Исследовательская работа "Признаки делимости чисел"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №2 имени Героя России Валерия Иванова»

города Волжска Республики Марий Эл

Исследовательская работа

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

                                                         Работу выполнили   ученицы 6 класса                                      

                                                          Елисеева Надя, Матвеева Катя

                                                                     Руководитель:                                                                                                                            

                                                                        Поливина Любовь Викторовна,                                                                                                

                                                                учитель математики 1 кв. категории                               

Содержание

Введение………………………………………………………………………3-4

Историческая справка  .……………………………………………………..5-6

Признаки делимости …………………………………………………………..7

Признаки делимости на 2…………………………………..…………...8

Признаки делимости на 3…………………………………………….…8

Признаки делимости на 4……………………………………………….8

Признаки делимости на 5……………………………………………….8

Признаки делимости на 6………………………………………...……..8

Признаки делимости на 7…………………………………………….....9

     Признаки делимости на 8…………………………………………….....9

Признаки делимости на 9…………………………………………….....9

Признаки делимости на 10……………………………………………...9

          Признаки делимости на 11…………………………………………….10

Признаки делимости на 12……………………………………………...10

Признаки делимости на 13……………………………………...………11

           Признаки делимости на 14……………………………………………..11

 Признаки делимости на 15…………………………………………......11

 Признаки делимости на 19……………………………………….....11-12

 Признаки делимости на 25………………………………………...……12

Признаки делимости на 50…………………………………………….12

Выводы………………………………………………………………………….13

Заключение……………………………………………………………………..13 Список используемой литературы …………………………………………...14

Приложения…………………………………………………………………….15

Введение.

Изучая  на уроках математики тему «Делимость чисел», мы познакомились с признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, узнали, какие числа являются простыми и составными. У нас возникли вопросы: «А существуют ли признаки делимости на другие числа?».  Так появилась идея начать работу над учебным проектом «Признаки делимости», в создании которого приняли участие ребята шестых классов. Было предположено, что  если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки,  по которым можно определить делимость и на другие числа. 

    Цель нашей исследовательской работы – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким расчетам и вычислениям.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: 

1)  Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и  обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать  вывод.

Гипотеза: Мы предполагаем, что  если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки,  по которым можно определить делимость и на другие числа. 

В результате изучения различной литературы, наша гипотеза была подтверждена.

     Предмет исследования: Признаки делимости.

    Методы исследования:

1. Изучение литературы и электронных источников.
2. Систематизация и обобщение полученной информации.
3. Применение изученной теории при решении проблемных задач.

Работа имеет практическое применение. Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Историческая справка

Блез Паскаль – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль родился 19 июня 1623 в Клермон-Ферран, в семье высокообразованного юриста. Отец Паскаля имел хорошее образование и решил самостоятельно заниматься образованием мальчика. Блез рос одарённым ребёнком и рано проявил выдающиеся математические способности. Его отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался на разного рода пустяки. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции. Однако тут же запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углем выводить на полу различные фигуры и изучать их. Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясен: не знавший даже названий фигур, мальчик доказывал их свойства. Так постепенно раскрывался гений Блеза Паскаля.

Отец Блеза был сборщиком налогов, и, наблюдая за его бесконечными утомительными расчетами, Паскаль, в возрасте 19 лет, задумал создать вычислительное устройство, которое могло бы помочь этой работе. Он работал над этим устройством в течение трех лет. Устройство, называющееся "Паскалиной", выглядело как ящик, наполненный многочисленными связанными друг с другом шестерёнками. Складываемые числа вводились соответствующим поворотом колес. За несколько лет Паскаль построил около 50 вариантов своей машины. Паскаль получил лично от короля Патент на изобретение с сохранением авторских прав на ее изготовление и продажу. Изобретённый Паскалем принцип связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства вычислительных устройств. Во Франции она оставалась в употреблении до 1799г., а в Англии даже до 1971 года.

Но это было далеко не все, на что оказался способен одаренный юноша. К 30-ти годам закончил ряд работ по арифметике, алгебре, теории вероятностей и теории чисел. Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел".

Делители и кратные.

Делителем натурального числа  а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простые и составные числа.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.

Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121.  

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. 

Признак делимости.

           Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. Казалось бы, теперь все эти полезные приемы никому не нужны, ведь у каждого школьника всегда под рукой сотовый телефон со встроенным калькулятором, но, в некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время. 

           К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число.

           Признак  делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно  установить, делится ли одно число на другое.

            Какие-то из них более легкие изучают  в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический.

            Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.

Признак делимости на 2.

           Итак, самый простой и часто применяемый из них.  Проверка, делится ли число на 2, не требует никаких вычислений: либо оно четное и делится на 2, либо нечетное и не делится на 2.

Признак делимости на 3.

         Если же решение задач по алгебре требует установить делимость числа на 3, то придется выполнить простейшие вычисления, а именно сложить все цифры числа и, если полученный результат делится на 3, то и само число делится на 3.                                                                                                         Например, число 528 на 3 делится, так как 5 + 2 + 8 = 15, а 15 на 3 делится без остатка.

Признак делимости на 4.

             Следующий признак – деление на 4. Здесь стоит обратить внимание на последние две цифры – если образуемое ими число делится на 4, то и все число делится на 4. Кроме того, все числа, оканчивающиеся двумя нулями, так же делятся на 4.

Признак делимости на 5.

             Правило делимости на 5 так же просто, как и делимость на 2, необходимо посмотреть на последнюю цифру этого числа. Если она равна 5 или 0, то будьте уверены - это число разделится на 5 без всяких проблем.

Признак делимости на 6.

            Уже более интересно определять делимость на 6. В этом случае сначала стоит установить четность числа, так как нечетные числа на 6 вообще не делятся, а затем проверить его на делимость на 3, что, впрочем, тоже достаточно просто.      

            Кстати, упомянутое уже число 528, делится на 3 и, поскольку оно четное делится на 6.

Признаки делимости на 7.

           А вот с делимостью на 7 вы вряд ли познакомитесь в школе. Дело в том, что это достаточно сложный признак. Если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делятся на 7, то само число делится на 7.

        Например:   рассмотрим число 154  (15*3+4=49, 49 делится на 7, значит и 154 делится на 7).  

         Понятно, что признак делимости на 7 в современных условиях не имеет большого практического значения, но зато всегда можно блеснуть своей эрудицией! 

Признак делимости на 8.

        Признак делимости на 8 очень похож на признак делимости на 4, но здесь нужно обратить внимание уже на 3 последние цифры. Если они нули или делятся на 8, то и все число тоже будет делиться на 8.

Признак делимости на 9.

      Признаком делимости на 9 пользуются достаточно часто, и знать его нужно обязательно. Так же как и при проверке делимости на 3, необходимо сложить все цифры, и если полученное число делится на 9, то и исходное число тоже делится  на 9.

Признак делимости на 10.

 И, конечно же, всем известен признак делимости на 10. Просто в конце должен стоять ноль!

Признаки делимости на 11.

          Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

          Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.

        Испытаем число 100397.

Нумерация идет слева направо.

1+0+9=10

0+3+7=10

10-10=0,  0 кратно 11, значит,  100397 делится на 11.

         Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Например, испытаем число 15235.

Разбиваем на группы

1. 52. 35  и складываем их:

1+52+35=88.

88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признак делимости на 12.

            Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значит  и на 12.

Признак делимости на 13.

           Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Например:

858 делится на 13, так как    делится на 13.

Признак делимости на 14.

    Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

 Пример:

Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.  

Признак делимости на 15.

            Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Например: 1146795

 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.

Признак делимости на 19.

     Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.                                                             Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

   Применим последовательно признак делимости. Число десятков  в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

  1) 1 0 2  +2 ∙ 6= 114

   2) 11+ 2∙4=19

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно,  число 1026 делится на 19.

Признак делимости на 25.

         Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.                              Пример:  Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.

Признак делимости на 50.

      Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы  на конце записи  числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число.                   А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться  на 00 или 50.

Например:

6957200, 67906850.

Выводы.

   В ходе исследовательской работы мы:

1.  Нашли и познакомились с различными источниками информации по теме делимость чисел.

2. Систематизировали полученную информацию.

3. Научились пользоваться признаками для определения делимости чисел.

Все это позволило более широко изучить тему делимости чисел, расширило наш математический кругозор.                                                                                                                      

       Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих задач. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках  математики, так и во внеклассных занятиях.

Заключение.

Работая над поставленной проблемой, мы выяснили, что кроме известных нам признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще  признаки делимости на 4, 6, 7, 8,  11, 12, 13, 14, 15, 19 , 25 и 50.

    В дальнейшем планируем  продолжить изучение признаков делимости чисел. В частности планируем рассмотреть универсальный признак делимости, с помощью которого можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Список используемой литературы.

• Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы», Москва, 1982, «Просвещение».
• «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»
• Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

  Электронные источники.

•  Журнал "Hard" n "Soft" (online) №6-2003.
• Энциклопедический ресурс www.rubricon.com (Большая советская энциклопедия, Иллюстрированный энциклопедический словарь).

Приложения

Задача № 1.

Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

А) число, которое делиться на 10;

Б) четное число;

В) число, кратное 5;

Г) нечетное число.

Задача № 2.

Семеро друзей.

У одного гражданина было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер. Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?

(Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 3.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.

Задача № 4.

Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 333³³³?

Ответ: цифрой 3.