Некоторые приемы быстрого счета.

Муниципальное  общеобразовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная русско-татарская школа № 161

Советского района города Казани"

V научно-исследовательская конференция школьников

 имени Ибрагима Хальфина

Исследовательская работа

Некоторые  приёмы быстрого счета

Автор  работы:

 ученик 6 А класса

Валиуллов Артур

Место выполнения работы:

 средняя общеобразовательная

 русско-татарская школа № 161

Советского района города Казани

Научный руководитель

учитель математики высшей категории

Вахрина О.И.

Казань 2011

Содержание

1.Введение.

2. Теоретическая часть работы.

       2.1  Сложение  и вычитание двух чисел при помощи увеличения одного из  чисел до полных десятков, сотен, тысяч и т.д.

        2.2  Задачи на умножение

        2.3  Задача на деление.

              Деление сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д. на 9

        2.4  Признаки делимости на 25 и 50.

        2.5  Признак делимости на 6.

        2.6  Признак делимости на 7.

        2.7  Признак делимости на 8.

        2.8  Признак делимости на 11.

        2.9  Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

3. Результаты опроса учащихся о применении приемов быстрого счета.

5. Используемая литература.

                                         Введение

   Есть ли легкий способ счета?",каждый задавал себе этот вопрос по крайней мере однажды в своей жизни.

   В этом году я познакомился с очень интересной книгой Б. Шлоттерберка "Практические, легко усваиваемые приёмы к скорому  и облегчённому счислению." Перевод с 3 издания: Schlotterbeck, Rechenvorteile.

С.-Петербург,1898.
 Эти удивительные страницы рассказали мне, как можно быстро умножать и делить большие числа, вычислять проценты, возводить в квадрат, я узнал неизвестные мне признаки делимости на натуральные числа!

  Умение считать быстро всегда очень ценилось. Научиться быстро считать не так уж сложно, а хорошему физику и математику просто необходимо владеть основными приемами быстрого счета.

  Нашей стране необходимо иметь много математиков-исследователей, способных делать открытия в самой математике и применять ее необычным образом, требующим большой изобретательности. Для этого нужно развивать в себе умение быстро и логически верно мыслить, не теряя времени и силы на утомительный счет.

  В своей работе я рассмотрел некоторые способы быстрого счета и проанализировал, какие из них чаще употребляются.

                   2. Теоретическая часть работы.        

     2.1.   Сложение  и вычитание двух чисел при помощи увеличения одного из них до полных десятков, сотен, тысяч и т.д.

Задачи:

1. 1587+ 738
2. 98 - 75
3. 65,92 руб. + 16,46 руб.

Решение:

     1) 1587+ 738= 1600+ 738 -13= 2338- 13 = 2325

2) 98 - 75= 100 -75+2 = 25+ 2=27

3) 65,92 руб. + 16,46 руб. = 66руб. + 16,46руб.-8коп. = 82,46 руб. – 8 коп. =82,38 руб.

              2.2.  Задачи на умножение.

Как умножить данное число на 5.

Задачи:

1. 5 X 438
2. 5 X 749

К числу, которое дано умножить на 5, прибавляют с правой стороны 0, и полученное число делят затем на 2:

Решение:

1. 5 х 438 = 4380 : 2 = 2190
2. 5 X 749 = 7490 : 2 = 3745

Объяснение: Прибавляя с правой стороны 0, мы увеличиваем данное для умножения на 5 число в десять раз; а так как 5 вдвое меньше десяти, то и полученное через прибавление с правой стороны нуля число надо, следовательно, уменьшить в два раза, то есть разделить на 2.

2.3.  Задача на деление.

              Деление сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д. на 9

     Задачи:

а) 800 : 9

б) 7 000 : 9

с) 30 000 : 9

d) 500 000 : 9

Решение:

Частное подобных делений всегда представляет из себя число, состоящее из повторённой первой цифры делимого столько раз, сколько нулей в этом делимом + столько девятых, сколько единиц в первой цифре делимого. Таким образом:

а) 800 : 9 = 88  8/9

б) 7 000 : 9 = 777 7/9

с) 30 000 : 9 = 3 333 3/9

d) 500 000 : 9 = 55 555 5/9

Если же в делимом с левой стороны более чем одна цифра; как , например, в задачах:

e) 1 200 : 9

f) 24 000 : 9

g) 1 600 : 9

h) 47 000 : 9

то можно разложить такие числа на отдельные слагаемые; например :

1 200 = 1 000+ 200 и тогда деление производится так:

e) 1 200 : 9 = 1000 : 9 = 111  1/9

                  и  200 : 9 = 22  2/9

                                     сумма 133  3/9

f) 24 000: 9=20 000: 9=2 222  2/9

                 и 4 000: 9=444  4/9    

                                  сумма 2 666  2/3

g) 1 600: 9 = 1 000: 9=111  1/9

                 и   600: 9=66  6/9

                              сумма 177  7/9

h) 47 000: 9= 40 000: 9=4 444  4/9

                  и   7 000: 9=777  7/9       

                                сумма 5 222  2/9

                2.4.   Признаки делимости на 25 и 50.

  На 25 и 50 делится сравнительно немного чисел. Так как

 2 х 25=50,

 3 х 25=75,

 4 х 25=100, то на 25 делятся без остатка все числа, оканчивающиеся на 25, 50,75 или на 2 нуля; например: 875, 900, 1225 и т.д. На 50 делятся без остатка все числа, оканчивающиеся на 50 или на 2 нуля; например: 2000, 1850, 700 и т. п.

2.5.   Признак делимости на 6.

Прежде всего надо найти сумму цифр числа, о котором надо узнать, делится ли оно на 6.

Задача:

1. 7581 :      7+5+8+1 = 21
2. 2898 :      2+8+9+8 = 27
3. 4776 :      4+7+7+6 =24

Если сумма цифр делится без остатка на 3 и это число четное, то оно делится на 6. На 6 делятся все чётные числа, сумма цифр которых делится без остатка на 3.

Объяснение: число 7581 состоит из 7000+ 500+ 80+ 1.

 Разделим эти четыре слагаемых на 9 и посмотрим, какие получатся от деления остатки. Единицы не делятся на 9 и остаток , следовательно, = 1; 80 : 9 дают в остатке 8 ; 500 : 9 дают в остатке 7. Из этого видно, что остатки равны цифрам, показывающим, сколько единиц заключается в известном разряде данного числа. Если сумма этих остатков делится на 9, то, понятно, делится на 9 и всё число; а так как в числе 7581 сумма цифр не делится без остатка на 9, то всё число 7581 на 9 без остатка не делится. Если число делиться на 9, то оно точно делиться на 3. Поэтому точно так же поступают при делении числа на 3.

2.6.   Признак делимости на 7.

     Задачи:

Узнать, делятся ли на 7 числа:

а) 917;

б) 1792;

с) 665.

Решение:

Делится ли число на 7 без остатка, узнают следующим образом: берут последнюю цифру числа, умножают её на 2 и вычитают полученное число из остальных цифр данного числа без единиц, если получившийся остаток делится на цело на 7, то и всё число делится на 7.

 Например:

а) 917. Последняя цифра 7 удваивается – получится 14; 14 вычитается из       91 = 77; 77 делится на 7, следовательно, и 917 делится на 7.

б) 1792; 2х2 = 4; 179-4 =175; 175: 7 =25 без остатка.

с) 665; 5х2 =10 ; 66-10= 56; 56:7 =8 без остатка.

Следовательно, и числа 1792 и 665 делятся на 7 без остатка.

Объяснение:

Отделив последнюю цифру (7) в задаче а), остаётся число 91, представляющее из себя десятки; вычтя из 91 десятка удвоенную последнюю цифру 7 х 2 = 14, мы вычли из 91 десятка 14 десятков, так как из десятков только десятки и можно вычитать; таким образом, из всего данного числа 917 мы вычли 14 десятков и 7 единиц, которые мы в самом начале откинули, то есть всего вычли 147; 147 же делится на 7, так как составлено из множителей 7 и 21.

Если после вычитания 147 из 917 останется число десятков, также делимое на 7, то и всё число должно делится без остатка.

2.7.   Признак делимости на 8.

Задача:

Узнать, делятся ли на 8 числа:

а) 5640;

б) 19200;

Решение:

На 8 делятся без остатка лишь тысячи, десятки тысяч и т.д. Поэтому, если единицы, десятки и сотни, т.е. последние три цифры числа делятся  на 8 без остатка, то и все данное число  делится  без остатка.

а) 5640

      640 делится на 8 без остатка, то и все данное число 5640  делится  без остатка на 8.

б) 19200

         200 : 8 = 25(без остатка), значит все данное число 19200  делится  без остатка на 8.

2.8.   Признак делимости на 11.

Задача:

Узнать, делятся ли на 11числа:

а)  27148;

б)  40458;

Решение:

а) Т.к. 10 =11-1,

            100 = 99+1

            1000 = 999-1,

            10000 = 9999+1  и т.д., то в числе 27148

8=8

40 = 4( 11-1) = 4*11-4

100 =1(99+1) = 1*99+1

7000 =7(1001-1) =7*1001-7

20000 = 2(9999+1) = 2*9999+2  , а сумма равна:

8+4*11-4+1*99+1+7*1001-7+2*9999+2=

=4*11+1*99+7*1001+2*9999+ (8-4+1-7+2)

4*11+1*99+7*1001+2*9999   делится на 11 без остатка; делимость числа на 11 зависит от того, делится ли сумма цифр  8+1+2 (т.е. сумма цифр нечетного порядка) уменьшенная на сумму цифр  четного порядка  т.е. 4+7 без остатка.

Правило: Число делится на 11, если  разность между  суммами цифр нечетного  и  четного порядков  делится на 11 без остатка.

б) 40458

сумма цифр нечетного порядка: 8+4+4 = 16

сумма цифр  четного порядка : 5+0 = 5

разность: 16-5=11  делится на 11 без остатка, значит все данное число 40448  делится  без остатка на 11.

                2.9  Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

Задача:

Возвести в квадрат числа:

а) 25;

б) 125;

Решение:

Чтобы возвести в квадрат число 25, нужно количество десятков в числе (2) умножить на число , на 1 большее, т.е. на 3 и приписать 25, получим число 625:

252=(2*3)25=625.

 б) 125;

1252=(12*13)25 = 15625.

Правило: Чтобы возвести в квадрат число , оканчивающееся на 5, нужно количество десятков в числе  умножить на число , на 1 большее,  и приписать  справа  25.

3. Результаты опроса учащихся о применении приемов быстрого счета.

Чтобы посмотреть, какие приемы быстрого счета используются в наше время современными учениками, я  провел  опрос среди учащихся 6,7 и 9 классов своей школы.

 Я заметил, что чем старше опрашиваемый, тем хуже он считает и тем меньше приемов быстрого счета применяется:

9 класс-    2-3 приема;

7 класс-    2-4 приема;

6 класс-    4-5 приемов.

Результаты опроса учащихся 6-9 классов и родителей

1 – способ сложения и вычитания путем увеличения одного слагаемого до 10,100, 1000 и т. д.

2 – способ умножения на 5

3 – способ умножения на 11

4 – признак делимости на 6

5 - признак делимости на 9

6 - признак делимости на 2

7 - признак делимости на 4

8 - признак делимости на 7

9 - признак делимости на 8

Использованная литература:

Б. Шлоттерберкъ. Практические, легко усваиваемые приёмы к скорому  и облегчённому счислению. Перевод с 3 издания: Schlotterbeck, Rechenvorteile. С.- Петербург, 1898.