Математический проект "Приёмы быстрого счета"

МКОУ «Захаровская СШ» Клетского района Волгоградской области

Математический проект

«Приемы

быстрого счета»

Авторы: Фомина Ирина, Рыжкова Ангелина        

Руководители: Могутова Татьяна Михайловна

                           Дерюшкина Оксана Валерьевна

2015 – 2016  учебный год

Содержание.

1. Введение:

Актуализация проекта

Цель проекта

Задачи проекта

Гипотеза исследования

План работы над проектом

2. Теоретическая часть:

История возникновения вычислений

Старинные способы быстрого счета

Метод «решетки»

Умножение в Японии.

Система Трахтенберга

Египетский способ умножения

Прием перекрестного умножения

Счет на пальцах

Сложение с использованием свойств действий с числами

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

Применение свойств вычитания

Поразрядное вычитание

Умножение чисел от 10 до 20

Умножение на 11

Умножение на 22, 33, ..., 99

Умножение на 5; 50; 0,5;0,25

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

Умножение на 1,5; 2,5; 3,5 …

Умножение на число, оканчивающиеся на 5

Способы быстрого деления

Деление на 5, на 50, на 25

Деление на 0,5; 0,25; 0,125

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5

Угадывание задуманного числа

Без карандаша и бумаги

3. Практическая часть:

Первичная диагностика вычислительных навыков учащихся

Знакомство учащихся с приемами быстрого сложения и вычитания

Знакомство  учащихся с приемами быстрого умножения и деления

Фестиваль «Приемы быстрого счета» для учащихся 5-8 классов

Повторная диагностика

Оформление альбома «Приемы быстрого счета»

Работа над презентацией

4. Используемая литература

Наш проект называется «Приемы быстрого счета.

     Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам  необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,  необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

 Актуальность нашего исследования  состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и многие из них просто не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету, снижает интерес к изучению математики. Допустить этого нельзя! Ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное.

         Поэтому мы хотим помочь учащимся нашей школы  научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным  занятием.

Гипотеза исследования:

Если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и  им будет легче решать практические задачи.

• Объект   исследования: различные алгоритмы счета
• Предмет исследования:   процесс вычислений.
• Субъект исследования:  учащиеся  7 класса.

Цель проекта:

изучить методы и приемы быстрого счета

и показать  необходимость их  эффективного использования.

Задачи проекта:

• изучить историю возникновения вычислений
• рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас,
•  освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими  учащихся нашей школы.
• создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.
• оформить альбом «Приемы быстрого счета»

План работы над проектом:

Теоретическая часть.

Мы изучили историю возникновения вычислений.

    У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.

      Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги.

     Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами.

Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять.  

 Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки.

    Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы,

как у пришельцев,

и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно.

    Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.

    У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке 

    Было очень неудобно хранить глиняные таблички, веревки с узелками и рулоны папируса.

    И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели

для каждой цифры свой знак.

 Вот как они выглядели

    От пальцевого счета пошли пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног).

    В древние времена не существовало единой для всех стран системы счета. Некоторые системы исчисления брали за основу 12, другие – 60, третьи – 20, 2, 5, 8.

    Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета.

     Предки русского народа – славяне -   для обозначения чисел употребляли буквы.

 Этот способ обозначения цифр называется цифирью

Мы изучили старинные способы быстрого счета. Приведем пример одного из них.

Русский крестьянский способ умножения

Пример:

умножим 47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
•  деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Нам очень понравился «метод решетки» умножения чисел

Найдем произведение чисел 25 и 63.

• Горизонтально запишем числа 25,

    вертикально 63.

• Чертим решетку, проводим диагонали.
• На пересечениях находим

     произведения  чисел.

• Складываем

      числа по диагоналям.

      Получили результат:      1575

А какой интересный способ умножения чисел, которым пользуются даже в наше время в Японии:

     Найдем произведение чисел 32 и 21

• Чертим 3 полоски, через промежуток 2.
• Под углом чертим 2 и 1 полоски.
• Считаем количество точек пересечения:

Крайние правые -  единицы - 2

По диагонали  – десятки - 7

Крайние левые – сотни - 6

Получили результат 672.

Мы с большим интересом познакомились с методами  Якова Трахтенберга.

Яков Трахтенберг- еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие.

Рассмотрим умножение чисел на 11 по методу Трахтенберга.

   Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».

 Пример: 63247 · 12

 Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.

• 63247 · 12 1дважды 7 будет = 14, переносим
• 4
• 63247 · 12 дважды 4+7+1=16, переносим 1
• 64
• 63247 · 12 дважды 2+4+1 = 9
• 964
• Следующие шаги аналогичны.
• Окончательный ответ:    

 63247 · 12 = 758964

Мы изучили   много способов быстрого сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Сегодня мы остановимся на некоторых из них.

Сложение с использованием свойств действий с числами

• Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.

• Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:

549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643.

• Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001.

Поразрядное вычитание:

• Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.

  Пример1:

574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

• Если меньше, то занимаем у высшего разряда:

      Пример 2:

 647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Применение свойств вычитания

• Если из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:

934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177

• Если из суммы чисел вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:

(567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел

от 10 до 20 необходимо:

   к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить  на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1.  16∙18 = (16+8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288,

Пример 2.  17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 7 = 309.

Умножение на 11

• Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

•   Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

 94 ∙  11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

• Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

 32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000. 

• Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:

24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300. 

• Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:

64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80. 

• Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.

16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1. 

Умножение на 1,5; 2,5; 3,5 …

• Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:

16·1,5 = 16+8= 10+14=24

• Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на два и прибавить половину числа:

16·2,5 = 16·2 + 8 = 32+8= 40

• Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:

16·3,5 = 16·3+8=48+8 = 40+16=56

Деление на 5, на 50, на 25

При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями:

a : 5 = a ∙ 2 : 10

a : 50 = a ∙ 2 : 100

a : 25 = a ∙ 4 : 100

135 : 5 = 135 ∙ 2 : 10 = 270 : 10 = 27

3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 =75

6400:25 = 6400 ∙ 4 : 100 = 25600 : 100 = 256

Деление на 0,5; 0,25; 0,125

Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:

32 : 0,5 = 32 · 2 = 60 + 4 = 64

Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:

32 : 0,25 = 32 · 4 = 120 + 8 = 128

Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
                 32 : 0,125 = 32 · 8 = 240 + 16 = 256

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

     Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Примеры:

• 35² = 3·(3+1) и приписать 25, получим 35²= 122
• 75² = 7·8 и приписать 25 , 75² = 5625
• 85² = 8·9, приписать 25 = 7225

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5

      Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Примеры:

56² = (25+6), приписать 6² =36,  56² = 3136

58² = (25+8), приписать 8² = 64,  58² = 3364

53²= (25+3), приписать 3² = 09,   53² = 2809

Узнали много игр с числами. Вот одно из них.

Угадывание задуманного числа

• Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
• Полученную сумму пусть умножит на 3.
• От произведения пусть отнимет 7.
• Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
• Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(x+5 ) · 3 -  7- 8 = 3x +15 – 15 = 3x

   Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3.

Работая над проектом, мы узнали имена людей, которые могли считать очень быстро, обладали огромными способностями.

Приведем примеры:

        Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математики.

Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивлял своего отца.

Однажды в школе, Гауссу в то время было 10 лет, учитель предложил классу перечислить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ :

1+2+3+…..+97+98+99+100=101·50=5050.

Как он складывал числа от 1 до 100?

Группируем: (1+100)+(2+99)+….=50 пар по 101,

а сумма S=101·50 = 5050.

Практическая часть.

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью  приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

• Объект исследования: 7  класс.
• Время проведения: октябрь – январь

Диагностика проводилась в несколько этапов:

1. Проверка имеющихся навыков устного счета;
2. Изучение  быстрых способов сложения и вычитания;
3. Изучение быстрых приемов  умножения, возведения в квадрат;
4. Изучение быстрых способов деления.
5. Повторная проверка умения считать устно.

Для первичной диагностики была подготовлена проверочная работа, состоящих из 30 примеров на сложение, вычитание, деление и умножение. По согласованию с учителем, мы провели его в своем классе.

Время выполнения работы – 10 минут.

Образец  работы: 

       Главное условие – все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать  только результат.

        Затем мы  изучили с одноклассниками приемами быстрого сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Провели еще одну проверочную работу.

      В декабре мы провели фестиваль «Приемы быстрого счета». Мы познакомили учащихся с историей возникновения вычислений, с некоторыми интересными способами быстрого счета, еще раз рассмотрели много методов, позволяющих считать быстро и правильно. После проведения фестиваля мы провели итоговую проверочную работу.

Результаты всех трех работ приведены в таблице:

Средний балл первой работы –

Средний балл второй работы –

Средний балл итоговой работы -

    Таким образом, мы видим, что наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно  увеличить скорость и качество счета, подтверждается

    Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень …Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений,  добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

      Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления

Устный счет – гимнастика ума!

       Вычислительная техника с каждым днем становится все более совершенной, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

        Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.

       Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Результаты работы над проектом:

• изучили историю возникновения вычислений
•  рассмотрели правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас
• освоили  правила быстрого счета и научили  пользоваться ими учащихся нашей школы.
• провели фестиваль «Приемы быстрого счета» для учащихся  5 – 8 классов.
• создали  памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.
• оформили  альбом «Приемы быстрого счета»

Использованные ресурсы:

1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.
2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.
4. «Первое сентября» Математика №3(15), 2007.
5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68
6. Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).
7. http://portfolio.1september.ru/subject.php