Лента Мёбиуса

V Грачевская научная конференция школьников

Секция: математика

                          Название работы:  «Лента Мебиуса»

Автор работы: Якшина Юлия

Место выполнения работы: с. Тугулук

МОУ СОШ № 8, 6 класс.

Научный руководитель:

Шеховцова Елена Сергеевна.

учитель математики,

первая квалификационная категория.

с. Тугулук

Оглавление.

I. Введение.

II. Топологические свойства ленты Мебиуса.

        2.1. Развитие топологии.

        2.2. Топологические свойства.

        2.3. Лента Мебиуса и ее свойства.

        2.4. Примеры неориентируемых пространств.

III. Заключение.

IV. Библиографический список.

V. Приложения.

I. Введение.

Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. стал головокружительный взлет науки, известной под названием топология. Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности». Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать, но не разрешается рвать и ломать.

Цели исследования:

1) практическое изучение свойств ленты Мебиуса;

2) изучение понятия «топологические свойства».

Задачи исследования:

1. научиться строить односторонние поверхности: ленту Мебиуса, бутылку Клейна, проективную плоскость;
2. практическим путем подтвердить свойства ленты Мебиуса.

Гипотеза: результаты преобразований над лентой Мебиуса связаны со свойствами ленты, которые не характерны для трехмерного пространства.

Предмет исследования: топологические свойства, способы построения односторонних поверхностей.

Объект исследования:  поверхность ленты Мебиуса.

Предмет исследования: топологические свойства.

Методика исследования: 

1) изучение справочной, научно- популярной литературы по данной теме;

2) проведение практического эксперимента;

3) проведение сравнительного анализа свойств поверхностей;

4) обобщение полученных результатов, формулировка выводов.

II. Топологические свойства ленты Мебиуса.

2.1. Развитие топологии.

Топологические свойства, изучением которых и занимается топология, - это те свойства, которые сохраняются при любом топологическом преобразовании, под которыми можно понимать любой изгиб, сжатие, расширение, искажение размеров и формы фигуры и всякое вообще преобразование, лишь бы сохранялись отношения прикосновения, бесконечной близости, т. е. взаимная непрерывность (отсутствие разрывов) и взаимная однозначность (отсутствие какой либо спайки, склеивания).

       Идею изучения топологических свойств фигур можно усмотреть в письме Лейбница к Гюйгенсу от 1679 года (Приложение 1), в котором говорится о новом геометрическом или линейном анализе (исчислении) для изучения свойств, связанных не с величинами (метрические свойства), а с местом (положении). От Лейбница берет свое начало и прежнее наименование топологии analisis situs (анализ положения).

Термин «топология» (по-гречески «топос» тоже, что по-латыни, situs – «место») был впервые введен немецким физиком, математиком и астрономом Иоганном Бенедиктом Листингом (1808 г. – 1882 г.) в своей небольшой книге «Предварительные исследования по топологии», изданной в 1847 г. В своей работе Листинг исследует так называемые им линейные комплексы, то есть «любые прямые или кривые линии или совокупность таких линий». Независимо от Листинга и примерно одновременно с ним изучением топологических свойств фигур занимался и Август Фердинанд Мебиус. Мебиус в возрасте 68 лет, то есть в 1859 году, представил Парижской Академии наук мемуары «К теории полиэдров и элементарных преобразований», в котором впервые рассматривался так называемый «лист Мебиуса» - простейшая односторонняя поверхность. Ее можно получить, перекрутив прямоугольную полоску бумаги и склеив ее меньшие две стороны так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В с точкой D (Приложение 2).

2.2. Топологические свойства.

Образцом топологического свойства объекта служит наличие дырки у бублика. Какую бы непрерывную деформацию не претерпел бублик, дырка останется (Приложение 3).

Другое топологическое свойство – наличие края. Поверхность сферы не имеет края, а пустая полусфера имеет, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии это изменить.

Два топологических пространства топологически эквивалентны, если можно непрерывным образом перейти от одного из них к другому и непрерывным же образом вернуться обратно. Часто говорят, что тополог не отличает бублика от кофейной чашки. Это как раз и есть пример топологической эквивалентности.

Еще два топологических свойства – число сторон и ориентация. Пространство, в котором можно дать глобальное определение правого и левого, называется ориентируемым.

2.3. Лента Мебиуса и ее свойства.

Лента Мебиуса топологически не то же самое, что цилиндрическая лента, склеенная из той же полоски. В этом я убедилась, выполнив серию экспериментов.

Лента Мебиуса имеет только один край, а так как количество краев - топологическое свойство, а  цилиндрическая лента имеет два края, эти две ленты топологически различны.

Эксперимент 1. Разрезание лент.

При разрезании цилиндрической ленты вдоль получились две цилиндрические ленты.

 При разрезании ленты Мебиуса получилась одна перекрученная цилиндрическая лента. Затем лента Мебиуса была разрезана вдоль на 3 полосы. Получилась лента Мебиуса с повисшей на ней перекрученной цилиндрической лентой. При разрезании ленты Мебиуса на 4 части получились две соединяющиеся между собой перекрученные цилиндрические ленты, а при разрезании на 5 частей получилась небольшая лента Мебиуса с двумя повисшими на ней, соединяющимися друг с другом перекрученными цилиндрическими лентами (Приложение 4).

Эксперимент 2. Изучение односторонности.

У цилиндрической ленты две стороны, а у ленты Мебиуса – одна. Это легко доказать, если раскрасить каждую сторону в разные цвета. Цилиндрическую ленту можно раскрасить двумя цветами, а проделать то же самое с лентой Мебиуса не удастся (Приложение 5).

Эксперимент 3. Изучение ориентации. 

Можно понаблюдать за одним интересным явлением на поверхности ленты Мебиуса. Если взять, например, левую варежку и пронести ее вдоль ленты, то левая варежка превратится в правую.( Приложение 6)

     На ленте Мебиуса понятие правого и левого имеет смысл лишь до тех пор пока предметы не передвигаются, и невозможно дать определение правого и левого, которое годилось бы для всей поверхности в целом. Значит, поверхность ленты Мебиуса неориентируема (приложение 5).

Приложение 4.

Результаты экспериментов по разрезанию лент.

Приложение 5.

                                                      III. Заключение.

В ходе исследования были изучены основные топологические свойства поверхностей, практическим путем доказаны свойства ленты Мебиуса

Были выполнены различные способы разрезания ленты Мебиуса, склеивания край в край к кругу, соединения краев двух лент Мебиуса, то есть совершены успешные попытки получения бутылки Клейна и проективной плоскости.

Результаты преобразований над лентой Мебиуса и цилиндрической лентой показали, что лента Мебиуса обладает свойствами, которые не характерны для трехмерного пространства, а так же, что цилиндрическая лента и лента Мебиуса неэквивалентны.

Задачи исследования были выполнены полностью.

Гипотеза исследования подтвердилась.

IV. Библиографический список.

1. Топология. Я. Стюарт/ ж. Квант, №7, 1992.
2. Лента Мебиуса Д.Фукс./ ж. Квант, №1, 1990.
3.  История математики в средней школе. Г.И. Глейзер. М.: Просвещение, 1970.
4. Энциклопедический словарь юного математика. А. П. Савин. М.: Просвещение, 1997.
5. Малая Советская энциклопедия. Б. А. Введенский.3 изд. «Советская энциклопедия», т. 6, 9.
6. Математическая шкатулка. Ф. Ф. Нагибин, Е.С. Канин.-М.: Просвещение, 1988г.
7. Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. Наглядная топология.- М.: Наука, 1982.
8. Гарднер М. Математические чудеса и тайны: Математические фокусы и головоломки.- М: Наука, 1978.

Приложение 1.

Я думаю, что нам необходимо иметь еще другой анализ, собственно                     геометрический или линейный, который давал бы возможность выражать непосредственно положение, подобно тому как с помощью алгебры выражают величину.

                                                                                          Г. В. Лейбниц.

Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой.

Р. Курант

Приложение 2

.

Приложение 3.

Приложение 6.

Приложение 7.

Бутылка Клейна.

Приложение 8.

Проективная плоскость.