Исследовательская работа по математике "Цепные дроби: скрытая красота"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15» г.Заволжье

Городецкого района Нижегородской области

Исследовательский проект

по математике

«Цепные дроби: скрытая красота»

Выполнила:

Бубнова Виктория Валерьевна

ученица 9 «А» класса 

e-mail: bubnova.v.13@mail.ru

Руководитель:

учитель математики и информатики

Ярцева Ксения Юрьевна

e-mail: ksenechka_zorina@mail.ru

Адрес ОУ:

606524, Нижегородская область, Городецкий район,

г. Заволжье, ул. Пушкина, д.4, МБОУ СОШ №15

 e-mail: school15-zav@mail.ru

2014-2015 учебный год

Содержание

Введение в проблему        

1.        История появления и развития цепных дробей        

2.        Свойства цепных дробей        

3.        Цепные дроби и программирование        

4.        Использование цепных дробей в других науках        

5.        Геометрическое изображение цепных дробей        

Заключение        

Список литературы        

Введение в проблему

Каждый год в нашей школе проводятся олимпиады и конкурсы по различным предметам, в том числе по математике. В одной и этих олимпиад мне встретилось задание вида:

Вычислите значение выражения .

В курсе школьной программы мы не проходили данные дроби, и я решила исследовать этот материал самостоятельно.

Цель моей работы – изучение истории цепных дробей и применение их при решении заданий.

Задачи:

• Изучить историю возникновения цепных дробей;
• Исследовать свойства цепных дробей и возможные действия, производимые с ними;
• Изучить способы решения заданий с данными дробями;
• Найти алгоритмическую структуру, работающую по принципу цепной дроби;
• Выяснить возможность геометрического изображения цепных дробей;
• Выяснить возможность применения цепных дробей в других науках.

1. История появления и развития цепных дробей

По сохранившимся источникам, мы знаем, что цепные дроби использовались в древней Греции, Китае и Египте. Впервые цепные дроби как таковые появляются в учебнике «Алгебра» итальянского математика Рафаэля Бомбелли (1526-1572), вышедшем в 1572 г.

Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь.

Можно сказать, что первым, кто систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию, был Леонард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь».

2. Свойства цепных дробей

10 .  Всякое рациональное число  (где р>q) можно представить в виде конечной цепной дроби

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них a1, …, an — натуральные, a0 — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.

Пример.   

20.  Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями. 

Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] с древних времён известны приближения  и  .

Мною было принято решение написать программы на языке программирования Pascal для перевода цепной дроби в действительное число и обратно.

Программа вычисления значения цепной дроби

Программа просит пользователя ввести числитель дроби и количество вложений цепной дроби. Преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби.

Program TO_NUMBER;

var n, k: integer;

    b:real;

begin

write (' введите знаменатель дроби');  read (b);

write (' введите кол-во вложений ');  read (n);

for k:=1 to n do  b:=1+1/b;

write (' искомое число = ', b);  end.

Результаты работы программы

Цепная дробь преобразована в десятичную. Ошибок не наблюдается.

Вывод.

+  Программа работает корректно.

-  Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

Программа, выполняющая разложение числа в цепную дробь

Программа просит пользователя ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовав его, выдает результат вида [1, 7, 16]

Program TO_FRACTION;

var a: array[1..100] of integer;

    k, n: integer;

    x:real;

begin

write (' введите число '); read (x);

k:=1; a[1]:=trunc(x); k:=2;

while frac(x)<>0 do

begin

 x:=1/frac(x) ;

 a[k]:=trunc(x) ;

 k:=k+1;

end;

n:=k;

write (' искомое число x = [');

for k:=1 to n do  write (a[k],',');

write (']');  end.

Результаты работы программы

1.8 = [1,1,4,0,]

1.6 = [1,1,1,1,1,0,0,]

1.65 = [1,1,1,1,5,1,75350303,2,3,1,1,0,0,]

7.3 ошибка 101 – выход за пределы размерности массива

2.5 = [2,2,0,]

4.75 = [4,1,3,0,0,]

Описание ошибок

1. В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит  накопление погрешности. При ручном счете эти дроби записываются в виде обыкновенных и ошибки не происходит.
2. В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trunk(). Данная функция отсекает дробную часть действительного числа.
3. В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac(). Данная функция вычисляет дробную часть действительного числа. Для целых чисел результат её работы должен быть равен 0, но происходит ошибка.

3. Цепные дроби и программирование

Принцип цепной дроби созвучен понятию рекурсии в программировании.

Рекурсивным называется способ построения объекта (понятия, системы, описание действия), в котором определение объекта включает аналогичные объекты (понятие, систему, действие) в виде составных частей.

Примеры рекурсии можно встретить в литературе, искусстве, фольклоре.

«У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

Камнем придавил, и на камне написал:

«У попа была собака...»» (Детская считалка)

«Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она,

чтоб посмотреть, не оглянулся ли я...»

(Максим Леонидов, «Девочка-видение», песня).

Обычно, в программировании под рекурсией понимают такую реализацию, в которой подпрограмма использует в своем теле вызов самой себя.

Написанные мной программы использовали циклический алгоритм.

Исправим программу, используя рекурсивный вызов функции num(a,m), которая вычисляет значение одного вложения цепной дроби. Благодаря рекурсивности мы поднимаемся до первого вложения цепной дроби и получаем ответ.

Program TO_NUMBER;

var n, k: integer;

    b:real;

function num(a:real; m:integer):real;

      begin

      if m=1 then num:=1+1/a

      else num:=1+1/num(a,m-1);

     end;

begin

write ('введите знаменатель цепной дроби '); read (b);

write (' введите кол-во вложений цепной дроби ');

read (n);

b:=num(b,n);

write (' искомое число = ', b); end.

4. Использование цепных дробей в других науках

Цепные дроби – абстрактный объект теории чисел, они широко используются в различных разделах математики и физики, особенно в механике. Но меня удивило то, что они очень востребованы другими науками.

Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2(3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (), ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Голландский ученый Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колес, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет.

С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения. Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Сама природа отражает цепные дроби, только это надо увидеть. Это лишний раз подтверждает афоризм Галилео Галилея: «Математика - это язык, на котором написана книга природы».

5. Геометрическое изображение цепных дробей

Итак, мы собрали множество доказательств о востребованности цепных дробей в разных науках. У большинства математических объектов есть геометрическая интерпретация. Попробуем найти её и для цепных дробей.

Мы установили связь цепных дробей и понятия рекурсии. Функция называется рекурсивной, если она содержит одно или несколько обращений к самой себе. Рекурсии можно использовать для получения различных привлекательных картинок. Фигуры с рекурсивным подобием называются фракталами. Увеличенные детали фрактала подобны полному изображению.

Гипотеза: Фрактал является графическим отображением цепной дроби.

Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый, сломанный) – представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Данные математические формы принадлежат гению выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Свое открытие он опубликовал в научных трудах, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).

Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений. Фракталы широко применяются в компьютерной графике – при построении изображений деревьев, поверхности морей, горных ландшафтов, и других природных объектов. Интересно, что кроме фрактальной «живописи» существуют так же фрактальная музыка и фрактальная анимация. Фрактал построенный по математической формуле не менее красив, чем природный.

Из всех геометрических объектов только фракталы обладают свойствами, сходными со свойствами цепных дробей. К сожалению, явного подтверждения своей гипотезе в литературе я пока не нашла.

Заключение

В процессе работы над проектом я изучила много литературы о цепных дробях, научилась использовать их при вычислениях. Также укрепила и расширила свои знания в программировании на языке Pascal.

Возникнув из проблемы решения вычислительного задания, проект перерос в интересное исследование. Я убедилась, что математика действительно красивейшая из наук. Моя работа вдохновила меня на создание фрактала. Вот, что у меня получилось.

Было бы интересно попробовать построить фрактал с помощью компьютерных программ. Так остался открытым вопрос о связи фракталов и цепных дробей. Если она все-таки есть, хотелось бы научиться по цепной дроби строить фрактал и описывать цепной дробью уже готовое изображение.

Список литературы

1. Хинчин А.Я.. Цепные дроби. М.: Наука – 1978 – 112 с. с илл.
2. Бескин Н. М.. Замечательные дроби. Минск: Издательство «Вышэйшая школа» – 1980 – 124 с.
3.  Арнольд В. И. Цепные дроби —М.: Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с.
4.  Журнал «Квант». Бескин Н. Цепные дроби (№1, 1970)
5. Журнал «Квант». Бескин Н. Бесконечные цепные дроби (N8, 1970)
6. Журнал «Квант». Бескин Н. Нестеренко Ю., Никишин Е. Очерк о цепных дробях (N5,6, 1983)
7. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. – 656 с.