Проектная работа Признаки делимости

Открытая юношеская научно-исследовательская         конференция имени С. С. Молодцова

           Секция:         Математика

                                            Проектная работа

                                         Признаки делимости

                                Выполнил: ученица 7 «Б» класса Зубова Дарья

                              Научный руководитель:

                              Пугачевич Галина Леонидовна

                              Учитель математики 2 кв. категории.

                                 Нижнекамск 2010

Введение

Когда на уроках математики мы изучали тему «Признаки делимости на 2,3,5,9,10», мне стало интересно, существуют ли признаки делимости на другие числа. Где можно ими воспользоваться и нужны ли оно вообще. Обратилась  с этим вопросом к своему учителю математики, и получила предложение изучить специальную литературу по этому вопросу, а затем и написать проектную работу.  Всё что я узнала  нового  о признаках делимости, я изложила  в своей работе. Кроме того, я узнала, что существуют признаки делимости не только чисел, но и сумм, произведений и степеней.

Оглавление.

I. Введение

II. Основная часть

1.        Делимость чисел

а)        понятие о делимости чисел

б)        свойства делимости

в)        признаки делимости на 2,3,4,
5,6,7,8,9,10,11 ,13 и 25.

2.        Где применяются признаки делимости чисел

III. Заключение

а) понятие о делимости

Имея дело с натуральными числами, иногда возникает вопрос о выполнимости действия деления для двух данных чисел, т.е. о делимости этих чисел. При рассмотрении других арифметических действий над числами такой вопрос очевидно не возникает: ведь сложить , вычесть или умножить два натуральных числа можно всегда и при этом получить результат данного действия. Понятно, что в случае деления не всегда можно с уверенностью сказать, что разделив два натуральных числа, можно получить результат- натуральное число. Вот здесь и возникает вопрос как же узнать, возможно, выполнить деление «нацело» или нет. Определение: число а делится на число Ь, если существует такое число с, что а=bс.

Этот факт называется делимостью числа а на число b .Для выяснения того, делится ли одно число на другое ,существует довольно много способов.

        Один из них состоит в непосредственном делении этих чисел. Однако такое деление часто оказывается слишком долгим и утомительным, к тому же при таком долгом делении высока вероятность допустить ошибку, и,

следовательно так и не получить ответ на вопрос делится ли одно из чисел на другое.

Или можно проблему делимости двух чисел сформулировать по-другому: будет ли остаток от деления равняться нулю.

       Другим способом выяснения делимости является применение признаков делимости. Некоторые  из признаков изучаются в школьном курсе . Далее  же будут изложены все известные признаки делимости по

порядку.

б) свойства делимости

Сущность всякого признака делимости состоит в том, чтобы свести вопрос о делимости числа а на число b к вопросу о делимости на b некоторого числа, меньшего а. В разных признаках это меньшее число находится по-разному. Делимость чисел обладает свойствами:

1. Если а и р- натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.

 Например 15и 11. 15и5.

2.Если М- общее кратное а и b, а т- их наименьшее общее кратное, то М делится на т.

Например 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.

5. Рефлексивность: если а делится на b, то и b делится на а.

Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо

4. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится на с.

Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4

Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.

в) признаки делимости

Признак делимости на 2:

Число делится на 2 в том и только в том случае, если его последняя цифра четная.

Например:

4,22,98,106- последние цифры четные, значит эти числа делятся на 2.

Признак делимости на 3:

Способ №1.

Чтобы проверить делится ли число на 3 нужно найти сумму его цифр. Если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3.

Например:

990    9+9+0=18 - делится на три, значит и число 990 делится на 3.

753217   7+5+3+1+7=23 -не делится на 3, значит и 753217-не делится на

                             Способ №2.

Чтобы проверить делится ли число на 3 нужно найти сумму его цифр. Если сумма цифр  выражается более чем однозначным числом, нужно найти сумму цифр полученной суммы, и т.д. до тех пор, пока вы не придёте однозначному числу, которое мы назовём цифровым корнем исходного числа. Если цифровой корень кратен 3 ,то и число делится на 3.

Например:

96878898    9+6+8+7+8+8+9+8=63, 6+3=9-цифровой корень, он кратен 3, значит и исходное число кратно 3.

Признак делимости на 4

Число делится на четыре, если две его последние цифры нули, или образуют  двузначное число, делящееся на 4. В остальных случаях  -  не делится.

 ( Это нетрудно понять, если учесть, что число 100 и кратные ему числа делятся на 4.)

Например:1 )  число 57463984

т.к. 84 делится на 4, следовательно, и исходное число делится на 4.

2 ) число  31700 делится на 4, т.к. оканчивается двумя нулями.

3 ) число 16608 делится на 4, т.к. две последние цифры 08 дают число 8 делящееся на 4.

4 ) 215634 не делится на 4, т.к. последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4.  

Признак делимости на 5

Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на 5 или на 0.

Например:

245   делится на пять.

Признак делимости на 6

Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3 (то есть проверить на делители числа 6.) Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его числовой корень делится на 3.

Например:

1 ) 285972 - четное,     2+8+5+ 9+7+2=33,  3+3=6 – числовой корень (делится на 3.)

следовательно, и число 28972 делится на 3.

2 ) 126 делится на 6, т.к. оно делится на 2 и на 3.

Объединенный признак делимости на 7,11,13.

Требуется определить, делится ли данное число 42623295 на 7, 11 и 13. Разобьём данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трёх цифр.

Рассматривая каждую грань испытуемого числа как самостоятельное число, можно сразу высказать следующий объединённый признак делимости на 7, 11 и 13:

Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7, или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7, или на 11, или на 13.

Например:

42 623 295=(295+42)-623=-286

Число  -286 делится на11, и на13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11и13, а на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. (Справедливость этого признака следует из того, что все числа, кратные 1000, делятся на 8). В противном случае остаток от деления на 8 числа, образованного последними тремя числами, совпадает с остатком от деления на 8 исходного числа.

Например: 1 ) 1961    9+6+1=16-делится на 8.

2 ) 120 000 делится на 8, т.к. три нуля в конце.

3 ) 170 004 не делится на 8, т.к. три последние цифры дают число 4 не делящееся на 8.

4 ) 111 120 делится на 8, т.к. три последние цифры дают число 120, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 в том, и только в том случае, если его цифровой корень делится на 9.

Например:

261972   2+6+1+9+7+2=27, 2+7=9-делится на 9, значит и число 261972 делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 в том, и только в том случае , если число оканчивается на 0.

Например:

33312890- делится на 10.

Признак делимости на 11 (Алгоритм Евклида.)

1. Найти сумму цифр числа через одну

2.  Оставшиеся цифры также сложить

3.   Найти разность полученных сумм.

4.  Если полученная разность делится на 11  . то само число делится на 11.

  Например:  Делится ли   42623295  на 11 ?

42623295

1.   5+2+2+2=11

2.   9+3+6+4=22

3.   22—11=11

4.  11:11=1, т.е. и само число разделится на 11

Признак делимости на 12

Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например:

12653428767

-делится на 3 и 4, а значит  и на 12.

                             Признак делимости на 25

Число a делится на 25, если на 25 делится двухзначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а (т.е., если оно оканчивается либо на 00, либо на 25, либо на 50, либо на 75).

Например: 56458750 делится на 25, т.к.

56458750=56458700+50, а 50 делится на 25.

Попробуйте проверить делимость следующих чисел:

а)44456370:25?

б)89432100:25?

в)79107625:25?

г)9457895:25?

   Использование признаков делимости

Признаки делимости необходимы учащимся  и их учителям. Например: 1 ) При выполнении примеров на деление – 205 : 5 = 41 (признак делимости на 5); 2 ) При разложении числа на простые множители: Разложим на простые множители число 1 237 600. Заметив, что 1 237 600 = 12 376 × 100, разложим в отдельности два сомножителя. Второй разлагается сразу: 100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 = 22 ·52. Первый разлагается следующим образом. Берём из таблицы первое простое число 2: что оно есть делитель числа 12 376, видно по признаку делимости. Найдя частное 6188, снова берём из таблицы число 2. Второе частное 3094 также чётно; делим его опять на 2. Результат 1547 уже не делится на 2. Признаки делимости покажут, что оно не делится ни на 3, ни на 5. Попробуем делить 1547 на 7; получаем частное 221. Пробуем ещё раз разделить на 7. Не делится. Тогда проверяем следующие простые числа. На 11 число 221 не делится, но на 13 делится, в частном -  простое число 17. Результат: 1 237 600 = 23 · 7 · 13 · 17 · 22 × ×52 = 25 ·52 · 7 · 13 · 17.   3 ) Когда необходимо выполнить сокращение дробей, перед сокращением надо знать, насколько сокращать. Например: Сократить дробь 108 ∕ 144 . Применяя признак делимости на 4, видим, что 4 есть общий делитель числителя и знаменателя. Сокращая на 4, имеем 108 ∕ 144 = 27 ∕ 36. Замечая, что 27 и 36 имеют общим делителем 9, сокращаем – на 9; имеем 27 ∕ 36 = 3 ∕ 4. Дальнейшее сокращение невозможно (3 и 4 – взаимно простые числа). 4 ) При вынесении общего множителя за скобки: а ) 4 120а + 16в = 8 · (515а + 2в) – признак делимости на 8;  б ) 96в – 102с = 6 · (16в – 17с) – признак делимости на 6.  При делении чисел,  я не буду гадать, а сразу смогу определить, на сколько делится число. Также эти знания понадобятся при нахождении наибольшего общего делителя чисел, и при нахождении общего знаменателя обыкновенных дробей.

Заключение

                 В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математики, я познакомилась  с новыми понятиями: числовой корень и алгоритм Евклида, при помощи которого можно определить делится ли число на 11 и найти наибольший общий делитель чисел. Я узнала,  как быстрее определить делимость многозначного числа на 3.   Так же я узнала,   что существуют еще  признаки делимости на 4,6,7,8,10,11,12, 13 и 25.   И  поняла,  что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Я изложила  эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мою работу  и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости. Математика мне стала еще больше нравиться

Список литературы:

1.        Воробьев КН., Признаки делимости, издательство
«Наука», 1974.

2.        Гарднер М , Математические досуги, Москва,
издательство «Мир», 1972.

3.        Кордемский Б А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.

4.        Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва,
издательство «Наука», 1988.