Презентация на тему "Задачи Леонарда Эйлера"

Слайд 1

Слайд 2

Содержание. 1)Леонард Эйлер 2)Введение. 3 )Прямая Эйлера. 4 )Загадка о семи мостах . 5) Заключение . 6 )Использованные источники информации .

Слайд 3

Леонард Эйлер Эйлер вычислял без всякого видимого усилия , как человек дышит или как орел парит над землей .

Слайд 4

Введение Леонард Эйлер-математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. Был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Был адъюнктом и академиком Петербургской АН . Работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер — ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор св. 800 работ по математическому анализу, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.

Слайд 5

Свойства треугольника были хорошо изучены еще древними греками. В знаменитых “Началах” Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Слайд 6

Закономерность в расположении трех замечательных точек треугольника – центра O описанной окружности, центроида G(точки пересечения медиан) , ортоцентра H (точки пересечения высот) – впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783).

Слайд 7

Деление отрезка в данном отношении. Дано : A,B,O – данные точки плоскости Точка G делит отрезок AB в отношении k: 3:1=k Выразить вектор OG через векторы OA и OB

Слайд 8

Решение Выразим вектор OG через векторы OA и OB. Для этого подставим в равенство AG=k * GB выражения всех векторов через OG, OA и OB: OG-OA = k(OB-OG). Решая это уравнение относительно OG , получим: OG-OA=2(OB-OG) OG-OA=2OB-2OG 3OG=2OB-OA OG= (2OB-OA) : 3 .

Слайд 9

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке. Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем 3PG=PA+PB+PC, (2) где P – любая точка плоскости или пространства.

Слайд 10

ABC- треугольник G- точка пересечения медиан Соотношение |CG|:|GD|=2:1

Слайд 11

Доказательство Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением |CG|:|GD|=2:1 Согласно формуле (1), PD =(PA + PB), откуда PG = (PA + PB + PC). Вычисляя вектор PG’ с концом в точке G’, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение: PG’= (PA + PB + PC), Поэтому PG’=PG, и точка G’ совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2).

Слайд 12

Теорема о высотах произвольного треугольника Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем OH= OA + OB + OC, (3) где О – центр окружности описанной около треугольника. Дано :ABC- треугольник т .M- симметрична O относительно стороны AB Док-ть:ОН=ОА+О B+OC

Слайд 13

Доказательство Пусть АВС – треугольник, отличный от прямоугольного (рис.4). Найдём сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороны AB, тогда OM = OA + OB. Затем построим точку Н, для которой OH = OM + OC = OA + OB +OC, и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС.

Слайд 14

Прямая Эйлера Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и OG:GH = 1:2.

Слайд 15

Доказательство По теореме 3OG = OA + OB + OC. Сравнивая это равенство с равенством (3) (OH=OA+OB+OC) , получим OH = 3OG. Следовательно, векторы OH и OG, имеющие общее начало O, расположены на одной прямой и | OG| : |GH| = 1 : 2. Прямая, на которой лежат точки O, G и H, называется прямой Эйлера.

Слайд 16

Загадка о семи мостах Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды . Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

Слайд 17

Решая задачу о мостах Кенигсберга, Леонард Эйлер заложил основы теории графов. Граф-это набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Эти точки называются вершинами. Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение: например, её используют при изучении транспортных и коммуникационных систем, в частности, для маршрутизации данных в Интернете. А слово <граф> первым стал использовать английский математик Джеймс Дж. Сильвестр(1814-1897). Примерами графов могут служить любая карта дорог, схема линий метрополитена, электросхема, чертеж многоугольника и т.д.Очень часто построение графа помогает при решении задач.

Слайд 18

Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин. Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине. Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Слайд 19

Заключение Среди огромного числа работ Леонарда Эйлера есть работы, посвященные практически всем разделам математики и физики его времени. Есть среди них и работы, посвященные геометрии. Они составляют сравнительно небольшую часть наследия великого ученого - примерно 70 работ из почти девятисот. И лишь немногие из этих геометрических работ можно назвать элементарными.

Слайд 20

Однако даже того небольшого числа элементарно-геометрических результатов, которые можно найти в работах Эйлера, достаточно, чтобы считать его одним из самых выдающихся геометров своего времени. Оставив в стороне его топологические достижения: формулу, связывающую число граней, ребер и вершин многогранника и задачу о Кенигсберских мостах (результаты, которые на 100 лет опередили своё время), можно сказать, что Эйлер оставил огромный след. Его теоремы и формулы можно найти в школьных учебниках и многочисленных задачниках по элементарной геометрии.

Слайд 21

Список используемой литературы 1. Готман Э. Прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. 2. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 класса 3. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 5. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы 6. Шарыгин И.Ф. и др. Окружность девяти точек и прямая Эйлера