Построил таблицы синусов и котангенсов Ал-Хорези (783 – 850 г. н.э) Насир-эд-Дин из Туса (1201 – 1274 г. н.э)

Слайд 7

Дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников Открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы тригонометрических функций от кратных углов Разложил функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе Франсуа Виет (1540 – 1603 г.) Исаак Ньютон (1643 – 1727г.)

Слайд 8

Ввел понятие функции и принятую в наши дни символику Разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента Леонард Эйлер (1707 – 1783 г. н.э)

Слайд 9

Разработал метод проектирования сложных форм в 1920 году ; Выразил тригонометрические функции как отношение координат x, y, z к длине элемента. Ричард Саусвелл (1888-1970)

Слайд 10

Основные понятия тригонометрии

Слайд 11

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема синусов

Слайд 12

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cosα. Теорема косинусов

Слайд 13

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), называются гармоническими колебаниями . Выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса, называется фазой колебания: Тригонометрия в физике

Слайд 14

n 1 - показатель преломления первой среды n 2 - показатель преломления второй среды α -угол падения, β -угол преломления света Теория радуги sin β sin α n 1 n 2 =

Слайд 15

Тригонометрия в биологии

Слайд 16

Синус каротидный (сонный) Пещеристый синус

Слайд 17

Задача № 1 . Для определения ширины непроходимого болота с вертолета, находящегося на высоте h , измерили углы α и β . Найдите ширину болота. Дано: ∟СА D = α; ∟СВА = β; С D = h Найти: АВ. Решение: 1) Из прямоугольного ∆А CD находим: АС = 2) Из ∆АВС теореме о внешнем угле треугольника: ∟АСВ = α  β 3) По теореме синусов имеем: , откуда Ответ.

Слайд 18

Задача № 2. Вершина горы видна из точки А под углом 38 о , а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42 о . Найдите высоту горы. Дано: АВ=200 м, ∟САВ = α = 38 о , ∟СВ D = β = 42 о , CD  DA . Найти: CD . Решение. 1) Введем обозначение ∟ BCA = γ. Тогда из треугольника CBA по теореме синусов имеем: , откуда 2) Из треугольника С BD следует, что CD = CB·sin β = 1 764·sin 42 o = 1 764·0,6691 = 1 180 м . Ответ : высота горы 1 180 м.

Слайд 19

Задача № 3. С наблюдательного пункта замечают под углом 63°30’ самолет, пролетающий над башней, высота которой 79,5 м. Прямая, соединяющая наблюдательный пункт с верхушкой башни, образует с горизонтальной плоскостью угол 20°45’. На какой высоте находится самолет? Дано: HC = 79,5 м, ∟ HAC = 20°45’, ∟ BAC = 63°30’ Найти: BC Решение. 1) ∟НАВ = ∟ВАС  ∟НАС = = 63°30’  20°45’ = 42°45’ 2) Из прямоугольного треугольника НАС следует, что м. 3) ∟НВА = 90 0  ∟ВАС = 89°60’  63°30’ = 26°30’ 4) Из треугольника ВАН по теореме синусов следует, что , откуда BH = 224,5 · 0,6782 : 0,4462 = 341,2 м BC = ВН + НС = 341,2 +79,5 = 420,7 (м) Ответ: 420,7 м

Слайд 20

Задача № 4. В 12 -00 нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140км/ч. В это же время инспектор ГИБДД рванул по проселку со скоростью 70км/ч наперерез нарушителю. Успеет ли инспектор остановить нарушителя у перекрестка шоссе и проселка? Дано:  АВС, АВ = 2 км, ∟А = 20 0 , ∟В = 50 0 , v нарушителя = 140 км/ч, v ГАИ = 70 км/ч Сравнить: t нарушителя , t ГАИ Решение. 1) ∟С = 180 0 – 20 0 – 50 0 = 110 0 2) Из треугольника АВС по теореме синусов имеем: 3) t нарушителя = АС : 140 = 1,6303 : 140 = 0,011645 ч, t ГАИ = ВС : 70 = 0,7279 : 70 = 0,0104 ч, следовательно инспектор успеет остановить нарушителя. Ответ. Успеет.

Слайд 21

Задача № 5. Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35 0 с одной стороны и 41 0 с другой стороны. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра. Дано: АС = 10 м, ∟А = 35 0 , ∟С = 41 0 Найти: АВ и ВС Решение. 1) ∟В = 180 0 – 35 0 – 41 0 = 104 0 2) Из треугольника АВС по теореме синусов имеем: ВС = 591 см, АВ = 676 см. Ответ. ВС = 591 см, АВ = 676 см.

Слайд 22

Задача № 6. Два парохода начинают движение из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым пересекающимся под углом 60°. Скорость первого 60 км/ч, скорость второго 70 км/ч. Вычислить на каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 3 часа. Дано: v 1 = 60 км/ч, v 2 = 70 км/ч, ∟С = 60 0 , t = 3 ч Найти: АВ Решение. 1) АС = 60 · 3 = 180 км, ВС = 70 · 3 = 210 км 2) Из треугольника АВС по теореме косинусов находим АВ: АВ 2 = 180 2 + 210 2 – 2 · 180 · 210 · со s 60 0 = = 32400 + 44100 – 37800 = 38700, откуда АВ = 196,7 км Ответ. 196,7 км

Слайд 23

Задача № 7. В крышке парового цилиндра диаметром 350 мм надо просверлить 8 одинаковых отверстий для болтов. Найти расстояние между центрами отверстий, если эти центры должны находиться от края крышки на расстоянии 50 мм. Дано: ОС = ОD = 175 мм, ВС = АD = 50 мм Найти: АВ Решение. 1) ∟СОD = 360 0 : 8 = 45 0 2) ОВ = ОА = 175 мм – 50 мм = 125 мм 3) Из треугольника ОАВ по теореме косинусов находим АВ: АВ 2 = 125 2 + 125 2 – 2 · 125 · 125 · со s 45 0 = = 15625 + 15625 – 22097 = 9153, откуда АВ = 95,7 мм Ответ. 95,7 мм