Кратчайшее расстояние на поверхности прямоугольного параллелепипеда

XXV СТАВРОПОЛЬСКАЯ КРАЕВАЯ ОТКРЫТАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ

Секция:  математика

Название работы: 

«Кратчайшие расстояния на прямоугольном  параллелепипеде»

Автор работы:

Беглов Никита Владимирович

Место выполнения работы:  

с. Тугулук,  МКОУ СОШ 8,

 5 класс

Научный руководитель:

Шеховцова Елена Сергеевна,

 учитель математики и информатики

МКОУ СОШ 8 с. Тугулук

г. Ставрополь, 2014

Оглавление

1. Введение…………………………………………………………...1
2. Развертка многогранника…………….……………………….…..2
3. Развертка помогает решать задачи…………………………….….3

4.1. Кратчайшие на кубе……………………………………………..3

4.2. Головоломка Генри Эрнеста Дьюдени…………………………4

4.3. Задача о пауке и мухе……………………………………………5

4. Заключение…………………………………………………….……8
5. Используемая литература…………………………………………..9

I. Введение

Нахождение кратчайших расстояний на поверхности между двумя точками находит широкое применение в геодезических практических задачах. Самыми простыми поверхностями являются куб и прямоугольный параллелепипед, которые и рассматриваются в данном исследовании.

Расстоянием между двумя точками называют отрезок, соединяющий эти точки. Однако в жизни довольно часто трудно добраться от одного пункта до другого по прямой. Тем не менее, из всех возможных вариантов стараются выбрать самую короткую дорогу.
В пространстве это несколько сложнее, чем на плоскости.

Цели исследования: научиться выполнять построения кратчайших расстояний на поверхностях куба и прямоугольного параллелепипеда, выяснить, сколько существует разверток у куба.

Задачи исследования: научиться строить развертки для куба и прямоугольного параллелепипеда; изучить задачу «о пауке и мухе», определить кратчайшие расстояния на кубе и прямоугольном параллелепипеде для различных расположений «мухи» и «паука».

Гипотеза: определение кратчайшего расстояния на поверхности прямоугольного параллелепипеда зависит от правильно выбранного вида развертки.

Методы исследования: изучение математической литературы, анализ собранного материала, математические методы, графические методы.

Предмет исследования: поиск кратчайших линий между двумя точками на поверхностях.

Объект исследования: развертки прямоугольного параллелепипеда и куба.

II. Развертка многогранника

      Понятие развертки включает в себя больше, чем просто кусок картона. Представим себе многогранник не как тело, а как поверхность, составленную по некоторым правилам из многоугольников.  Поэтому,  многогранник как поверхность – это конечный набор  плоских многоугольников, расположенных в пространстве так, что 1) каждая сторона любого из них одновременно служит стороной ровно другого, 2) любые два из них соединяются «дорожкой» из многоугольников набора, причем в «дорожке»  последовательные многоугольники граничат по стороне, 3) если два многоугольника имеют общую вершину, то соединяющую их «дорожку» можно выстроить из многоугольников с той же вершиной. Условие 1 обеспечивает замкнутость поверхности – у нее нет края, условие 2 говорит о том, что поверхность связная – состоит из одного куска, условие 3 – исключает из числа многогранников, например, фигуру из двух кубов с общей вершиной, которые не имеют других общих точек. Куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все грани – квадраты.

Куб очень симметричная фигура и на подсознательном уровне нам кажется, что и число развёрток куба должно быть каким-то «красивым», похожим на другие характеристики куба (напомним, что куб имеет 12 рёбер, 8 вершин, 6 граней и 4 диагонали). Как оказалось, куб имеет 11 развёрток(рис.1).

Рис.1. Развертки куба

IV. Развертка помогает решать задачи

4.1. Кратчайшие на кубе

Задача1.

                  Рис. 2

На поверхности прозрачного куба сидит паук и видит сидящую на другой грани куба муху(рис. 2). Чтобы поймать муху пауку нужно как можно скорее до нее добраться, ведь муха может улететь. Другими словами, пауку необходимо двигаться к мухе кратчайшим маршрутом.  Изобразите путь, по которому должен двигаться паук.

Решение. Мысленно отогнем грань куба на которой сидит паук, расположив верхнюю и боковую грани в одной плоскости. Посмотрим на эти грани сверху. Кратчайший путь от паука до мухи теперь найти очень просто. Достаточно соединить отрезком точки в которых они сидят(рис.3).

                  Рис. 3

Задача 2.

На ребре куба сидит муха. Она хочет проползти по каждой его грани вернутся в исходную точку. Укажите кратчайший путь мухи.

Решение.  Воспользуемся разверткой куба  №10(рис.1). Точки А и В представляют одну и ту же точку на ребре куба. Кратчайшим путем, их соединяющим, является отрезок АВ(рис. 4).

                                                              Рис. 4                              

4.2. Головоломка Генри Эрнеста Дьюдени

Наиболее известная головоломка Дьюдени – задача о пауке и мухе – представляет собой элементарную, но весьма изящную задачу из геометрии геодезических. Впервые она была опубликована в 1903 году в одной английской газете, но внимание широкой публики привлекла лишь два года спустя, после того как ее перепечатала лондонская газета «Дейли мейл».

 Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого указаны на рисунке 5. Посредине боковой стены на расстоянии одного фута от потолка сидит паук. Посредине противоположной стены на расстоянии одного фута от пола сидит муха. От страха у нее отнялись ноги, и она не может двинуться с места. Спрашивается, каково кратчайшее расстояние, которое должен преодолеть паук для того, чтобы схватить муху?  

                      Рис. 5

Для решения задачи нужно построить развертку граней прямоугольного параллелепипеда и провести на ней прямую от местонахождения паука к точке, в которой сидит муха. Поскольку построить развертку можно многими способами, найти кратчайшее расстояние не так легко, как кажется на первый взгляд. Кратчайший путь определяется только с такой разверткой (рис. 6)

Рис. 6

4.3. Задача о пауке и мухе

На потолке в углу С комнаты сидит паук, а на полу в противоположном углу К спит муха(рис.7). Какой путь должен избрать паук, чтобы добраться до мухи по кратчайшему расстоянию?

Рис. 7

Развернем параллелепипед, изображающий комнату, на плоскость (рисунок 8). Паук сидит в точке С, а муха – в точке К. Соединим СК отрезком. Этот путь будет кратчайшим среди всех путей, пересекающих ребро EG. Аналогично, путь KC2 будет кратчайшим среди всех путей, пересекающих ребро FD(точка С2 также отвечает вершине С нашего параллелепипеда). Для того, чтобы представить себе кратчайший среди путей, пересекающих ребро GF, развернем комнату, как показано на рисунке 9. Мы видим, что КС3 – кратчайший из путей, пересекающих ребро GF. Остается решить вопрос: какой же из этих трех путей (КС, КС2, КС3) будет самым коротким. Оказывается, что это зависит от относительных размеров комнаты в длину, ширину и высоту.

Рис. 8

Рис. 9

Если а>b, a>c, то кратчайшим путем будет путь КС.

Если с>a, c>b, то кратчайший путь КС2.

Если b>a, b>c, то кратчайший путь КС3.

Можно заметить, что кратчайший путь паука должен пересекать самое длинное из ребер EG, GF, FD.

Задача о пауке и мухе оказалась сложнее, чем можно было думать с первого взгляда.

V. Заключение

В работе были рассмотрены задачи на кратчайшее расстояние на поверхности прямоугольного параллелепипеда и куба, как частного вида прямоугольного параллелепипеда.

При нахождении кратчайших расстояний на изучаемых поверхностях использовались их развертки. Работая с источниками, выяснилось, что у куба существует 11 различных разверток, составленных из граней.

Решая задачу «о пауке и мухе» стало очевидно,  для того чтобы  изобразить кратчайший путь на поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо знать его относительные размеры, так как от этого зависит выбор развертки, что влияет на получение искомого результата.

VI. Используемая литература

1. Депман И.Я. За страницами учебника математики. М.. Просвещение.1989.
2. Еленский Щ.  По следам Пифагора. М., Детгиз. 1961.
3. Смирнова И. Смирнов В. Экстремальные задачи по геометрии. Математика. № 2. 2007.
4. Франц Герман. О развертках куба.KIW-Gesellschaft e. V., Dresden, BRD.
5. Е. И. Игнатьев. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. Москва, «Омега», 1994.