Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий школьного курса геометрии. Использование векторного метода является «панацеей» при решении многих планиметрических и стереометрических задач. Вектор находит широкое применение в физике. Но на этом использование вектора школьниками, как правило, и заканчивается. Нам показалось интересным найти возможность использовать вектор при решении алгебраических задач.
Вложение | Размер |
---|---|
vektornyy_metod_resheniya_algebraicheskih_zadach.doc | 286.5 КБ |
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №29»
11 А класс
Научный руководитель
Курьян Татьяна Казимировна
учитель математики
высшая квалификационная категория
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №29»
г. Северодвинск
пр. Морской д.56 А
ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий школьного курса геометрии. Использование векторного метода является «панацеей» при решении многих планиметрических и стереометрических задач. Вектор находит широкое применение в физике. Но на этом использование вектора школьниками, как правило, и заканчивается. Мне показалось интересным найти возможность использовать вектор при решении алгебраических задач.
Изучив соответствующую литературу, я установила, что «эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных
областях математики, механики, а также в технике».[5.126]. Работы Г. Вес-
селя, Ж.Аргана, К.Ф.Гаусса, В.Гамильтона,
Г. Грассмана, Ф.Мебиуса внесли огромный вклад в развитие векторного исчисления и его приложений.
Однако, возможность использования свойств вектора при решении алгебраических задач, стала для меня настоящим открытием, подтолкнувшим к исследованию все новых и новых задач, решение которых с помощью вектора не только более «изящнее» традиционного способа, но реально даёт возможность сэкономить время на решении, избежать громоздких вычислений.
При решении задач векторным методом необходимы знания о свойствах скалярного произведения двух векторов, а именно:|| · ||. Причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Заметим, что = || · ||, если векторы сонаправленые и = -|| · ||, если векторы противоположно направлены. [1.198] Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т. е. если векторы и - коллинеарны, то . [2.320]
В данной работе я показываю возможность использования свойств векторов при решении уравнений и их систем, при решении и доказательстве неравенств, при исследовании некоторых свойств функций.
Рассмотрим уравнение .
ОДЗ: отсюда .
Если возвести в квадрат левую и правую части уравнения, произвести преобразования и снова возвести в квадрат, получим уравнение шестой степени, решение которого достаточно трудоемко. Использование векторного метода значительно упрощает решение.
Рассмотрим векторы и . Найдем их скалярное произведение: . Вычислим длины векторов и : ; и произведение их длин.
Таким образом, имеем: = || · ||, т. е. векторы сонaправлены. Тогда соответственные координаты пропорциональны. Поэтому,
.
Отсюда и x3 -3x2 +x +1 = 0.
Заметим, что х = 1 – корень полученного уравнения.
Тогда: x3 -3x2 +x +1=(x-1)(x2 -2x -1).
Отсюда
Второе уравнение имеет два корня х=1±
Ответ: 1; 1±
Весьма эффективным выглядит использование векторов при решении систем уравнений, которые на первый взгляд традиционным способом совсем не разрешимы.
Заметим, что х≥1 и у≥1.
Рассмотрим векторы и .
Тогда и .
, .
Тогда, из второго уравнения исходной системы следует, что , а это означает, что векторы и коллинеарны. Значит, и .
Рассмотрим функцию . Тогда f(x)=f(y). Так как функция монотонно возрастает при х≥1, то х=у.
Первое уравнение исходной системы принимает вид: . Отсюда . Учитывая, что х≥1, имеем
Ответ: .
Для решений заданий с параметрами требуется не только высокий уровень математического и, главное, логического мышления того, кто берется за решение таких заданий, но и способность осуществлять исследовательскую деятельность. Однако к некоторым из таких заданий можно приложить все тот же алгоритм векторного метода.
.
Рассмотрим уравнение, которое требуется решить для всех значений параметра р:
Решение:
Выполним преобразования в левой и правой частях уравнения,
,
,
.
Получили уравнение вида: , где , а . Заметим, что при уравнение принимает вид: и имеет два корня: -1 и 1.
Если , то остальные решения получим, решив уравнение
.
Ранее получено, что 1 является корнем данного уравнения, поэтому решим уравнение .
Итак, корнями уравнения является –р – 1 и р – 1.
Ответ: если р=0, то х=±1; если р≠0, то х=-1±р.
Решение тригонометрических уравнений и неравенств – неотъемлемая часть любого экзамена, в том числе и Единого Государственного. Рассмотрим неравенство, которое, по моему мнению, не зная векторный метод решить выпускнику средней школы было бы очень сложно:
.
Рассмотрим векторы и .
Тогда , , ,
.
Исходя из неравенства , имеем .
На основании полученного и исходного неравенств получаем равенство
, из которого следует, что векторы и коллинеарны.
Следовательно, , и
Отсюда , где k .
Ответ: , где k .
Решим систему неравенств:
Решим неравенство (1).
Пусть, , то
Получаем, , с другой стороны (по условию)
Значит, , следовательно, векторы и коллинеарны, а их координаты пропорциональны, т. е.
Решим неравенство (2):
Пусть, то
Получаем,
С другой стороны, , значит, , следовательно, векторы коллинеарны, а их координаты пропорциональны,
т. е.
Таким образом, что бы найти решение системы неравенств надо решить систему уравнений (1) и (2):
Ответ: (3;6).
Традиционными для различных олимпиад и конкурсов являются задания по доказательству неравенств. И традиционно эти задания считаются одними из самых сложных. Использование свойств векторов в некоторых случаях может свести самые большие проблемы к минимуму.
Рассмотрим следующее задание.
Доказать, если х1+х2+…+xn=3, y1+y2+…+yn=4, z1+z2+…+zn=5, то ;
Рассмотрим n векторов таких, что , тогда .
Пусть .
Тогда и
Давно и прочно вошли в экзаменационные работы задания по нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. Но далеко не все выпускники школы справляются с этими заданиями. На мой взгляд, это связано с проблемами по нахождению производных некоторых функций. Громоздкие преобразования «отпугивают» не только «троечников», и задачи остаются не решенными. Применение свойств векторов в некоторых случаях может помочь избежать эти трудности.
Найдем наибольшее значение функции .
Функция определена, если Таким образом, .
Рассмотрим векторы и
Заметим, что при x = 0,5 векторы имеют следующие координаты: , а значит векторы – сонаправлены.
Итак:, ,
, = .
В силу неравенства , ; отсюда ; т.е.
Причем знак равенства достигается тогда, и только тогда, если векторы и коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны. Таким образом,
Решая эту систему, получим x = 2,5.
Таким образом, унаиб= у(0,5)= y(2,5)=2.
Ответ: 2.
Векторный метод показался мне не только универсальным, но вполне доступным для большинства моих сверстников. Мне захотелось поделиться своим открытием со старшеклассниками нашей школы. Никто из опрашиваемых мной учеников 9-11 классов не знал об этом методе. Мне представилась возможность познакомить с результатом моих исследований учеников нашей школы. В свете предстоящих экзаменов векторным методом особенно заинтересовались некоторые одиннадцатиклассники. Вместе с ними мы нашли немало заданий, предлагаемых на ЕГЭ, при решении которых можно применить данный метод.
Свойства векторов, которые нашли широкое распространение в геометрии и в физике, явились плодотворными и в алгебре. Алгоритм применения свойств векторов позволил упростить решение многих сложных заданий, позволил создать особый метод решения различных алгебраических задач.
В какой день недели родился Юрий Гагарин?
Сказка "Морозко"
Несчастный Андрей
Две снежинки
Одеяльце