Путешествие к истокам геометрии (исследовательская работа)

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Новомеловатская средняя общеобразовательная школа

Путешествие к истокам геометрии

(исследовательская работа)

Выполнил: Зацепилов Андрей, 7 класс

Руководитель: Медведева Татьяна Петровна,

учитель математики

х. Хвощеватое 2015

Оглавление

I. Введение ……………………………………………………………..3 стр.

II. Основная часть ……………………………………………...........4 - 8стр.

1. Из истории Древнего Египта.

2. Фалес Милетский.

3. Александрийская школа.

4. Евклид и его «Начала».

5. Архимед и главное его открытие.

6. Н.И.Лобачевский – первооткрыватель неевклидовой геометрии.

III. Мои эксперименты …………………………………………………. стр.

IV. Заключение………………………………………………………….стр.

V. Источники информации …………………………………………… стр.

VI. Приложения …………………………………………………………. стр.

Введение

         (слайд № 2) В этом году мы начали изучать новый предмет – геометрию. Мне захотелось узнать, откуда пришло к нам это слово, что оно означает, историю возникновения этой науки, какой она была в древности.

         Мне не раз приходилось слышать созвучные со словом «геометрия» слова: география, геология, геодезия, геоботаника и др.

Попробуем разгадать его смысл.

(слайд № 3) Из уроков географии я знаю,  «гео» в переводе с греческого означает «земля». Нетрудно догадаться, «метрио»  - «измерять». Выходит,      геометрия означает «измерение земли» или «землемерие».

      Такое название  объясняется тем, что зарождение геометрии  было связано  с различными измерительными  работами. В результате этой деятельности появились, постепенно накапливались и передавались от поколения к поколению различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями, но они не были еще систематизированы.  

            Где и как начиналась геометрия и когда заслужила право называться наукой? Кто был первый, предложивший аксиоматическое её построение? Истинное начало этой истории теряется во мгле времён.

         Принято думать, что это сделали греки. Быть может, прославленные египетские жрецы? Но они не позаботились о том, чтобы оставить для потомков труды, подтверждающие их приоритет.

        Как бы то ни было, в седьмом веке до нашей эры геометрия приходит в Грецию. И здесь греки оттачивают, а может, создают, одно из самых красивых и долговечных творений человеческой мысли — науку геометрию.

Из истории Древнего Египта

 (слайд № 4)Слово «геометрия» пришло к нам из Греции. Само слово указывает на практическое происхождение. Такое название  объясняется тем, что зарождение геометрии  было связано  с различными измерительными  работами, которые  приходилось выполнять при разметке земельных участков, при строительстве зданий и сооружений, прокладывании дорог.

(слайд № 5) Житницей Древнего Египта была сравнительно узкая полоса плодородной земли. Она тянулась между бесплодной пустыней и коварным Нилом. В долине Нила с незапамятных времён люди занимались земледелием. Древние Египтяне называли свою страну «Кемет», что означало «черная».

Из рассказа греческого историка Геродота я узнал, что египетский царь Сезострис произвел деление земель, выделив каждому египтянину участок. С владельцев соответственно величине этих участков ежегодно взимался налог. Если Нил заливал чей-то участок, то пострадавший докладывал о случившемся царю. В условиях нехватки плодородной земли очень важно было измерить земельный надел после разлива и справедливо восстановить права каждого хозяина. Царь посылал землемеров, и они, измерив, участок, выясняли, на сколько его площадь уменьшилась. Соответственно этому понижался налог.

 В результате этой деятельности появились, постепенно накапливались и передавались от поколения к поколению различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями.   Рассказ Геродота позволяет утверждать о наличии геометрических знаний в Египте более 4000лет назад. Но они не были еще систематизированы.

(слайд № 6) До нас дошли и подлинные памятники египетской математики. Самым древним является папирус, написанный примерно в 1900г. до н.э. Он находится в Московском музее изобразительного искусства им. А.С. Пушкина. В нём среди 25 задач математического содержания семь геометрических. Московскому папирусу несколько уступает по возрасту папирус Ахмета (он называется так по имени его египетского составителя) и относится примерно к 1700г. до н.э. Этот папирус хранится в Лондоне, в Британском музее. В нем рассмотрены 84 прикладных задач, в том числе 20 геометрических. Из них видно, что египтяне умели вычислять площадь плоских фигур: квадрата, прямоугольника и трапеции, что ими была установлена формула, которая дает хорошее приближение к истинному значению площади круга.

(слайд № 7)У жителей Египта был развит культ мертвых. Египтяне верили, что душа когда-нибудь вернется к умершему, поэтому его тело необходимо сохранить (тело бальзамировали и помещали в гробницу). Самые величественные гробницы для правителей Египта - фараонов строились в виде гигантских пирамид из каменных блоков. Они считались символом вечности. В Египте насчитывается около 80 пирамид. Египтяне с гордостью говорили: «Всё боится времени, но само время боится пирамид». И действительно, более четырёх с половиной тысячелетий стоят эти горы из каменных блоков по 15 тонн каждый. К временам строительства пирамид и относится зарождение практической геометрии, которая с течением времени постепенно развилась в науку.

Фалес Милетский

(слайд № 8)Процесс знакомства с различными видами геометрических фигур сменился новым этапом – знакомством с их свойствами. И здесь главную  роль играли практические задачи.

Дело было в VI веке до нашей эры. Искусны были египетские гарпедонапты, т. е. натягиватели верёвок, но однажды им пришлось устыдиться, потому что пришелец из далекой Греции оказался мудрее их. Фалес Милетский как раз и был тем пришельцем. (слайд № 6)

В те времена греки не занимались геометрией, и Фалес решил на месте познакомиться с наукой египтян. Египтяне предложили решить ему трудную задачу: определить высоту пирамиды. Он нашел простое и красивое решение - воткнул длинную палку вертикально  в землю и сказал: «Когда тень от палки будет равна ее длине, тогда и тень от пирамиды будет равна высоте пирамиды». Фараон и его приближенные были изумлены: без специальных приборов северный пришелец решил быстро и точно трудную задачу.

Фалес родился в VI веке до н.э. (624 - 548 годы) в городе Милет. Об этом человеке достоверно почти ничего неизвестно, но точно известно - он имел титул одного из семи мудрецов Греции, что по официальному счёту идёт как первый философ, первый математик, первый астроном и вообще первый по всем наукам в Греции.

В молодости Фалес был крупным купцом и путешественником. Вероятно, по торговым делам попал в Египет, куда фараон Псамметих только-только начал допускать иностранцев, и задержался там на много лет, изучая науки в школах Фив и Мемфиса. Потом вернулся в Милет и основал философскую школу.

 Считается, что геометрия в Греции началась с Фалеса. Он заложил первый кирпич в построении отвлеченной геометрии, геометрии линий и углов. Сейчас каждый школьник знает, что вертикальные углы равны, что диаметр делит круг пополам, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника, теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, теорему Фалеса.… И все эти утверждения доказал Фалес. Допустив даже, что все историки писали сущую истину, мы не можем сказать, самостоятельно ли Фалес пришёл к этим теоремам или просто пересказал идеи египтян.

По-видимому, единственный бесспорный факт из его научной деятельности - предсказание солнечного затмения 29 мая 585 года до нашей эры. Но легенд о Фалесе ходило множество, и это само по себе доказывает, что учёный он был крупный. Во всяком случае, одному у него могут поучиться все философы: краткости. Полное собрание его сочинений (к сожалению, до нас не дошедшее) по преданию составляло всего 200 стихов.

Александрийская школа

(слайд № 10)Многими серьезными открытиями человечество обязано Александрийской школе. Названа эта школа по имени города Александрии, который был столицей государства Птолемеев. В те времена Александрия служила центром математической науки и научной мысли. Здесь трудились великие математики: Евклид, Эратосфен. Архимед - величайший математик древности, который некоторое время жил в Александрии, а, вернувшись на Сицилию, поддерживал постоянную переписку с крупнейшими математиками. Одно из писем Архимеда к Эратосфену сохранилось до наших дней. Александрийская библиотека - крупнейшая библиотека того времени, собирала рукописи  и книги со всего мира.

Евклид

  К III веку до н. э. в Греции был накоплен огромный объём новых геометрических понятий и предложений. Назрела необходимость в научной систематизации собранного материала, в приведении его в стройную систему. Эту колоссальную работу и выполнил Евклид. (слайд № 11)

Наука располагает очень скудными биографическими сведениями о жизни и деятельности Евклида.  Мы даже не знаем точных дат его рождения и смерти.

В одном из своих сочинений математик Папп изображает Евклида, как человека исключительно честного, скромного, которому чужды гордость и эгоизм. Существуют легенды о преданности ученого науке. Насколько серьезно и строго он относился к изучению математики, можно судить по рассказу Прокла: «Царь Птолемей спросил Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее  утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала»?» Евклид ответил: «Нет царской  дороги в геометрии!» Вот другой случай. Один из учеников Евклида спросил: «А что я смогу заработать, если выучу теорему?» Ученый позвал слугу и сказал: «Дай ему три монеты, так как бедняжка хочет заработать деньги своим учением». Нельзя в учебе искать сиюминутной выгоды.

Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвел итог построения геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на две тысячи лет «Начала» стали энциклопедией геометрии. Вряд ли можно найти книгу, более популярную в течение тысячелетий, чем "Начала". (слайд № 12) Ньютон говорил: «Если бы у меня был сын, которого я желал бы сделать искусным геометром, я начал бы учить его по Евклидовым Началам…» 

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в «Начала» еще две книги (XIV и  XV), написанные другими авторами.

В первой книге рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Затем следуют пять постулатов, которые вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы, восемь общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора.

Во второй книге излагается геометрическая алгебра.

В третьей книге рассматриваются свойства круга, касательных и хорд.

В четвертой – правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII – IX изложены начала теории чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. Вершина стереометрии Евклида – теория правильных многогранников.

В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений».

Судьба «Начала», несмотря на всю их образцовость, сложилась непросто. Средневековые фанаты безжалостно уничтожили древние рукописи. Уцелевшие книги по достоинству оценили математики нового времени. Наши бабушки и дедушки знакомились с геометрией по учебнику, изложение материала в котором следовало евклидовым «Началам». И сейчас геометрию, изучаемую в средней школе, называют евклидовой. На протяжении 2000лет «Начала» были образцом построения геометрии. Но уже в 19 веке математики остро ощутили, что «Начала» Евклида не удовлетворяют требованиям современной науки.

Архимед

Архимед (ок.287- 212 до н.э.) – величайший ученый античности. Имя его овеяно легендами. Как Архимед, мы восклицаем «Эврика!» - выражая, восторг по поводу своей удачи.

Архимед считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен. Именно он придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам (она известна нам как формула Герона). Он доказал несколько замечательных геометрических соотношений. Среди них и то, которое он сам в письме к Эратосфену назвал главным своим открытием: объёмы шара и описанного около него цилиндра относятся как 2 : 3. Он определил границы для числа π ,  доказав, что 3 < π <3. Этот результат не уступает по точности той оценке, которую мы сейчас используем: π ≈ 3,14. До нас дошла работа учёного «О многогранниках», где он подробно описывает тринадцать многогранников, получивших название «тела Архимеда». Но больше всего он гордился найденной им формулой объема шара, и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр на его могильном камне.

Геометрия Николая Ивановича Лобачевского

(слайд № 14) В историю математики Н.И. Лобачевский вошёл как первооткрыватель неевклидовой геометрии.

Н.И. Лобачевский родился в 1792 году в Нижнем Новгороде. Его родителями - Иван Михайлович Лобачевский (уездный землемер) и Прасковья Александровна Лобачевская (домохозяйка). В начале XIX века в России открываются несколько новых университетов. В 1811 году Николай Иванович окончил Казанский университет и остаётся работать помощником профессора.  Потом с 1827 по 1846 годы Лобачевский был ректором Казанского университета. В 1846 году отошёл от административной работы по причине здоровья. В университете Лобачевский лично обучал студентов физике, математике и астрономии.

Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817), где он пытался доказать постулат параллельности Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» на 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.

7 февраля 1826 г. Лобачевский представил для напечатания в записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» (1829—1830), явившийся первой в мировой литературе публикацией по неевклидовой геометрии или геометрии Лобачевского.

Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида как произвольное ограничение. С его точки зрения это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Он заменяет эту аксиому требованием более широким и общим, именно: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную (по существу не менее чем одна, если учесть предельный случай).

Теоремы новой геометрии были в корне не похожи на старые, но противоречия не обнаруживали. 23 февраля 1826 года Лобачевский решился на смелость и объявил новую геометрию непротиворечивой. Этот день считается днём рождения неевклидовой геометрии.

Геометрия Лобачевского не была признана при жизни учёного. Среди математиков с мировым именем значение работ Лобачевского оценил только Гаусс. Только в 60 – х годах XIX века новое поколение математиков заинтересовалось неевклидовой геометрией. А в 1862 году итальянец Э. Бельтрами доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Без неевклидовой геометрии не обойтись современной физике, астрономии, космонавтике.

Мои эксперименты.

(Слайд № 15)

1. Я в роли гарпедонапта.

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приёмом: бечёвку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечёвку растягивали на земле так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4, 5 делений (такой треугольник называется египетским). Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, - прямой. (Приложение № 1)

(слайд № 16)

2. Определение высоты предмета (столба) по его тени.

При изучении литературы, я узнал, что Фалес мог находить высоту предмета по его тени. Он смог измерить высоту пирамиды, " наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами". Он считал, что отношение высоты вертикально поставленной палки к длине её тени равно отношению высоты пирамиды к длине её тени. (Приложение № 2)

Длина палки, и соответственно, длина тени равна 1 метру.

Длина тени столба равна 2,75м, значит, и высота столба равна 2,75 м.

Данный способ имеет два существенных недостатка:

1) эксперимент возможно проделать только в солнечную погоду;

2) чтобы определить высоту предмета, надо «подловить» момент, когда длина тени палки равна длине самой палки

Заключение

(слайд № 17)

При подготовке исследовательской работы  я изучил дополнительную литературу и узнал много интересного о зарождении геометрии, об ученых,  внёсших большой вклад в её становление и развитие: о Пифагоре, Евклиде, Архимеде,  Лобачевском. Мы должны гордиться этими учёными - основоположниками геометрии. Они стояли у истоков науки. Конечно, я рассказал только маленькую часть того, что можно рассказать о геометрии. За годы учебы в школе мы узнаем еще много нового. Я думаю, что такая интересная наука будет развиваться, обогащаясь новыми открытиями. Да и кто знает, может быть, кто-то из нас откроет,  докажет и обоснует что–нибудь необычное.

Своё выступление хочу закончить словами Евклида: "Нет царской  дороги в геометрии!" Верно сказано, так как, чтобы познать эту науку, нужны усидчивость, терпение, старание и титанический труд.

Источники информации

1. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 – 6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

2. «Википедия» — свободная энциклопедия. Интернет.

3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии. М.: Наука, 1989.

4. Минковский В.Л. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1966.

5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А. П. Савин, В. В. Станцо и др. – М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

Приложение №1

1. Возьмём бечёвку.                         2. Разделим её на 12 равных частей                                 узлами. Концы свяжем.

3. Растягиваем бечёвку так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4, 5 делений.

Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, - прямой.

Приложение № 2

Отношение высоты вертикально поставленной палки к длине её тени равно отношению высоты столба к длине её тени.