Исследование линейной функции

Муниципальное автономное образовательное учреждение средняя школа №8 городского округа г.Бор Нижегородской области

Исследовательская работа по информатике и математике

Исследование линейной функции в электронных таблицах

Выполнила ученица 7А класса, Маслова Ангелина

Руководитель: учитель информатики, Воронина Анна Алексеевна.

Городской округ г.Бор – 2015г.

Содержание

Введение

1. Линейная функция и ее свойства
2. Исследование линейной функции в электронных таблицах

Заключение

Список литературы

Введение

В этом году на уроках алгебры мы познакомились с линейной функцией. Мы учились строить график линейной функции, определяли, как должен вести себя график функции в зависимости от ее коэффициентов. Чуть позже, на уроке информатики мы узнали, что эти действия можно считать математическим моделированием. Я решила проверить, можно ли исследовать линейную функцию с помощью электронных таблиц.

Цель работы: исследовать линейную функцию в электронных таблицах

Задачи исследования: 

• найти и изучить информацию о линейной функции;
• построить математическую модель линейной функции в электронной таблице;
• исследовать линейную функцию с помощью построенной модели.

Объект исследования: математическое моделирование.

Предмет исследования: математическая модель линейной функции.

Моделирование как метод познания

Человек познает мир почти с самого своего рождения. Для этого человек использует модели, которые могут быть самыми разнообразными.

Модель – это новый объект, который отражает некоторые существенные свойства реального объекта.

Модели реальных объектов используются в самых разных ситуациях:

1. Когда объект очень большой (например Земля – модель: глобус или карта) или ,наоборот, слишком маленький (биологическая клетка).
2. Когда объект очень сложен по своему строению (автомобиль – модель: детская машинка).
3. Когда объект опасен для изучения (вулкан).
4. Когда объект находится очень далеко.

Моделирование – это процесс создания и изучения модели.

Мы сами создаем и используем модели, даже порой не задумываясь об этом. Например, мы делаем фотографии какого-нибудь события в нашей жизни, а потом показываем их своим друзьям.

По типу информации все модели можно разделить на несколько групп:

1. Словесные модели. Эти модели могут существовать в устной или письменной форме. Это может быть просто словесное описание какого-нибудь предмета или стихотворение, а может быть статья в газете или сочинение – все это словесные модели.
2. Графические модели. Это наши рисунки, фотографии, схемы и графики.
3. Знаковые модели. Это модели, записанные на каком-либо знаковом языке: ноты, математические, физические или химические формулы.

Линейная функция и ее свойства

Линейной функцией называется функция вида

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять   и , тогда ординаты этих точек будут равны  и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции :

2. В уравнении функции y=kx+b коэффициент  k отвечает за наклон графика функции:

• Если  k>0, то график наклонен вправо
• если  k<0, то график наклонен влево

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

• если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика  функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
• если  b<0, то график функции y=kx+b получается из графика функции y=kxсдвигом на b единиц   вниз вдоль оси OY.

На рисунке ниже изображены графики функций ; ;  

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций ; ;  

На этот раз  во всех  функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций  ; ;

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) -  начале координат.

График функции (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если  k<0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k=0 , то  функция превращается в функцию    и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции  равны 

Если b=0, то график функции  проходит через начало координат:

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции  параллелен графику функции , если 

5. Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции  перпендикулярен графику функции , если  или 

6. Точки пересечения графика функции  с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):

Исследование линейной функции в электронных таблицах

Для исследования линейной функции в среде электронных таблиц я составила следующий алгоритм:

1. Построить математическую модель Линейной функции в электронной таблице.
2. Заполнить трассировочную таблицу значений аргумента и функции.
3. Построить график Линейной функции с помощью мастера диаграмм.
4. Исследовать Линейную функцию в зависимость от значений коэффициентов.

Для исследования линейной функции я воспользовалась программой Mikсrosoft Office Excel 2007. Для составления таблиц значений аргументов и функций я использовала формулы. У меня получилась следующая таблица значений:

На такой математической модели, можно легко проследить за изменениям графика линейной функции, меняя значения коэффициентов в таблице.

Также с помощью электронных таблиц, я решила проследить за тем, как меняется взаимное расположение графиков двух линейных функций. Построив новую математическую модель в электронной таблице, я получила следующий результат:

Меняя коэффициенты двух линейных функций я наглядно убедилась в справедливости изученной информации о свойствах линейных функций.

Заключение

Линейная функция в алгебре считается самой простой. Но при этом она имеет много свойств, которые не сразу становятся понятны. Построив математическую модель линейной функции в электронных таблицах, и исследовав ее, мне стали более понятны свойства линейной функции. Я наглядно смогла убедиться в том, как меняется график при изменении коэффициентов функции.  

Я думаю, что построенная мной математическая модель поможет ученикам седьмых классов самостоятельно исследовать линейную функцию и лучше ее понять.

Список литературы

1. Учебник алгебры для 7 класса.
2. Учебник информатики для 7 класса
3. Wikipedia.org