Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа с. Новый Буян муниципального района Красноярский Самарской области

Научно-практическая конференция

Исследовательская работа на тему:

«Лист Мёбиуса»

                                    Выполнил: Чурбанов Максим,

                                                                 учащийся 5 А класса

Руководитель: Оздоева Елена Николаевна,

                                                                         учитель математики

Новый Буян, 2015

                                    Содержание
1. Введение

2. Основная часть

2.1 Наука топология.

2.2 Лист Мёбиуса – определение.

2.3 А.Ф. Мёбиус и его поразительное открытие.

2.4 Применение листа Мёбиуса.

3. Практическая часть

3.1 Изготовление листа Мёбиуса.

3.2 Проведение опытов с листом Мёбиуса.

3.3 Общие результаты опытов – свойства листа Мёбиуса.

4. Заключение

5. Список литературы

Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости  венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость –
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары…

(Наталия Юрьевна Иванова)

Введение

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур.

Слышали ли вы когда-нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как  он связан с математикой и где применяется в жизни.

Занимаясь этой работой, я пришел к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, а также интерес к нему не угасает и сегодня, в XXΙ веке. Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре.

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.
        Предмет исследования: свойства листа Мёбиуса.

Цель работы: выявить опытным путём удивительные свойства листа Мёбиуса.

 Задачи исследования:

1. Познакомиться с понятием топологии.
2. Познакомиться с биографией Мёбиуса и с историей его замечательного открытия.
3. Описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления.
4. Выявить и исследовать свойства листа Мёбиуса.
5. Установить области применения листа Мёбиуса.

Для того чтобы решить проблему, я нашел и изучил нужную информацию в математической литературе и на различных сайтах Интернета, затем сам изготовил лист Мёбиуса и с помощью опытов выявил его необыкновенные свойства.

Методы исследования:

-поисковый;
-аналитический;
-экспериментальный;
-описательный.

Основная часть

2.1 Наука топология. 

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать - делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными. 

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Например, сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Топология – одна из наук, результаты исследования которой применяются в математике, технике, экономике.

2.2 Лист Мёбиуса – определение.

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.
Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, т.е. пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность». 

Лист Мёбиуса назван так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858г.

2.3 А.Ф. Мёбиус и его поразительное открытие.

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – немецкий геометр, ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике. 

Одним из «неожиданным» математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

      На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мёбиуса. На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Эта история произошла в 1865 году.

Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. 

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

2.4 Применение листа Мёбиуса.

Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера.

Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза  потому, что вся поверхность листа равномерно изнашивается.

В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон.

Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию.

Имеются воплощения простого листа Мёбиуса в строительстве. Построенный в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

Чудесные свойства ленты породили многочисленные фантастические рассказы. В рассказе А. Дейча “Лента Мёбиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мёбиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. 

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.

Гигантская скульптура «Древо жизни» сочетает в себе мотивы древесной коры, человеческого сердца и «Листа Мёбиуса», символизирующие творческий союз искусства и науки.

Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса. Например, в Казахстане строится огромная библиотека.

Аттракцион «Американские горки», являющийся подобием «необыкновенного листа», многих людей приводили в восторг. 

Небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются украшением парков и скверов. 

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.  

Мёбиусова лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из специального покрытия. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую.

 Ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках. Например, на значке механико-математического  факультета Московского университета.

Необычный вид ленты Мёбиуса приглянулся и ювелирам. Часто украшения напоминают математический объект.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.

  Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

 Практическая часть.

3.1 Изготовление листа Мёбиуса

Берем бумажную ленту АВА1 В1, прикладываем ее концы АВ и А1 В1 так, чтобы точка А совпала с точкой В1, а точка В с точкой А1, и склеиваем. Получим перекрученное кольцо – это и есть лист Мёбиуса.

3.2 Проведение опытов с листом Мёбиуса

Для  проведения  опытов я  изготовил  бумажные  полосы  длиной  30 см  и шириной  3  см. Чтобы понять,  в  чём  особенность  листа  Мёбиуса,  я  проводил  опыты с  обычным бумажным  кольцом  и  с  перекрученным (листом  Мёбиуса).    

Вывод: Поверхность  листа  Мёбиуса  является  непрерывной.   

На  листе  Мёбиуса  любая  точка  может  быть  соединена  с  любой другой  точкой  и при  этом  ни  разу  не  придётся  «переползать»  через  край  ленты.  Разрывов  нет – непрерывность  полная.

Вывод: Поверхность  листа  Мёбиуса  односторонняя.

Лист  оказался  закрашенным  полностью! А  ведь  мы  его даже не  переворачивали,  чтобы  закрасить  с  другой  стороны.  Да  и  не  смогли  бы  перевернуть,  даже  если  бы  очень  захотели.  Лист  Мёбиуса  имеет  одну  поверхность. «Внешняя»  и «внутренняя»  стороны  как  бы  по  ходу  движения   вдоль  ленты  переходят  друг  в  друга.

Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край!                                                                                                                                                                                                                                                             

Вывод: Поверхность  листа непрерывная  и односторонняя.                            

Вывод: при подобном разрезании лист Мёбиуса утратил свойство непрерывности.

Выводы  по  разрезанию: Лист  Мёбиуса имеет интересное  свойство – связность.

Если  квадрат  разрезать  от  стороны  к  стороне,  то  он  распадётся  на  два  отдельных  куска. Разрез  ножом  разделит  яблоко  на  две  части. Говорят,  квадрат – односвязный.

Если  разрезать  лист  Мёбиуса  вдоль  (опыт 1),  он  превратится  не  в  два  отдельных  кольца,  а  в  одну  ленту. Лист  Мёбиуса  -  двусвязный.

3.3 Общие  результаты  опытов -  свойства листа  Мёбиуса

• Лист  Мёбиуса имеет  одну  сторону (поверхность).  
• Лист  Мёбиуса  имеет  один  край.
• Очевидный  лист  Мёбиуса  можно  получить  из  прямоугольника,  где  длина  значительно  больше  ширины, т. е. из  полосы,  ленты.
• Если пустить по  поверхности  листа  Мёбиуса  движущиеся  объекты,  они  будут  двигаться  бесконечно  долго,   т.е. поверхность  непрерывна.
• Листу  Мёбиуса  присуще  свойство – связность.
• Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.

Выводы

1. Лист  Мёбиуса  можно  получить простым  способом.

2. Лист  Мёбиуса  действительно  необыкновенный. В  этом  я  убедился,  проводя  анализ  результатов  опытов  с  обычным  кольцом  и  перекрученным.

3. Свойства  листа  многообразны, они  получены  мной  в  результате  эксперимента  и были  сравнимы  со  свойствами,  описанными  в  математической  литературе.

Заключение

Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, я узнал о жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё гениальное рядом». Открытие положило начало новому направлению в математике. Лист Мёбиуса –  первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но лента Мёбиуса –  самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников и нас, учеников.

Мною была изучена разнообразная информация. Я получил удовольствие, когда выполнял опыты. Результаты были очевидны. Так я узнал об удивительных свойствах листа Мёбиуса. Для меня это были маленькие открытия. Предположение, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, подтвердилась.

Используя источники сети Интернет, я обратил внимание на широкое применение Листа Мёбиуса. Он так нужен в практической жизни!
Поэтому этому математическому объекту и поставили памятники в Москве, Вашингтоне, в республике Беларусь и Литве.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям.

Работая над данной темой, я получил удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса и от того, что смастерил своими руками.

Итак:

• Я  выявил   источники и литературу по данной теме и проанализировал  их;
• Познакомился  с историей возникновения листа Мёбиуса;
• Научился  изготавливать лист Мёбиуса;
• Изучил  разнообразные свойства листа Мёбиуса.

Литература

1. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1986.
2. Где в технике применяется лента Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=959f11bf-4f2f-495e-b11b-5805cc970163
3. Е.С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. – М: Просвещение, 2002.
4. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс. – М: Дрофа, 2000.
5. Лист Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса
6. Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/ 
7. Эксперименты с листом Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа: http://oksla.narod.ru/experiments.html
8. Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.