"Линейная функция вокруг нас"

Опубликовано Демина Елена Максимовна вкл 26.03.2016 - 10:06

Автор:

Никифорова Мария ,Налиткин Иван

Данная проектно-исследовательская работа содержит результаты исследований по вопросу применения линейной зависимости между величинами в различны областях науки( физике,биологии,анатомии,географии,астрономии,экономике) и повседновной жизни.

Скачать:

Вложение	Размер
Данная работапредставляет собой результат исследований учеников по вопросу определения линейных зависимостей между величинами в	253.67 КБ

Предварительный просмотр:

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы

Школа № 777

Школьный конкурс проектно-исследовательских работ

«ВЕКТОР ОТКРЫТИЙ - 2016»

Исследовательская работа

«Линейная функция вокруг нас»

Авторы: Никифорова Мария,

Налиткин Иван

учащиеся 7 «Е» класса

Руководитель: Демина Е.М.

учитель математики

Москва

2016

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………………………....3

2. Основная часть

2.1 Историческая справка……… .……………………………………………………............4

2.2 Линейная функциональная зависимость в различных областях науки. Физика…..……………………………………………………………………………………….6

Анатомия……………………………………………………………………….………………9

Биология……...……..……………………………………………………….…….…………..10

География ..………………………………………………………………….…………...……11

Астрономия ...………………………………………………………………….……….……..12

Повседневная жизнь……………………………………………………………….………...13

3. Заключение …………………………….…………………………………………………..14

4.Список использованной литературы…………..………………………………………...15

5. Приложение……………...………………………………………………………………….16

Введение

Нет ни одной области математики,

как бы абстрактна она ни была, которая

когда-нибудь не окажется применимой

к явлениям действительного мира.

Лобачевский Н.И.

Математика – один из наших самых любимых предметов. На уроках алгебры в этом учебном году мы познакомились с новым для нас понятием функции, ее графиком и некоторыми её свойствами. Но мы ещё мало знали о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой математической функцией. Нам стало интересно: с какими реальными ситуациями связано понятие «линейная функция», т.е. между какими величинами можно установить линейные зависимости? Каким образом устанавливается зависимость между величинами? Как установленную зависимость можно записать, или изобразить и каким образом использовать установленные зависимости?

Для выяснения, что знают учащиеся 7-8 классов о том, где встречается линейная в жизни , был проведён опрос. Учащимся задавались вопросы :

1.Где в повседневной жизни вы встречаетесь с линейной функцией?

2 В каких областях науки вы встречали линейную функциональную зависимость?

На основании данных опросов мы построили столбчатые диаграммы(см. Приложение 1). Анализ диаграмм ещё раз подтвердил актуальность выбора нами темы исследовательской работы: рассмотрение прикладных задач подтверждает практическое применение линейной зависимости в различных науках и в повседневной жизни.

Объектом нашего исследования стали функциональные зависимости величин.

Цели работы:

Изучить функциональные зависимости между величинами и выявить среди них линейные зависимости.

Задачи:

Обобщить имеющиеся знания о линейной функции;

3. Добыть новые знания по теме проекта из различных источников информации;

4. Выяснить, находит ли применение линейная функция в других областях знаний, в повседневной жизни;

5. Провести работу по выявлению зависимостей;

6. По результатам исследования выявить линейные зависимости.

В нашей работе мы постарались найти на практике подтверждение существования линейной функциональной зависимости между величинами и установили связь между теоретическим материалом и реальными ситуациями окружающего мира.

2. Основная часть

2.1. Историческая справка

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

$C:\Users\Евгения\Desktop\dekart.jpg$

Франсуа Виет (1540 – 1603гг.) Рене Декарт(1596-1650гг.) Пьер Ферма (1602-1665гг.)

$C:\Users\Ученик\Pictures\image001.gif$ Johann_Bernoulli eyler_415198846_tonnel_gif

Готфрид Вильгельм фон Иоганн Бернули Леонард Эйлер

Лейбниц

( 1646-1716 гг.) (1667-1748гг.) (1707-1783гг.)

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г . Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и Бернулли.

В 1718 г. выдающийся швейцарский математик Бернулли сформулировал: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств»

Декарт Рене и Франсуа Виет уже использовали единую буквенную математическую символику: x, y, z, a, b, c, .. и т. д

Декарт Рене и Ферма Пьер ввели переменную величину и прямоугольную систему координат .

Декарт Рене представлял кривые в виде уравнений.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, аналогичное современному, встречается уже в учебниках математики начала XIX века. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

2.2. Линейная функциональная зависимость в различных областях науки.

Физика

1 Физика.

1. Расстояние, пройденное пешеходом, поездом, автомашиной при постоянной скорости движения - линейные функции времени движения.

Задача: Автомобиль, выехавший из пункта А в настоящее время находится от него в 10 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t часов, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 10 км/ч?

Ответ будет выражаться линейной функцией вида S=10t+10. График зависимости представлен.

Задача: Поезд двигался равномерно 8 часа со скоростью 50 километров в час. Какой путь прошел поезд за это время. Постройте график зависимости пройденного пути от времени.

Решение:

S = V • t = 50 • 8 = 400 (км).

2.Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле: v=331+0,6t, v – скорость в м/с, t – температура в градусах Цельсия.

Задача: Рассчитайте скорость распространения звука в зимний и летний день.

Решение:

в зимний день- V=331+ 0.6*(-35)=310 м/с
в летний день- V=331+ 0.6*30=349 м/с

3.Зависимость расстояния до места удара молнии от времени между вспышкой молнии и ударом грома - линейная.

Расстояние S до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле S=300t, где t - количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома.

Задача: Определите, на каком расстоянии находится наблюдатель, если время, прошедшее между вспышкой молнии и ударом грома 18 секунд. Ответ можно увидеть на графике:

4. Длина рельсов является линейной функцией температуры: l = l0 (1+at) –линейное расширение твердых тел, где l0 – начальные размеры рельса, t – температура в градусах Цельсия.

Задача: Медная линейка при 0 о С имеет длину 1м. Найдите увеличение её длины при повышении её температуры на 35 о, на 1000 о С (температура плавления меди

1083 о С) Ответ: 0,6 мм.

5.Зависимость объёма тела от температуры v = vо(1+bt) – объёмное расширение твёрдых тел.

Какова была первоначальная температура воздуха, если при нагревании на 3 градуса его обьём увеличился на 1% от первоначального.

Ответ. 300 К (Кельвин) или 270С.

6. Зависимость удельного сопротивления твёрдых проводников от температуры

ρ=ρо(1+at), где ρо – удельное сопротивление проводника, температурный коэффициент,

Задача: Удельное сопротивление проводника при температуре 0°С равно 0,017

Какое будет удельное сопротивление, если проводник нагреть на 50° С . Температурный коэффициент равен 4 ∙ 10-3 ?

ρ = 0,017( 1 + 4 4 ∙ 10-3∙50 ) = 0.0204

7. Зависимость силы тяжести от массы тела определяется формулой F = mg ,.m - масса в кг, g – ускорение свободного падения, м\ с2.

Задача: Рассчитать с какой силой притягивается к земле мышка, масса которой 200 грамм и слон, масса которого 5 тонн?

Решение.

F = 5000∙10 = 50000 (Н) - сила тяжести, действующая на слона,
F = 0,2 ∙ 10 = 2 (Н) - сила тяжести, действующая на Мышк

8. Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой: P=gρh, где ρ – плотность жидкости, g ≈ 10 м\ с2.

Построить график зависимости, взяв в качестве жидкости воду: P=1000∙10 ∙h, т. е.

P=10000 ∙h. Эта зависимость – линейная.

5.Формула для вычисления температуры в градусах Цельсия по температуре в градусах Фаренгейта:. F=32º+1,8·t.

Рассмотрим задачу, составленную на материале из литературного произведения

В романе Жюль Верна «Дети капитана Гранта» читаем:

«Погода стояла прекрасная, не слишком жаркая… Роберт узнал, что средняя годовая температура в провинции Виктория +74º по Фаренгейту“.

Сколько же это будет в привычных для нас градусах Цельсия?

Составьте формулу для вычисления температуры в градусах Цельсия, если известна температура по Фаренгейту. Постройте график и найдите температуру в градусах Цельсия (t) при заданой температуре по Фаренгейту F=77; 59; 40; 10.

Задача: Рассчитайте какое давление испытывают обитатели Марианской впадины на глубине 11 км?

Р = 1000∙11000∙10 =110000000 (Па)= 110 (Мпа)

9. Зависимость температуры, выраженной в градусах по Фаренгейту от температуры, выраженной в градусах Цельсия.

Формула для вычисления температуры в градусах Цельсия по температуре в градусах Фаренгейта:. F=32º+1,8·t.

Рассмотрим задачу, составленную на материале из литературного произведения

В романе Жюль Верна «Дети капитана Гранта» читаем:

Сколько же это будет в привычных для нас градусах Цельсия?

Находим температуру в градусах Цельсия, при следующих заданных по условию значениях температуры по Фаренгейту:

Fº	77	59	40
tºC	25	15	5

График зависимость температуры в градусах по Цельсию (t) от температуры по Фаренгейту (F)

Анатомия

1. Формула для расчета идеальной массы тела по методу Devine: Одна из формул, рекомендующих «идеальную» массу тела взрослого человека (ИМТ) по методу Devine m, выраженную в килограммах при данном его росте L (в сантиметрах)

мужчины: (1) m=50+2.3·(0.394·L-60)
женщины: (2)m=45.5+2.3·(0.394·L-60)
Построим графики и найдём идеальную массу мужчин и женщин при росте 150, 160, 171,180 см.

Решение задачи.

Преобразуем левые части этих выражений и построим графики этих функции.

мужчины: m=50+2,3·0,394·L-2,3·60=0,9·L-88;

m= 0,9·L-88;

женщины: m=45,5+2,3·0,394·L-2,3·60=0,9·L-92,5;

m=0,9·L-92,5;

Подставляем значение L в формулу

ИМТ мужчины m=0,9L-88

ИМТ женщины m=0,9L-92,5;

получаем:

При росте 150 см идеальный вес

мужчины- 47,7 кг,

женщины- 43,3 кг

При росте 160 см идеальный вес

мужчины- 56 кг,

женщины- 51,5 кг

При росте 171 см идеальный вес

мужчины- 66,8 кг,

женщины- 62,3 кг

При росте 180 см идеальный вес

мужчины- 74 кг,

женщины- 69,5кг

Идеальная массы тела взрослого человека в зависимости от роста

2. Формула зависимости времени сна, необходимого для нормального развития ребенка в зависимости от возраста.

Психологическая задача.

Медиками установлено, что для нормального развития, ребёнок или подросток,

которому Т лет (Т ≤ 18), должен спать в сутки t часов, где t определяется по формуле

t =17- Т/2.

Найти Т(2); Т(13); Т(16).

Построить график зависимости количества часов сна от возраста ребенка.

Решение задачи:

Подставляем значение Т в формулу
t=17-Т/2; t=-0,5·Т+17

Если ребёнку: 2 года: 13 лет: 16 лет:

t=17-2:2 t=17-13:2 t=17-16:2

t=16ч t=10, 5ч t=9ч

3.Волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Таким образом, имеет место формула: l=l0+0,4t, где l – длина в мм, l0 – первоначальная длина волос в мм, t – количество дней.

Составьте таблицу зависимости длины волос от времени

Длина,мм	10	12	14	16	18	20	26
Время, дни	0	5	10	15	20	25	40

Биология

Зависимость численности сине-зелёных водорослей от концентрации общего фосфора в воде выражается следующей формулой: а=0,983р+50,6, где а – численность сине-зелёных водорослей, р – концентрация общего фосфора. Эта зависимость – линейная, и её можно использовать для прогнозирования качества воды. Показателем качества воды служит количество сине-зелёных водорослей. Чем их больше, тем хуже качество воды. На численность сине-зелёных водорослей влияет концентрация фосфорного удобрения, попадающего в водоёмы вместе с талой водой.

География

Эта линейная зависимость была обнаружена при изучении прямой пропорциональной зависимости при работе с картам и планами, на которых обязательно указывается масштаб.

План усадьбы «Кусково»(прилагается)

Масштаб данного плана означает, что расстояние на местности в 10000 раз больше, чем расстояние на карте. В переводе на язык функций получаем линейную зависимость:

L= 10000 l, где L – расстояние на местности, l – расстояние на карте (см)

Задача : По плану найдите длину и ширину пруда в парке «Кусково».

Решение: по схеме размеры парка 1,8 см на 4см. По формуле находим приблизительно реальные размеры пруда:

10000∙1,8 = 18000 (см) – ширина
10000 ∙ 4 = 40000(см) - длина

Ответ: 18 м – ширина пруда, 40 м – длина пруда

Астрономия

Крабовидная туманность в созвездии Тельца расширяется со скоростью1500 км/с , е зависимость увеличение расстояния в зависимости от времени описывается линейной функцией: S = 1500t , где t - время в секундах.

Задача: на какое расстояние расширится туманность за 1 минуту, за 1 час ?

Решение : 1 минута = 60 секунд. 1500 * 60 = 90000 км . 1 час = 60*60 = 3600 секунд. 1500 * 3600 = 5400000 км. Ответ : за 1 минуту туманность расширится на 90000 км, за 1 час – на 5400000 км.

Линейная функция в повседневной жизни

1.Зависимость стоимости поездки в такси от времени поездки вычисляется по формуле: C = 150 + ( t – 5), где t – продолжительность поездки, мин, t ˃ 5

Задача: Рассчитайте стоимость поездки на такси продолжительностью 55 мину

C = 150 + ( 55 – 5) = 200(руб).

2. Зависимость цены доставки посылки от её массы.

При отправлении посылки сам собой возник вопрос: «Как зависит цена доставки посылки от её массы?» В филиале ФГУП «Почта России» мы узнал, что:

Расстояние и способы пересылки	Плата за массу до 500 г (до 10 кг, с максимальным размером 425265380 мм)	Плата за каждые последующие полные/неполные 500 г


По первому магистральному поясу до 600 км включительно	130,9 руб.	10 руб.
По второму магистральному поясу от 600 км до 2000 км включительно	132,7 руб.	11,6 руб.
По третьему магистральному поясу от 2000 км до 5000 км включительно	138,1 руб.	16,9 руб.

Расчёты для трёх магистральных поясов:

х	0	1	2	3	4	5


у	130,9	140,9	150,9	160,9	170,9	180,9

Х	0	1	2	3	4	5


У	132,6	144,3	155,9	167,5	179,1	190,7
х	0	1	2	3	4	5


у	138,1	155	171,9	188,8	205,7	223,6

Итак, зависимость цены доставки посылки от количества дополнительных 500 г её веса – линейная.

3. Заключение

В результате проведенных нами исследований мы установили 18 зависимостей величин , представляющих линейную функцию. Конечно нельзя считать эти исследования исчерпывающими. В ходе выполнения работы мы узнали, что линейная функция применяется в таких сферах как :

- физика

- биология

- география

- астрономии

- экономика

и в повседневной жизни

Мы считаем, что цель нашей работы достигнута и выдвинутая нами гипотеза о том, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями нашла свое подтверждение. В ходе выполнения работы мы узнали много нового о применении линейной зависимости в окружающем мире.

Практическая ценность проделанных исследований работы состоит в том, что мы изучали, как связаны друг с другом самые разнообразные величины, как они изменяются относительно друг друга, как описывается графически зависимость между ними.

Надеюсь, что этот проект будет полезен нашим сверстникам, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложениях и может быть использован на уроках алгебры и факультативны занятиях.

Мы ознакомили с нашей работой сверстников ( семиклассников) и увидели огромную пользу своей работы. ( см. Приложение 1) .

4.Список литературы